Аничков лицей из 9 в 10 класс 2022 год

1. Решите уравнение: \[ (2x - 3)^4 \;-\; 3(2x - 3)^2 \;-\; 4 = 0. \]
   
   
2. Решите неравенство: \[ \frac{\sqrt{x^2 - 6x}}{9 - x^2} \;\ge\; 0. \]
   
   
3. Дана функция \[ f(x) = (a - 3)x^2 + 2ax + (a+1). \]
   1. При каких значениях параметра \(a\) графиком данной функции будет прямая?
   2. При каких значениях параметра \(a\) график данной функции имеет с осью \(Ox\) ровно одну общую точку?
   3. При каких значениях параметра \(a\) графиком данной функции будет парабола, вершина которой лежит во второй четверти?
   
   
   
4. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{4}{\,x^2 - 7x + 12\,} - x - 1 \;\ge\; -2,\\ (x + 1)^3 + (x - 1)^2 - 3x \;\le\; (2 - x^2)(x + 1) + x(10x + 3). \end{cases} \]
   
   
5. 1. Постройте график функции \[ y = \begin{cases} 3 - x, & x \ge 0,\\[0.5ex] \dfrac{\lvert x + 2\rvert\,(3 + 2x - x^2)}{\,x + 2\,}, & x < 0. \end{cases} \]
   2. Найдите значения \(k\), при которых прямая \(y = k\) не имеет с графиком общих точек.
   
   
   
6. Катя написала на доске три числа. Маша заметила, что они образуют возрастающую арифметическую прогрессию, а наблюдательный Витя – что если среднее число уменьшить на 6, то получится геометрическая прогрессия.
   1. Какие числа написала на доске Катя, если первое число – это число 3?
   2. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, которую получил Витя.
   
   
   
7. Учитель Аничкова налила в кружку 200 мл 65%-ного раствора кофе. Поняв, что кофе слишком крепкий, он вылил 50 мл, долил води до исходного объёма и хорошенько перемешал. Потом снова убедился, что кофе слишком крепкий, вылил треть и добавил воды. Перемешав и попробовав, он решил, что напиток идеален. Определите идеальное процентное содержание кофе в кружке.
   
   
8. Геометрическая база.
   
   
   1. Найдите величину внутреннего угла правильного двенадцатиугольника.
   2. Треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(A_1B_1C_1\), где \(\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{2}{3}\), периметр \(A_1B_1C_1\) равен 12. Найдите периметр треугольника \(ABC\).
   3. Известны координаты вектора \(\overrightarrow{AB}(3;7)\) и координаты точки \(A(4;-3)\). Найдите координаты точки \(B\).
   4. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 2. Найдите длину стороны треугольника.
   5. Треугольник \(ABC\) прямоугольный (\(\angle C\) – прямой). Найдите длину стороны \(AC\), если \(\sin C = \tfrac{3}{5}\).
   6. Катеты прямоугольного треугольника равны 24 и 10. Найдите длину высоты, проведённой к гипотенузе.

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ (2x - 3)^4 \;-\; 3(2x - 3)^2 \;-\; 4 = 0. \]
   Решение:
   Введем замену \( y = (2x - 3)^2 \). Уравнение принимает вид: \[ y^2 - 3y - 4 = 0. \] Корни уравнения: \[ y_1 = 4, \quad y_2 = -1 \quad (\text{не подходит, т.к. } y \ge 0). \] Возвращаемся к замене: \[ (2x - 3)^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad 2x - 3 = \pm 2. \] Решаем линейные уравнения: \[ 2x - 3 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{2} = 2{,}5. \] \[ 2x - 3 = -2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} = 0{,}5. \]
   Ответ: \( x = 0{,}5; \; 2{,}5 \).
   
   
2. Решите неравенство: \[ \frac{\sqrt{x^2 - 6x}}{9 - x^2} \;\ge\; 0. \]
   Решение:
   Область определения: \[ x^2 - 6x \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x \le 0 \; \text{или} \; x \ge 6. \] \[ 9 - x^2 \ne 0 \quad \Rightarrow \quad x \ne \pm 3. \] Определяем знаки числителя и знаменателя: \[ \sqrt{x^2 - 6x} \ge 0, \quad 9 - x^2 > 0 \Rightarrow x \in (-3; 3). \] Пересечение с областью определения: \[ x \in (-3; 0]. \]
   Ответ: \( x \in (-3; 0] \).
   
