Экономический лицей им. Г.В. Плеханова из 9 в 10 класс Вариант 1

1. Две точки движутся по окружности длиной $1,2$\,м с постоянными скоростями. При движении в одном направлении они встречаются каждые $60$ секунд, а при движении в разных направлениях они встречаются через $15$\,с. Найти расстояние, которое проходит более быстрая точка за $100$\,с.
2. Найти число, если $4,5\%$ его составляют $12\%$ от $45$.
3. При каких значениях $a$ уравнение \[ \bigl|x^2 + 4 a x\bigr| = 6a \] имеет ровно три различных корня.
4. Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \displaystyle \sqrt{\frac{x+1}{y}} \;+\;\sqrt{\frac{y}{x+1}} = 2,\\ x + y = 11. \end{cases} \]
5. В выпуклом равностороннем шестиугольнике $ABCDEF$ угол при вершине $F$ — прямой. Найти площадь шестиугольника, если треугольник $ACE$, образованный диагоналями, равносторонний со стороной \[ 3 \,\frac{3 - \sqrt{3}}{2}. \]

Решения задач

1. Две точки движутся по окружности длиной $1,2$\,м с постоянными скоростями. При движении в одном направлении они встречаются каждые $60$ секунд, а при движении в разных направлениях они встречаются через $15$\,с. Найти расстояние, которое проходит более быстрая точка за $100$\,с.
   Решение: Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости точек ($v_1 > v_2$). При движении в одном направлении:
   $(v_1 - v_2) \cdot 60 = 1,2 \quad \Rightarrow \quad v_1 - v_2 = 0,02$ м/с.
   При встречном движении:
   $(v_1 + v_2) \cdot 15 = 1,2 \quad \Rightarrow \quad v_1 + v_2 = 0,08$ м/с.
   Решая систему уравнений:
   $\begin{cases} v_1 - v_2 = 0,02 \\ v_1 + v_2 = 0,08 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad v_1 = 0,05$ м/с, $v_2 = 0,03$ м/с.
   Расстояние за 100 с: $0,05 \cdot 100 = 5$ м.
   Ответ: 5 м.
   
   
2. Найти число, если $4,5\%$ его составляют $12\%$ от $45$.
   Решение: Пусть искомое число — $x$. По условию:
   $0,045x = 0,12 \cdot 45 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{0,12 \cdot 45}{0,045} = \frac{5,4}{0,045} = 120$.
   Ответ: 120.
   
   
3. При каких значениях $a$ уравнение \[ \bigl|x^2 + 4 a x\bigr| = 6a \] имеет ровно три различных корня.
   Решение: Рассмотрим два случая:
   1. $x^2 + 4ax = 6a \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4ax - 6a = 0$ (уравнение 1)
   2. $x^2 + 4ax = -6a \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4ax + 6a = 0$ (уравнение 2)
   Для трёх корней одно уравнение должно иметь два корня, а другое — один (и корни не совпадают).
   Дискриминант уравнения 2: $D_2 = (4a)^2 - 24a = 16a^2 - 24a$.
   При $D_2 = 0$: $16a^2 - 24a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{3}{2}$.
   При $a = \frac{3}{2}$ уравнение 2 имеет один корень $x = -3$, а уравнение 1 — два корня $x = -3 \pm 3\sqrt{2}$. Всего три различных корня.
   Ответ: $a = \frac{3}{2}$.
   
   
4. Решить систему уравнений \[ \begin{cases} \displaystyle \sqrt{\frac{x+1}{y}} \;+\;\sqrt{\frac{y}{x+1}} = 2,\\ x + y = 11. \end{cases} \]
   Решение: Введём замену $t = \sqrt{\frac{x+1}{y}}$. Тогда:
   $t + \frac{1}{t} = 2 \quad \Rightarrow \quad t^2 - 2t + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 1$.
   $\sqrt{\frac{x+1}{y}} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x+1}{y} = 1 \quad \Rightarrow \quad y = x + 1$.
   Подставляя во второе уравнение:
   $x + (x + 1) = 11 \quad \Rightarrow \quad x = 5$, $y = 6$.
   Ответ: $(5; 6)$.
   
   
5. В выпуклом равностороннем шестиугольнике $ABCDEF$ угол при вершине $F$ — прямой. Найти площадь шестиугольника, если треугольник $ACE$, образованный диагоналями, равносторонний со стороной \[ 3 \,\frac{3 - \sqrt{3}}{2}. \]
   Решение: Шестиугольник можно разбить на равносторонний треугольник $ACE$ и три квадрата. Сторона треугольника:
   $a = 3 \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$.
   Площадь треугольника: $S_{ACE} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(3 \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4}$.
   Площадь шестиугольника: $S = S_{ACE} + 3 \cdot S_{\text{кв}} = \frac{9\sqrt{3}}{4} + 3 \cdot \left(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)^2 = 9$.
   Ответ: 9.