Экономический лицей им. Г.В. Плеханова из 9 в 10 класс Вариант 12

1. К 5кг сплава цинка и олова добавили 4кг олова. Найти процентное содержание цинка в первоначальном сплаве, если в новом сплаве цинка стало вдвое меньше, чем олова.
2. При каком значении \(a\) система неравенств \[ \begin{cases} 1 - \dfrac{5}{x - a} \le 0,\\[6pt] \lvert x + a - 5\rvert \le 2 \end{cases} \] имеет единственное решение?
3. Решить неравенство \[ (x + 7)\,\sqrt{x^2 - x - 2} \;\le\; 0. \]
4. Вычислить: \[ \bigl(2\sqrt{7} - 6\bigr)^2 \;-\; 12\,\sqrt{64 - 24\sqrt{7}} \;+\; 8. \]
5. Определить длину отрезка, параллельного стороне треугольника, равной 9\,см, и делящего площадь треугольника в отношении \(4:5\).

Решения задач

1. К 5кг сплава цинка и олова добавили 4кг олова. Найти процентное содержание цинка в первоначальном сплаве, если в новом сплаве цинка стало вдвое меньше, чем олова.
   Решение: Пусть в первоначальном сплаве было \( x \) кг цинка, тогда олова было \( 5 - x \) кг. После добавления 4 кг олова масса нового сплава стала \( 5 + 4 = 9 \) кг. В новом сплаве цинка осталось \( x \) кг, а олова стало \( (5 - x) + 4 = 9 - x \) кг. По условию цинка вдвое меньше олова:
   \( x = \frac{1}{2}(9 - x) \)
   \( 2x = 9 - x \)
   \( 3x = 9 \)
   \( x = 3 \)
   Первоначальный сплав содержал \( \frac{3}{5} \times 100% = 60% \) цинка.
   Ответ: 60%.
2. При каком значении \( a \) система неравенств \[ \begin{cases} 1 - \dfrac{5}{x - a} \le 0,\\[6pt] \lvert x + a - 5\rvert \le 2 \end{cases} \] имеет единственное решение?
   Решение: Первое неравенство:
   \( 1 \le \frac{5}{x - a} \)
   \( x - a > 0 \) и \( x - a \le 5 \)
   \( a < x \le a + 5 \)
   Второе неравенство:
   \( -2 \le x + a - 5 \le 2 \)
   \( 3 - a \le x \le 7 - a \)
   Пересечение решений:
   \( \max(a, 3 - a) \le x \le \min(a + 5, 7 - a) \)
   Для единственности решения:
   \( \max(a, 3 - a) = \min(a + 5, 7 - a) \)
   Решая уравнение, находим \( a = 3,5 \).
   Ответ: 3,5.
3. Решить неравенство \[ (x + 7)\,\sqrt{x^2 - x - 2} \;\le\; 0. \]
   Решение: ОДЗ: \( x^2 - x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \le -1 \) или \( x \ge 2 \).
   Выражение \( \sqrt{x^2 - x - 2} \ge 0 \), поэтому неравенство сводится к:
   \( x + 7 \le 0 \Rightarrow x \le -7 \)
   С учётом ОДЗ: \( x \le -7 \).
   Ответ: \( (-\infty; -7] \).
4. Вычислить: \[ \bigl(2\sqrt{7} - 6\bigr)^2 \;-\; 12\,\sqrt{64 - 24\sqrt{7}} \;+\; 8. \]
   Решение: Раскроем квадрат:
   \( (2\sqrt{7} - 6)^2 = 4 \cdot 7 - 24\sqrt{7} + 36 = 64 - 24\sqrt{7} \)
   Упростим корень:
   \( \sqrt{64 - 24\sqrt{7}} = |2\sqrt{7} - 6| = 6 - 2\sqrt{7} \)
   Подставим в выражение:
   \( 64 - 24\sqrt{7} - 12(6 - 2\sqrt{7}) + 8 = 64 - 24\sqrt{7} - 72 + 24\sqrt{7} + 8 = 0 \)
   Ответ: 0.
5. Определить длину отрезка, параллельного стороне треугольника, равной 9 см, и делящего площадь треугольника в отношении \(4:5\).
   Решение: Отношение площадей подобных треугольников \( \frac{4}{9} \), коэффициент подобия \( k = \frac{2}{3} \).
   Длина отрезка:
   \( 9 \times \frac{2}{3} = 6 \) см.
   Ответ: 6 см.