Экономический лицей им. Г.В. Плеханова из 9 в 10 класс Вариант 10

1. Среднее пропорциональное двух чисел на $12$ больше меньшего из этих чисел, а среднее арифметическое тех же чисел на $24$ меньше большего из чисел. Найти эти числа.
2. При каких значениях $a$ система \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1,\\ x + y = a + 2 \end{cases} \] имеет два решения? Найти сумму значений $a$.
3. Упростить выражение \[ \frac{a^2 + 4} {\,a\;\sqrt{\displaystyle\Bigl(\frac{a^2 - 4}{2a}\Bigr)^{2}} \;+\; 4\,}, \quad \text{где }a < 0. \]
4. Биссектриса прямого угла $C$ делит отрезок $AB$, заключённый между его сторонами, на части $15$ см и $20$ см. Найти расстояние от точки деления до сторон угла.
5. Определить первоначальный вклад в Сбербанк, если при ежегодном начислении $20\%$ через $3$ года вклад составил $864$ руб.

Решения задач

1. Среднее пропорциональное двух чисел на 12 больше меньшего из этих чисел, а среднее арифметическое тех же чисел на 24 меньше большего из чисел. Найти эти числа.
   Решение: Пусть числа — $x$ и $y$ ($x < y$). По условию:
   $\sqrt{xy} = x + 12$ \quad (1)
   $\frac{x + y}{2} = y - 24$ \quad (2)
   Из уравнения (2):
   $x + y = 2y - 48$
   $x = y - 48$
   Подставим $x = y - 48$ в уравнение (1):
   $\sqrt{(y - 48)y} = y - 48 + 12 = y - 36$
   Возведем обе части в квадрат:
   $(y - 48)y = (y - 36)^2$
   $y^2 - 48y = y^2 - 72y + 1296$
   $24y = 1296$
   $y = 54$
   Тогда $x = 54 - 48 = 6$
   Ответ: 6 и 54.
2. При каких значениях $a$ система \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1,\\ x + y = a + 2 \end{cases} \] имеет два решения? Найти сумму значений $a$.
   Решение: Система имеет два решения, если прямая $x + y = a + 2$ пересекает окружность $x^2 + y^2 = 1$ в двух точках. Для этого расстояние от центра окружности (0,0) до прямой должно быть меньше радиуса 1:
   $\frac{|0 + 0 - (a + 2)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} < 1$
   $\frac{|a + 2|}{\sqrt{2}} < 1$
   $|a + 2| < \sqrt{2}$
   $- \sqrt{2} < a + 2 < \sqrt{2}$
   $-2 - \sqrt{2} < a < -2 + \sqrt{2}$
   Сумма граничных значений: $(-2 - \sqrt{2}) + (-2 + \sqrt{2}) = -4$
   Ответ: $-4$.
3. Упростить выражение \[ \frac{a^2 + 4} {\,a\;\sqrt{\displaystyle\Bigl(\frac{a^2 - 4}{2a}\Bigr)^{2}} \;+\; 4\,}, \quad \text{где }a < 0. \]
   Решение: Упростим знаменатель:
   $\sqrt{\Bigl(\frac{a^2 - 4}{2a}\Bigr)^2} = \left|\frac{a^2 - 4}{2a}\right| = \frac{|a^2 - 4|}{2|a|}$
   Так как $a < 0$, то $|a| = -a$:
   Знаменатель: $a \cdot \frac{|a^2 - 4|}{2(-a)} + 4 = -\frac{|a^2 - 4|}{2} + 4$
   Рассмотрим два случая:
   1) $a^2 - 4 \geq 0 \Rightarrow |a| \geq 2$:
   Знаменатель: $-\frac{a^2 - 4}{2} + 4 = -\frac{a^2}{2} + 2 + 4 = -\frac{a^2}{2} + 6$
   Выражение: $\frac{a^2 + 4}{-\frac{a^2}{2} + 6} = \frac{2(a^2 + 4)}{-a^2 + 12} = \frac{2(a^2 + 4)}{12 - a^2}$
   2) $a^2 - 4 < 0 \Rightarrow |a| < 2$:
   Знаменатель: $-\frac{4 - a^2}{2} + 4 = -\frac{4}{2} + \frac{a^2}{2} + 4 = \frac{a^2}{2} + 2$
   Выражение: $\frac{a^2 + 4}{\frac{a^2}{2} + 2} = \frac{2(a^2 + 4)}{a^2 + 4} = 2$
   Ответ: $\begin{cases} 2, & |a| < 2 \\ \frac{2(a^2 + 4)}{12 - a^2}, & |a| \geq 2 \end{cases}$.
4. Биссектриса прямого угла $C$ делит отрезок $AB$, заключённый между его сторонами, на части $15$ см и $20$ см. Найти расстояние от точки деления до сторон угла.
   Решение: По свойству биссектрисы в прямоугольном треугольнике:
   $\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$
   Пусть $AC = 3k$, $BC = 4k$. По теореме Пифагора:
   $AB = \sqrt{(3k)^2 + (4k)^2} = 5k = 15 + 20 = 35$ см
   $k = 7$ см $\Rightarrow AC = 21$ см, $BC = 28$ см
   Координаты точки D: $D$ делит AB в отношении 15:20=3:4. Используя формулы деления отрезка:
   $x_D = \frac{4 \cdot 0 + 3 \cdot 28}{3 + 4} = 12$ см
   $y_D = \frac{4 \cdot 21 + 3 \cdot 0}{3 + 4} = 12$ см
   Расстояние до сторон (катетов) равно координатам: 12 см
   Ответ: 12 см.
5. Определить первоначальный вклад в Сбербанк, если при ежегодном начислении $20\%$ через $3$ года вклад составил $864$ руб.
   Решение: Используем формулу сложных процентов:
   $S = P(1 + 0.2)^3 = 864$
   $P = \frac{864}{1.728} = 500$ руб.
   Ответ: 500 руб.