Экономический лицей им. Г.В. Плеханова из 9 в 10 класс Вариант 15

1. Дано двузначное число. Из него получают четырёхзначное число, приписав слева 1, а справа 4. Если полученное число разделить на данное, то в частном получится 37, а в остатке 5. Найти данное число.
2. Решить неравенство \[ (x + 3)\,\sqrt{x^2 - 4x - 5} \;\le\; 0. \] Указать наибольшее целое \(x\).
3. Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы \[ \begin{cases} 3x + 9 \ge \lvert y\rvert,\\ \lvert y\rvert + 2x \le 4. \end{cases} \]
4. Проекция одного катета на гипотенузу в прямоугольном треугольнике равна \(8\), а другой катет равен \(7{,}5\). Найти отношение радиусов описанной около треугольника окружности и вписанной в треугольник окружности.
5. При каких значениях \(a\) уравнение \[ \sqrt{x^2 + 2x + a} = 1 + x \] не имеет решений?

Решения задач

1. Дано двузначное число. Из него получают четырёхзначное число, приписав слева 1, а справа 4. Если полученное число разделить на данное, то в частном получится 37, а в остатке 5. Найти данное число.
   Решение: Пусть исходное двузначное число равно $N$. Тогда четырёхзначное число можно записать как $1000 + 10N + 4 = 10N + 1004$. По условию:
   $10N + 1004 = 37N + 5$
   $27N = 999 \quad \Rightarrow \quad N = 37$
   Проверка: $37 \cdot 37 + 5 = 1374$, что совпадает с $10 \cdot 37 + 1004 = 1374$.
   Ответ: 37.
   
   
2. Решить неравенство \[ (x + 3)\,\sqrt{x^2 - 4x - 5} \;\le\; 0. \] Указать наибольшее целое \(x\).
   Решение: Область определения: $x^2 - 4x - 5 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x \le -1$ или $x \ge 5$.
   Неравенство выполняется, если:
   • $\sqrt{x^2 - 4x - 5} = 0$: $x = -1$ или $x = 5$.
   • $(x + 3) \le 0$ и $\sqrt{x^2 - 4x - 5} > 0$: $x < -3$.
   Объединяя решения: $x \in (-\infty; -3] \cup \{-1, 5\}$.
   Наибольшее целое значение: $x = 5$.
   Ответ: 5.
   
   
3. Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы \[ \begin{cases} 3x + 9 \ge \lvert y\rvert,\\ \lvert y\rvert + 2x \le 4. \end{cases} \]
   Решение: Построим графики:
   • $|y| \le 3x + 9$ — область между прямыми $y = 3x + 9$ и $y = -3x - 9$.
   • $|y| \le 4 - 2x$ — область между прямыми $y = 4 - 2x$ и $y = -4 + 2x$.
   Точки пересечения:
   • $3x + 9 = 4 - 2x \quad \Rightarrow \quad x = -1$, $y = 6$.
   • $-3x - 9 = -4 + 2x \quad \Rightarrow \quad x = -1$, $y = -6$.
   Фигура симметрична относительно оси $x$ и представляет собой ромб с вершинами в точках $(-1, 6)$, $(-1, -6)$, $(2, 0)$. Площадь ромба:
   $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3 = 18$.
   Ответ: 18.
   
   
4. Проекция одного катета на гипотенузу в прямоугольном треугольнике равна \(8\), а другой катет равен \(7{,}5\). Найти отношение радиусов описанной около треугольника окружности и вписанной в треугольник окружности.
   Решение: Пусть катеты $a$ и $b = 7{,}5$, гипотенуза $c$. Проекция катета $a$ на гипотенузу: $\frac{a^2}{c} = 8$.
   По теореме Пифагора: $a^2 + 7{,}5^2 = c^2$.
   Решаем систему: \[ \begin{cases} a^2 = 8c, \\ 8c + 56{,}25 = c^2 \quad \Rightarrow \quad c^2 - 8c - 56{,}25 = 0. \end{cases} \] Корни: $c = 12{,}5$ (т.к. $c > 0$). Тогда $a = 10$.
   Радиусы: \[ R = \frac{c}{2} = 6{,}25, \quad r = \frac{a + b - c}{2} = 2{,}5. \] Отношение: $\frac{R}{r} = \frac{6{,}25}{2{,}5} = 2{,}5 = \frac{5}{2}$.
   Ответ: $\frac{5}{2}$.
   
   
5. При каких значениях \(a\) уравнение \[ \sqrt{x^2 + 2x + a} = 1 + x \] не имеет решений?
   Решение: Возведём в квадрат: \[ x^2 + 2x + a = x^2 + 2x + 1 \quad \Rightarrow \quad a = 1. \] При $a = 1$ уравнение имеет решения $x \ge -1$. При $a \ne 1$ решений нет, так как равенство невозможно.
   Ответ: $a \ne 1$.