8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2019 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 04.2019
Глобальные планы Юайти на учебный год
Дата вебинара: 17.08.2025 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)


2019 год


Вариант 2



  1. Решите неравенство: \[ \lvert 2x - 3\rvert \;-\; 5\lvert x\rvert \;<\; 4. \]
  2. Решите уравнение: \[ \frac{54 - 2x^3}{x^2 - 9} \;+\; \frac{4x}{x + 3} \;+\; 7 \;=\; 0. \]
  3. Вычислите: \[ \frac{4^n \;\cdot\; 27^{\,n+1} \;-\; 3^{\,n-1}\;\cdot\;62^{\,n+1}} {18^{\,n-1}\;\cdot\;6^{\,n+2}}. \]
    1. Постройте график функции: \[ f(x) = \frac{x^3 - x^2 - 4x + 4}{x - 2}. \]
    2. Найдите, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ f(x) = a \] имеет единственное решение.
  5. Решите уравнение: \[ \sqrt{3x - 2}\;+\;2 \;=\; x. \]
  6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{x^2 - 9}{\lvert x + 5\rvert} \;\ge\; 0,\\[1em] \displaystyle \frac{(x^2 - 3x - 4)\,(x + 4)}{\,x - 4\,} \;>\; 0. \end{cases} \]
  7. Биссектриса угла \(A\) параллелограмма \(ABCD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(L\), а продолжение стороны \(DC\) — в точке \(K\). Известно, что \(CK = 3\), \(AL = 3LK\), \(\angle ADC = 30^\circ\). Найдите:
    1. длину стороны \(AB\);
    2. угол \(\angle CKL\);
    3. площадь треугольника \(KAD\).
  8. Рыбак Анатолий греб на весельной лодке по течению реки \(14\) км на \(35\) минут дольше, чем возвращался обратно с включённым мотором. Известно, что собственная скорость лодки на веслах в \(3\) раза меньше собственной скорости лодки с мотором. Найдите, какой могла быть скорость лодки на веслах, если скорость течения реки \(3\) км/ч.
    1. Какие вещества из перечисленных ниже реагируют при комнатной температуре с водой? Запишите уравнения возможных реакций или укажите, что реакции не происходит.
    2. В какой из указанных реакций образуется кислота?
      1. Напишите формулу и назовите кислоту.
      2. Напишите формулу и назовите натриевую соль этой кислоты.
      3. Рассчитайте массу полученной кислоты, если в реакции израсходовано \(360\) мл воды.
  10. В 2019 году в Санкт-Петербурге начнётся выпуск «единой карты петербуржца», которая будет представлять собой электронную смарт-карту и включать на первом этапе четыре приложения: идентификационное, транспортное, платежное, а также электронную подпись. Оцените размеры карты и, используя эту оценку, найдите массу пластика, которую придётся закупить правительству города, чтобы выпустить карту для всех совершеннолетних жителей Северной столицы.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите неравенство: $\lvert 2x - 3\rvert \;-\; 5\lvert x\rvert \;<\; 4$.
    Решение: Рассмотрим три случая:
    • Случай 1: $x < 0$. Здесь $\lvert 2x - 3\rvert = -(2x - 3)$, $\lvert x\rvert = -x$: \[ -(2x - 3) - 5(-x) < 4 \quad \Rightarrow \quad 3x + 3 < 4 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{1}{3}. \] Учитывая интервал, решение: $x < 0$.
    • Случай 2: $0 \le x < 1{,}5$. Здесь $\lvert 2x - 3\rvert = -(2x - 3)$, $\lvert x\rvert = x$: \[ -(2x - 3) - 5x < 4 \quad \Rightarrow \quad -7x + 3 -\frac{1}{7}. \] Учитывая интервал, решение: $0 \le x < 1{,}5$.
    • Случай 3: $x \ge 1{,}5$. Здесь $\lvert 2x - 3\rvert = 2x - 3$, $\lvert x\rvert = x$: \[ (2x - 3) - 5x < 4 \quad \Rightarrow \quad -3x - 3 -\frac{7}{3}. \] Учитывая интервал, решение: $x \ge 1{,}5$.
    Объединение решений всех случаев: $x \in \mathbb{R}$.
    Ответ: Любое действительное число.

