8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Аничков лицей из 9 в 10 класс 2021 год

Сложность:
Дата экзамена: 2021
Печать
youit.school ©


Вступительный экзамен в 10 класс Аничкова лицея

Математика, химия и физика 1.06.2021


  1. Решите уравнение: \[ |x - 2| = x^2 - 4x - 2. \]

  2. Сравните числа: \[ 12 - 7\sqrt{3} \quad\text{и}\quad 13 - 5\sqrt{7}. \]

  3. Решите неравенство: \[ \frac{(x+5)\sqrt{x+2}\,(2x^2 - 5x + 2)}{-3x^2 + 7x - 2} \;\le\; 0. \]

  4. Дано выражение \(\Omega\): \[ \Omega = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{x - y} : \Bigl(\frac{x + x^{\tfrac12}}{x + \sqrt{xy}} - \frac{y^{\tfrac12} - 3y}{\sqrt{xy} + y}\Bigr) \;\cdot\; \bigl(x^{\tfrac23} + 27y^{\tfrac23}\bigr) + 3\sqrt{xy}. \]
    1. Упростите выражение \(\Omega\).
    2. Вычислите значение выражения \(\Omega\) при \(x=2,\;y=2\).
    3. Вычислите значение выражения \(\Omega\) при \(x=5,\;y=-1\).


    1. Постройте график функции: \[ y = \frac{2x^2 - 10x + 12}{(x - 3)(x - 2)(2x + 4)}. \]
    2. Найдите значения \(m\), при которых прямая \(x=m\) не имеет пересечений с графиком.
    3. С какими нулями заканчивается десятичная запись числа \(19!\)?
    4. Найдите минимальное натуральное число \(N\), на которое число \(19!\) не делится.
    5. Найдите \(\gcd(19!;\;1472)\).


  6. Напоминаем:
    • \(\gcd\) (Наибольший Общий Делитель) – это такое наибольшее число, на которое данные числа делятся без остатка.
    • Факториал числа \(n\) (\(n!\)) – это произведение натуральных чисел от 1 до \(n\).


  7. У Никандра есть сельдереевый компот с 30% содержанием сельдерея и сельдереевый концентрат с 60% содержанием сельдерея. Смешав их, Никандр получил 750 мл $30\%$-ного сельдереевого сока. Сколько мл концентрата использовал Никандр?

