Экономический лицей им. Г.В. Плеханова из 9 в 10 класс Вариант 2

1. В 4 кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько кг олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание в новом сплаве стало 70%.
2. Найти значение выражения \[ (5 + 2 \sin \alpha)\,(5 - 2 \cos \alpha), \] если \(\sin \alpha - \cos \alpha = 0{,}7\).
3. Найти сумму корней уравнения \[ x^2 + \biggl(\frac{9x}{x + 9}\biggr)^{2} = 40. \]
4. Угол при вершине \(B\) равнобедренного треугольника \(ABC\) равен \(90^\circ\). На стороне \(BC\), как на диаметре, построена окружность, пересекающая сторону \(AC\) в точке \(P\). Найти расстояние от вершины \(A\) до центра окружности, если \(AP = 2\sqrt{2}\).
5. При каких значениях \(a\) система \[ \begin{cases} x^2 - 7x - 8 \le 0,\\ |x - a| \le 3 \end{cases} \] имеет единственное решение?

Решения задач

1. В 4 кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько кг олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание в новом сплаве стало 70%.
   Решение: Исходное количество олова: $4 \cdot 0,4 = 1,6$ кг. Пусть добавили $x$ кг олова. Тогда: \[ \frac{1,6 + x}{4 + x} = 0,7 \implies 1,6 + x = 2,8 + 0,7x \implies 0,3x = 1,2 \implies x = 4 \] Ответ: 4 кг.
2. Найти значение выражения \[ (5 + 2 \sin \alpha)\,(5 - 2 \cos \alpha), \] если \(\sin \alpha - \cos \alpha = 0{,}7\).
   Решение: Раскроем скобки: \[ 25 - 10\cos\alpha + 10\sin\alpha - 4\sin\alpha\cos\alpha \] Из условия \(\sin\alpha - \cos\alpha = 0,7\) возведём в квадрат: \[ (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 0,49 \implies 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha = 0,49 \implies \sin\alpha\cos\alpha = 0,255 \] Подставим в выражение: \[ 25 + 10 \cdot 0,7 - 4 \cdot 0,255 = 25 + 7 - 1,02 = 30,98 \] Ответ: 30,98.
3. Найти сумму корней уравнения \[ x^2 + \biggl(\frac{9x}{x + 9}\biggr)^{2} = 40. \]
   Решение: Умножим обе части на \((x + 9)^2\): \[ x^2(x + 9)^2 + 81x^2 = 40(x + 9)^2 \] После преобразований получим уравнение: \[ x^4 + 18x^3 + 122x^2 - 720x - 3240 = 0 \] По теореме Виета сумма корней равна \(-18\) (коэффициент при \(x^3\) с обратным знаком). Ответ: \(-18\).
4. Угол при вершине \(B\) равнобедренного треугольника \(ABC\) равен \(90^\circ\). На стороне \(BC\), как на диаметре, построена окружность, пересекающая сторону \(AC\) в точке \(P\). Найти расстояние от вершины \(A\) до центра окружности, если \(AP = 2\sqrt{2}\).
   Решение: Пусть \(AB = BC = a\). Координаты точек: \(A(0, a)\), \(B(0, 0)\), \(C(a, 0)\), центр окружности \(O\left(\frac{a}{2}, 0\right)\). Уравнение окружности: \[ \left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 \] Точка \(P\) на \(AC\): \(P\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)\). Расстояние \(AP = \frac{a}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \implies a = 4\). Расстояние от \(A(0,4)\) до \(O(2,0)\): \[ \sqrt{(2 - 0)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Ответ: \(2\sqrt{5}\).
5. При каких значениях \(a\) система \[ \begin{cases} x^2 - 7x - 8 \le 0,\\ |x - a| \le 3 \end{cases} \] имеет единственное решение?
   Решение: Решение первого неравенства: \(x \in [-1, 8]\). Второе неравенство: \(x \in [a - 3, a + 3]\). Пересечение будет единственной точкой, если: \[ a + 3 = -1 \implies a = -4 \quad \text{или} \quad a - 3 = 8 \implies a = 11 \] Ответ: \(a = -4\) и \(a = 11\).