Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2019 год

Вариант 1

1. Решите неравенство: \[ \lvert 2x - 5\rvert \;-\; 3\lvert x\rvert \;<\; 4. \]
2. Решите уравнение: \[ \frac{16 - 2x^3}{x^2 - 4} \;+\; \frac{6x}{x + 2} \;+\; 3 \;=\; 0. \]
3. Вычислите: \[ \frac{9^n\cdot 8^{\,n+1}\;-\;2^{\,n-1}\cdot 6^{\,2n+1}} {12^n\cdot 6^{\,n+2}}. \]
4. 1. Постройте график функции: \[ f(x) \;=\; \frac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{x - 1}. \]
   2. Найдите, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ f(x) = a \] имеет единственное решение.
5. Решите уравнение: \[ \sqrt{3x + 1}\;+\;1 \;=\; x. \]
6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{\lvert x + 2\rvert}{x^2 - 9} \;\ge\; 0,\\[1em] \displaystyle \frac{(x^2 - 4x - 5)\,(x - 4)}{x - 5} \;>\; 0. \end{cases} \]
7. Биссектриса угла \(A\) параллелограмма \(ABCD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(L\), а продолжение стороны \(DC\) — в точке \(K\). Известно, что \(CK = 6\), \(3AL = LK\), \(\angle ADC = 150^\circ\). Найдите:
   1. длину стороны \(AB\);
   2. угол \(\angle CKL\);
   3. площадь треугольника \(KAD\).
8. Рыбак Аркадий греб на весельной лодке по течению реки \(18\) км на \(48\) минут дольше, чем возвращался обратно с включённым мотором. Известно, что собственная скорость лодки на веслах в \(3\) раза меньше собственной скорости лодки с мотором. Найдите, какой могла быть скорость лодки на веслах, если скорость течения реки \(3\) км/ч.
9. 1. Какие вещества из перечисленных ниже реагируют при комнатной температуре с водой? Запишите уравнения возможных реакций и укажите, для каких веществ реакции не происходит.
   2. В какой из указанных реакций образуется кислота?
      1. Напишите формулу и назовите кислоту.
      2. Напишите формулу и назовите натриевую соль этой кислоты.
      3. Рассчитайте массу полученной кислоты, если в реакции расходовано \(360\) мл воды.
10. Лесозаготовительная компания «Весёлый бобёр» спилила все деревья с участка леса площадью \(1\) гектар, на котором росли только столетние сосны. Оцените суммарную площадь оставшихся после спила пней. Не забудьте обосновать использованные при решении задачи оценки.

Решения задач

1. Решите неравенство: \[ \lvert 2x - 5\rvert \;-\; 3\lvert x\rvert \;<\; 4. \]
   Решение: Рассмотрим три случая для значений модулей: 1. При \(x < 0\): \[ (5 - 2x) - 3(-x) < 4 \;\Leftrightarrow\; 5 - 2x + 3x < 4 \;\Leftrightarrow\; x < -1. \] Решение: \(x < -1\). 2. При \(0 \le x < \frac{5}{2}\): \[ (5 - 2x) - 3x < 4 \;\Leftrightarrow\; 5 - 5x \frac{1}{5}. \] Решение: \(\frac{1}{5} < x < \frac{5}{2}\). 3. При \(x \ge \frac{5}{2}\): \[ (2x - 5) - 3x < 4 \;\Leftrightarrow\; -x - 5 -9. \] Решение: \(x \ge \frac{5}{2}\). Объединяя интервалы: \(x \in (-\infty; -1) \cup (\frac{1}{5}; +\infty)\).
   Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (\frac{1}{5}; +\infty)\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{16 - 2x^3}{x^2 - 4} \;+\; \frac{6x}{x + 2} \;+\; 3 \;=\; 0. \]
   Решение: Упростим уравнение, приводя к общему знаменателю \(x^2 - 4\): \[ \frac{16 - 2x^3 + 6x(x - 2) + 3(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = 0. \] Упростим числитель: \[ -2x^3 + 9x^2 - 12x + 4 = 0. \] Корни: \(x = 2\) (двойной корень), \(x = \frac{1}{2}\). Проверим ограничения \(x \neq \pm 2\). Подходит только \(x = \frac{1}{2}\).
   Ответ: \(x = \frac{1}{2}\).
   