   
   1. При \( a = 3 \) функция становится линейной: \( f(x) = 6x + 4 \).
      Ответ: \( a = 3 \).
      
      
   2. Уравнение \( f(x) = 0 \) имеет один корень при: \[ a = 3 \quad \text{(линейный случай)}, \] или при дискриминанте \( D = 0 \): \[ 8a + 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{3}{2}. \]
      Ответ: \( a = 3; \; -\frac{3}{2} \).
      
      
   3. Вершина параболы \( x = -\frac{a}{a - 3} \le 0 \), \( y = -\frac{2a + 3}{a - 3} > 0 \). Решение: \[ a \in (0; 3). \]
      Ответ: \( a \in (0; 3) \).
   
   
   
3. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \frac{4}{\,x^2 - 7x + 12\,} - x - 1 \;\ge\; -2, \\ (x + 1)^3 + (x - 1)^2 - 3x \;\le\; (2 - x^2)(x + 1) + x(10x + 3). \end{cases} \]
   Решение:
   Преобразуем первое неравенство: \[ \frac{4}{(x - 3)(x - 4)} \ge x - 1. \] Область решения после анализа знаков: \( x \in (-\infty; 3) \cup (4; +\infty) \).
   
   Второе неравенство: \[ 2x^3 - 5x^2 - 7x \le 0 \quad \Rightarrow \quad x \in (-\infty; -1] \cup [0; 3{,}5]. \] Пересечение решений: \[ x \in (-\infty; -1] \cup [0; 3). \]
   Ответ: \( x \in (-\infty; -1] \cup [0; 3) \).
   
   
   1. График функции: \[ y = \begin{cases} 3 - x, & x \ge 0, \\ |x + 2| (3 + 2x - x^2), & x < 0. \end{cases} \] При \( x < -2 \): \( y = -(x + 2)(3 + 2x - x^2) \). При \( -2 \le x < 0 \): \( y = (x + 2)(3 + 2x - x^2) \). Конечные точки: \( (0; 3) \), \( (-2; 0) \).
      
      
   2. Значения \( k \), при которых прямая \( y = k \) не пересекает график: \[ k 3. \]
      Ответ: \( k \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty) \).
   
   
   
   1. Исходные числа: 3, \( 3 + d \), \( 3 + 2d \). После преобразования: 3, \( 3 + d - 6 \), \( 3 + 2d \). Геометрическая прогрессия: \( 3 \), \( d - 3 \), \( 3 + 2d \).
      Ответ: 3, 9, 15.
      
      
   2. Сумма первых пяти членов ГП \( (3, 6, 12, \ldots) \): \[ S_5 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93. \]
      Ответ: 93.
   
   
   
4. Концентрация кофе после разбавлений: Первый разбавление: \( 65% \times \frac{150}{200} = 48{,}75% \). Второе разбавление: \( 48{,}75% \times \frac{2}{3} = 32{,}5% \).
   Ответ: \( 32{,}5% \).
   
   Геометрическая база:
   1. Внутренний угол правильного двенадцатиугольника: \[ \frac{(12 - 2) \cdot 180^\circ}{12} = 150^\circ. \] Ответ: \( 150^\circ \).
      
      
   2. Периметр треугольника \( ABC \): \[ 12 \times \frac{2}{3} = 8. \] Ответ: 8.
      
      
   3. Координаты точки \( B \): \[ B(4 + 3; -3 + 7) = B(7; 4). \] Ответ: \( (7; 4) \).
      
      
   4. Длина стороны равностороннего треугольника: \[ a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 6{,}928. \] Ответ: \( 4\sqrt{3} \).
      
      
   5. Длина \( AC \): \[ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4. \] Ответ: 4.
      
      
   6. Высота к гипотенузе: \[ h = \frac{24 \cdot 10}{\sqrt{24^2 + 10^2}} = \frac{240}{26} \approx 9{,}23. \] Ответ: \( \frac{120}{13} \).