ЮФМЛИ из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1

ЮФМЛИ

2019 год

Вариант 1

1. Из одинаковых кубиков с длиной ребра 1 сложили параллелепипед. Известно, что числа 42, 48 и 82 являются в некотором порядке объёмом, площадью поверхности и суммой длин всех рёбер этого параллелепипеда. Чему равны длины рёбер параллелепипеда?
2. Точка \(M\) — середина стороны \(AB\) треугольника \(ABC\), а точки \(N, L\) делят сторону \(BC\) на три равные части, \(BN = NL = LC\). Найдите площадь треугольника \(MNL\), если площадь треугольника \(ABC\) равна \(S\).
3. На доске написаны числа 3 и 4. К уже написанным на доске числам разрешается дописать число, равное сумме любых двух из уже написанных. Можно ли, повторяя эту операцию, получить число 2019?
4. Две точки \(A\) и \(B\) расположены по одну сторону от прямой; расстояния от точек \(A\) и \(B\) до прямой не равны. Постройте на прямой такую точку \(C\), чтобы разность расстояний \(\bigl|AC - BC\bigr|\) была наибольшей.
5. Несколько школьников ходили за грибами. Школьник, набравший наибольшее количество грибов, собрал \(\tfrac15\) общего числа грибов, а школьник, набравший наименьшее количество грибов, собрал \(\tfrac17\) части от общего количества. Сколько было школьников?

Решения задач

1. Из одинаковых кубиков с длиной ребра 1 сложили параллелепипед. Известно, что числа 42, 48 и 82 являются в некотором порядке объёмом, площадью поверхности и суммой длин всех рёбер этого параллелепипеда. Чему равны длины рёбер параллелепипеда?
   Решение: Пусть рёбра параллелепипеда \(a\), \(b\), \(c\) (\(a \leq b \leq c\)). Найдём объём \(V = abc\), полную площадь поверхности \(S_{\text{пов}} = 2(ab + bc + ac)\) и сумму длин всех рёбер \(L = 4(a + b + c)\). Подставим данные числа:
   • Если \(abc = 82\), то невозможно подобрать натуральные \(a\), \(b\), \(c\), сумма и площадь которых соответствуют оставшимся числам 42 и 48.
   • Если \(abc = 48\), то возможные комбинации рёбер: \(1 \times 3 \times 16\), \(1 \times 4 \times 12\), \(1 \times 6 \times 8\), \(2 \times 2 \times 12\), \(2 \times 3 \times 8\), \(2 \times 4 \times 6\), \(3 \times 4 \times 4\). Ни одна пара из \(S_{\text{пов}}\) и \(L\) не соответствует 42 и 82.
   • Если \(abc = 42\), возможные рёбра: \(1 \times 6 \times 7\), \(2 \times 3 \times 7\). Для рёбер \(2 \times 3 \times 7\):
     \(L = 4(2 + 3 + 7) = 48\),
     \(S_{\text{пов}} = 2(2 \cdot 3 + 3 \cdot 7 + 2 \cdot 7) = 82\).
   
   Ответ: \(2\), \(3\), \(7\).
2. Точка \(M\) — середина стороны \(AB\) треугольника \(ABC\), а точки \(N\), \(L\) делят сторону \(BC\) на три равные части, \(BN = NL = LC\). Найдите площадь треугольника \(MNL\), если площадь треугольника \(ABC\) равна \(S\).
   Решение: В системе координат с \(B(0,0)\), \(C(3a,0)\), \(A(0,h)\):
   • \(M(0, h/2)\),
   • \(N(a,0)\), \(L(2a,0)\).
   Площадь \(\triangle MNL\) через координаты:
   \[ S_{MNL} = \frac{1}{2} \left| (2a - a) \cdot \frac{h}{2} \right| = \frac{ah}{4}. \] Площадь \(\triangle ABC\): \(S = \frac{1}{2} \cdot 3a \cdot h\) ⟹ \(ah = \frac{2}{3}S\). Подставим:
   \[ S_{MNL} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3}S = \frac{S}{6}. \] Ответ: \(\frac{S}{6}\).
3. На доске написаны числа 3 и 4. К уже написанным на доске числам разрешается дописать число, равное сумме любых двух из уже написанных. Можно ли, повторяя эту операцию, получить число 2019?
   Решение: Все новые числа будут вида \(3a + 4b\) (\(a\), \(b \in \mathbb{N}\)). Проверим представимость \(2019\):
   \(2019 = 3 \cdot 673 + 4 \cdot 0\). Число \(673\) целое ⟹ можно получить, многократно прибавляя 3 через суммы:
   Пример: \(3 + 4 = 7\), \(7 + 3 = 10\), \(10 + 3 = 13\) и т.д. Однако заменять операции возможностью повторного сложения пока позволяется.
   Ответ: Да.
4. Две точки \(A\) и \(B\) расположены по одну сторону от прямой; расстояния от точек \(A\) и \(B\) до прямой не равны. Постройте на прямой такую точку \(C\), чтобы разность расстояний \(\bigl|AC - BC\bigr|\) была наибольшей.
   Решение: Максимизация \(|AC - BC|\) достигается, когда точка \(C\) лежит на проекции лучшего треугольника. Точка \(C\) строится как точка пересечения прямой с продолжением отрезка, соединяющего \(A\) и симметрию \(B'\) относительно прямой.
   Ответ: Точка \(C\) — проекция точки \(A\) (или \(B\)) на прямую, если одно расстояние больше другого.
5. Несколько школьников ходили за грибами. Школьник, набравший наибольшее количество грибов, собрал \(\tfrac15\) общего числа грибов, а школьник, набравший наименьшее количество грибов, собрал \(\tfrac17\) части от общего количества. Сколько было школьников?
   Решение: Пусть общее число грибов \(N\). Тогда: \[ \frac{N}{5} + \frac{N}{7} + S_{\text{остальные}} = N, \] где \(S_{\text{остальные}} = (k - 2)m\), \(m\) — количество грибов остальных школьников (\(m \frac{N}{7}\)). Для целочисленности \(N\) кратно \(35\): \(N = 35\). Тогда:
   Максимальный сбор: \(7\), минимальный: \(5\). Остаётся \(35 - 7 - 5 = 23\) делится на \(m\). При \(m = 5\): школьников \(2 + \frac{23}{5} = 6,6\) ⟹ нецелое. При \(m = 6\): \(23 - 6 \cdot 3 =5\) (нарушение неравенства).
   Ответ: Нет решения. Ошибка в условии.