Экономический лицей им. Г.В. Плеханова из 9 в 10 класс Вариант 13

1. Автомобиль едет из пункта \(A\) в пункт \(B\) сначала 5 минут в гору, а затем 3 минуты с горы. Обратный же путь он проделывает за 16 минут. Во сколько раз быстрее автомобиль едет с горы, чем в гору?
2. Найдите сумму корней уравнения \[ x^2 + x^{-2} \;-\; 4x \;-\; 4x^{-1} \;-\; 3 \;=\; 0. \]
3. Катеты прямоугольного треугольника относятся как \(3:4\), высота, опущенная на гипотенузу, равна \(12\) см. Найдите длину окружности, вписанной в данный треугольник.
4. Пусть \((x_0, y_0)\) — решение системы \[ \begin{cases} \sqrt{x - 3} = y,\\ y + \lvert x - 3\rvert = 2. \end{cases} \] Найдите \(2x_0 - 3y_0\).
5. При каких значениях \(a\) уравнение \[ \sqrt{x + a} = x + 3 \] имеет единственное решение?

Решения задач

1. Автомобиль едет из пункта \(A\) в пункт \(B\) сначала 5 минут в гору, а затем 3 минуты с горы. Обратный же путь он проделывает за 16 минут. Во сколько раз быстрее автомобиль едет с горы, чем в гору?
   Решение: Пусть скорость в гору равна \(v\) км/мин, а скорость с горы — \(kv\). Расстояние в гору: \(S_1 = 5v\). Расстояние с горы: \(S_2 = 3kv\). Обратный путь: \( \frac{S_1}{kv} + \frac{S_2}{v} = \frac{5v}{kv} + \frac{3kv}{v} = \frac{5}{k} + 3k = 16 \). Решаем уравнение: \[ 3k^2 - 16k + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{16 \pm 14}{6} \quad \Rightarrow \quad k = 5. \] Ответ: 5.
2. Найдите сумму корней уравнения \[ x^2 + x^{-2} \;-\; 4x \;-\; 4x^{-1} \;-\; 3 \;=\; 0. \]
   Решение: Умножим на \(x^2\): \[ x^4 - 4x^3 - 3x^2 - 4x + 1 = 0. \] По теореме Виета сумма корней равна коэффициенту при \(x^3\) с противоположным знаком: \(4\).
   Ответ: 4.
3. Катеты прямоугольного треугольника относятся как \(3:4\), высота, опущенная на гипотенузу, равна \(12\) см. Найдите длину окружности, вписанной в данный треугольник.
   Решение: Пусть катеты \(3k\) и \(4k\). Гипотенуза: \(5k\). Площадь: \(\frac{1}{2} \cdot 3k \cdot 4k = 6k^2\). Высота: \(\frac{6k^2}{\frac{5k}{2}} = \frac{12k}{5} = 12 \quad \Rightarrow \quad k = 5\). Катеты: 15 см и 20 см. Радиус вписанной окружности: \(r = \frac{15 + 20 - 25}{2} = 5\) см. Длина окружности: \(2\pi \cdot 5 = 10\pi\) см.
   Ответ: \(10\pi\) см.
4. Пусть \((x_0, y_0)\) — решение системы \[ \begin{cases} \sqrt{x - 3} = y,\\ y + \lvert x - 3\rvert = 2. \end{cases} \] Найдите \(2x_0 - 3y_0\).
   Решение: Из первого уравнения \(y = \sqrt{x - 3}\) (\(x \geq 3\)). Подставляем во второе: \[ \sqrt{x - 3} + (x - 3) = 2 \quad \Rightarrow \quad t + t^2 = 2 \quad (t = \sqrt{x - 3} \geq 0). \] Решаем: \(t = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 4, \ y = 1\). Тогда \(2x - 3y = 8 - 3 = 5\).
   Ответ: 5.
5. При каких значениях \(a\) уравнение \[ \sqrt{x + a} = x + 3 \] имеет единственное решение?
   Решение: Возведем в квадрат: \(x + a = (x + 3)^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 5x + (9 - a) = 0\). Дискриминант: \(D = 25 - 4(9 - a) = 4a - 11\).
   • При \(D = 0\) (\(a = \frac{11}{4}\)): единственный корень \(x = -\frac{5}{2}\), удовлетворяет условию.
   • При \(D > 0\) (\(a > \frac{11}{4}\)): один из корней \(x = \frac{-5 + \sqrt{4a - 11}}{2}\) удовлетворяет \(x + 3 \geq 0\), второй — нет.
   • При \(a > 3\): уравнение имеет один действительный корень.
   Ответ: \(a = \frac{11}{4}\) или \(a > 3\).