  8. \(ABCD\) – параллелограмм, сторона \(AB=3\), \(AD=4\), \(\angle BAD=30^\circ\), \(O\) – точка пересечения диагоналей. Точка \(T\) делит отрезок \(CO\) в отношении \(\frac{OT}{TC}=\tfrac12\), точка \(M\) делит отрезок \(AD\) в отношении \(\frac{AM}{MD}=\tfrac32\).
    1. Найдите площадь параллелограмма \(ABCD\).
    2. Выразите вектор \(\overrightarrow{TM}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\).
    3. Найдите длину вектора \(\overrightarrow{TM}\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: \[ |x - 2| = x^2 - 4x - 2. \]
    Решение: Рассмотрим два случая:
    Случай 1: \(x \ge 2\)
    Тогда уравнение принимает вид: \(x - 2 = x^2 - 4x - 2\).
    Перенесём все слагаемые в одну сторону: \(x^2 - 5x = 0\).
    Решаем: \(x(x - 5) = 0\) ⇒ \(x = 0\) или \(x = 5\).
    Удовлетворяет условию \(x \ge 2\) только \(x = 5\).
    Случай 2: \(x < 2\)
    Уравнение: \(-(x - 2) = x^2 - 4x - 2\).
    Перепишем: \(-x + 2 = x^2 - 4x - 2\) ⇒ \(x^2 - 3x - 4 = 0\).
    Корни: \(x = 4\) и \(x = -1\).
    Условию \(x < 2\) удовлетворяет только \(x = -1\).
    Проверка подстановкой показывает, что оба корня верны.
    Ответ: \(-1\); \(5\).
  2. Сравните числа: \[ 12 - 7\sqrt{3} \quad \text{и} \quad 13 - 5\sqrt{7}. \]
    Решение: Рассмотрим разность:
    \((12 - 7\sqrt{3}) - (13 - 5\sqrt{7}) = -1 - 7\sqrt{3} + 5\sqrt{7}\).
    Приближённые значения:
    \(\sqrt{3} \approx 1,732\) ⇒ \(7\sqrt{3} \approx 12,124\),
    \(\sqrt{7} \approx 2,6458\) ⇒ \(5\sqrt{7} \approx 13,229\).
    Вычисляем: \(-1 - 12,124 + 13,229 \approx 0,105 > 0\).
    Таким образом, \(12 - 7\sqrt{3} > 13 - 5\sqrt{7}\).
    Ответ: \(12 - 7\sqrt{3} > 13 - 5\sqrt{7}\).
  3. Решите неравенство: \[ \frac{(x+5)\sqrt{x+2}\,(2x^2 - 5x + 2)}{-3x^2 + 7x - 2} \le 0. \]
    Решение: ОДЗ: \(x \ge -2\), \(x \ne \frac{1}{3}\), \(x \ne 2\).
    Разложим числитель и знаменатель:
    \(2x^2 - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2)\),
    \(-3x^2 + 7x - 2 = -(3x - 1)(x - 2)\).
    После сокращения на \((x - 2)\) получим:
    \(\frac{(x+5)\sqrt{x+2}(2x - 1)}{ - (3x - 1)} \le 0\).
    Решая методом интервалов, получаем \(x \in [-2; \frac{1}{3}) \cup [\frac{1}{2}; 2)\).
    Ответ: \(x \in [-2; \frac{1}{3}) \cup [\frac{1}{2}; 2)\).
  4. Дано выражение \(\Omega\): \[ \Omega = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{x - y} : \Bigl(\frac{x + \sqrt{x}}{x + \sqrt{xy}} - \frac{\sqrt{y} - 3y}{\sqrt{xy} + y}\Bigr) \cdot \bigl(x^{\tfrac{2}{3}} + 27y^{\tfrac{2}{3}}\bigr) + 3\sqrt{xy}. \]
    1. Упростим:
      Решение:
      1. \(\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{x - y} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\).
      2. Знаменатель преобразуется к \(\frac{\sqrt{x} + 3\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}\).
      3. Деление приводит к выражению \(\frac{1}{\sqrt{x} + 3\sqrt{y}}\).
      4. Объединяя с оставшимися частями, получаем \(\Omega = \frac{x^{\tfrac{2}{3}} + 27y^{\tfrac{2}{3}}}{\sqrt{x} + 3\sqrt{y}} + 3\sqrt{xy}\).
      Ответ: \(\Omega = \frac{x^{\tfrac{2}{3}} + 27y^{\tfrac{2}{3}}}{\sqrt{x} + 3\sqrt{y}} + 3\sqrt{xy}\).
    2. Вычислим при \(x=2\), \(y=2\):
      Решение:
      \(\Omega = \frac{2^{\tfrac{2}{3}} + 27 \cdot 2^{\tfrac{2}{3}}}{\sqrt{2} + 3\sqrt{2}} + 3 \cdot 2 = \frac{28 \cdot 2^{\tfrac{2}{3}}}{4\sqrt{2}} + 6 = 7 \cdot 2^{-\tfrac{1}{6}} + 6\).
      Ответ: \(7 \cdot 2^{-\tfrac{1}{6}} + 6\).
    3. Вычислим при \(x=5\), \(y=-1\):
      Решение:
      Выражение содержит \(\sqrt{y}\) и \(\sqrt{xy}\), которые не определены при \(y = -1\).
      Ответ: Не определено.
    1. График функции \(y = \frac{2x^2 - 10x + 12}{(x - 3)(x - 2)(2x + 4)}\):
      Решение: Упростим:
      числитель \(2(x - 2)(x - 3)\), знаменатель \((x - 2)(x - 3)(2x + 4)\). После сокращения: \(y = \frac{2}{2x + 4} = \frac{1}{x + 2}\). График — гипербола с асимптотой \(x = -2\) и отверстиями при \(x = 2\), \(x = 3\).
      Ответ: График построен.
    2. Значения \(m\), при которых прямая \(x=m\) не имеет пересечений с графиком: \(m = -2\), \(2\), \(3\).
    3. Количество нулей в конце десятичной записи числа \(19!\) равно 3.
    4. Минимальное натуральное \(N\), на которое \(19!\) не делится: \(23\).
    5. \(\gcd(19!;\;1472) = 64\).
  6. Никандр использовал 0 мл концентрата, так как конечная концентрация осталась \(30\%\).
    Ответ: \(0\) мл.
    1. Площадь параллелограмма \(ABCD\):
      \(S = 3 \cdot 4 \cdot \sin 30^\circ = 6\).
    2. Вектор \(\overrightarrow{TM}\) через \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\):
      \(\overrightarrow{TM} = -\frac{25}{30} \overrightarrow{AB} - \frac{7}{30} \overrightarrow{AD}\).
    3. Длина вектора \(\overrightarrow{TM}\):
      \( |\overrightarrow{TM}| = \sqrt{\Bigl(-\frac{5}{6}\Bigr)^2 + \Bigl(-\frac{7}{30}\Bigr)^2 + 2 \cdot \Bigl(-\frac{5}{6}\Bigr) \cdot \Bigl(-\frac{7}{30}\Bigr) \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 30^\circ} \approx 3,34\).
Материалы школы Юайти