  2. Решите уравнение: $\frac{54 - 2x^3}{x^2 - 9} + \frac{4x}{x + 3} + 7 = 0$.
    Решение: Приведём к общему знаменателю $(x^2 - 9)$: \[ \frac{54 - 2x^3 + 4x(x - 3) + 7(x^2 - 9)}{x^2 - 9} = 0. \] Раскроем числитель: \[ -2x^3 + 11x^2 - 12x - 9 = 0. \] Разложим на множители: \[ 2x³ - 11x² + 12x + 9 = (x - 3)(2x² - 5x - 3). \] Корни квадратного уравнения $2x² - 5x - 3 = 0$: $x = 3$ (не входит в ОДЗ), $x = -\frac{1}{2}$. Проверка подтверждает, что $x = -\frac{1}{2}$ — корень.
    Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

  3. Вычислите: $\frac{4^n \cdot 27^{n+1} - 3^{n-1} \cdot6^{2n+1}}{18^{n-1} \cdot6^{n+2}}$.
    Решение: Преобразуем степени к основаниям 2 и 3: \[ \frac{2^{2n} \cdot 3^{3(n+1)} - 2^{2n+1} \cdot 3^{3n}}{2^{3n-1} \cdot 3^{3n}} = \frac{2^{2n} \cdot 3^{3n} \cdot 25}{2^{2n+1} \cdot 3^{3n}} = \frac{25}{2}. \] Ответ: $\frac{25}{2}$.

    1. Постройте график функции: $f(x) = \frac{x^3 - x^2 - 4x + 4}{x - 2}$.
      Решение: Разложим числитель: \[ (x - 2)(x + 2)(x - 1). \] Сократим знаменатель: \[ f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)(x - 1)}{x - 2} = (x + 2)(x - 1),~~~x \ne 2. \] График — парабола с выколотой точкой при $(2, 4)$.

    2. Найдите, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \(f(x) = a\) имеет единственное решение.
      Решение: Исследуем пересечение прямой $y = a$ с параболой $y = (x + 2)(x - 1)$ и точкой разрыва:
      • Вершина параболы: $a = -\frac{9}{4}$ (касание).
      • Через выколотую точку: $a = 4$.
      Ответ: $a = -\frac{9}{4}$ или $a = 4$.


  5. Решите уравнение: $\sqrt{3x - 2} + 2 = x$.
    Решение: Переносим 2 и возводим в квадрат: \[ \sqrt{3x - 2} = x - 2 \quad \Rightarrow \quad 3x - 2 = (x - 2)^2. \] Решаем квадратное уравнение: \[ x² - 7x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 6~(\text{корень}~x = 1~\text{отброшен}). \] Ответ: $x = 6$.

  6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \frac{x^2 - 9}{|x + 5|} \ge 0, \\ \frac{(x^2 - 3x - 4)(x + 4)}{x - 4} > 0. \end{cases} \] Решение:
    • Первое неравенство: $(x - 3)(x + 3) \ge 0,~x \neq -5$. Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)~\setminus~\{-5\}$.
    • Второе неравенство: $\frac{(x - 4)(x + 1)(x + 4)}{x - 4} > 0$ сокращается до $(x + 1)(x + 4) > 0,~x \neq 4$. Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (-1, 4) \cup (4, \infty)$.
    Пересечение решений: $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, -4) \cup [3, 4) \cup (4, \infty)$.
    Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, -4) \cup [3, 4) \cup (4, \infty)$.

  7. Биссектриса угла \(A\) параллелограмма \(ABCD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(L\), а продолжение стороны \(DC\) — в точке \(K\). Известно, что \(CK = 3\), \(AL = 3LK\), \(\angle ADC = 30^\circ\). Найдите:
    1. Длину стороны \(AB\):
      Ответ: $AB = 9$.

    2. Угол \(\angle CKL\):
      Ответ: $\angle CKL = 75^\circ$.

    3. Площадь треугольника \(KAD\):
      Ответ: $S = 18\sqrt{3}$.


  8. Скорость лодки на веслах: $v$ км/ч. Составим уравнение времени: \[ \frac{14}{v + 3} - \frac{14}{3v - 3} = \frac{35}{60}. \] Решение: После упрощений $v = 4$ км/ч.
    Ответ: 4 км/ч.
Материалы школы Юайти