   
3. Вычислите: \[ \frac{9^n\cdot 8^{\,n+1}\;-\;2^{\,n-1}\cdot 6^{\,2n+1}} {12^n\cdot 6^{\,n+2}}. \]
   Решение: Приведем степени к базовым множителям: \[ 9^n = 3^{2n},\quad 8^{n+1} = 2^{3(n+1)},\quad 6^{\,2n+1} = 2^{\,2n+1} \cdot 3^{\,2n+1},\quad 12^n = 2^{2n} \cdot 3^n,\quad 6^{\,n+2} = 2^{\,n+2} \cdot 3^{\,n+2}. \] После сокращения получим: \[ \frac{2^{3n + 3} \cdot 3^{2n} - 2^{\,3n + 1} \cdot 3^{2n + 1}}{2^{\,3n + 2} \cdot 3^{2n + 4.5}} = \frac{2^{3n + 1} \cdot 3^{2n}(2 - 3)}{2^{3n + 2} \cdot 3^{2n + 2}} = -\frac{1}{3^2 \cdot 2} = -\frac{1}{18}. \]
   Ответ: \(-\frac{1}{18}\).
   
   
4. 1. Постройте график функции: \[ f(x) \;=\; \frac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{x - 1}. \]
      Решение: Упростим функцию: \[ f(x) = (x - 2)(x + 1)\quad \text{при} \quad x \neq 1. \] График — прямая с выколотой точкой при \(x = 1\).
      
      
   2. Найдите, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ f(x) = a \] имеет единственное решение.
      Решение: Единственное решение будет при \(a \neq f(1)\). Вычислим \(f(1)\): \[ \lim_{x \to 1} f(x) = (1 - 2)(1 + 1) = -2. \] Ответ: \(a \neq -2\).
   
   
   
5. Решите уравнение: \[ \sqrt{3x + 1}\;+\;1 \;=\; x. \]
   Решение: Изолируем корень и возведем в квадрат: \[ \sqrt{3x + 1} = x - 1 \quad \Rightarrow \quad 3x + 1 = x^2 - 2x + 1. \] \[ x^2 - 5x = 0 \;\Rightarrow\; x(x - 5) = 0. \] Проверка: \(x = 0\) не подходит; \(x = 5\) — корень.
   Ответ: \(x = 5\).
   
   
6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \frac{\lvert x + 2\rvert}{x^2 - 9} \;\ge\; 0,\\[1em] \frac{(x^2 - 4x - 5)\,(x - 4)}{x - 5} \;>\\; 0. \end{cases} \]
   Решение: Первое неравенство выполняется при \(x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)\). Второе неравенство упрощается до \((x + 1)(x - 4) > 0\), откуда \(x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)\) при \(x \neq 5\). Пересечение решений: \(x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)\).
   Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)\).
   
   
7. Биссектриса угла \(A\) параллелограмма \(ABCD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(L\), а продолжение стороны \(DC\) — в точке \(K\). Известно, что \(CK = 6\), \(3AL = LK\), \(\angle ADC = 150^\circ\). Найдите:
   1. Длину стороны \(AB\).
      Решение: Используя теорему о биссектрисе и соотношение \(3AL = LK\), получим \(AB = \frac{3CK}{2} = 9\) см.
      Ответ: 9 см.
   2. Угол \(\angle CKL\).
      Решение: По свойству углов в треугольнике \(CKL\), \(\angle CKL = 30^\circ\).
      Ответ: \(30^\circ\).
   3. Площадь треугольника \(KAD\).
      Решение: \(S_{\triangle KAD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AK \cdot \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 18 \cdot \frac{1}{2} = 40,5\) см².
      Ответ: 40,5 см².
   
   
   
8. Рыбак Аркадий греб на весельной лодке по течению реки \(18\) км на \(48\) минут дольше, чем возвращался обратно с включённым мотором. Собственная скорость лодки на веслах в \(3\) раза меньше собственной скорости лодки с мотором. Найдите скорость лодки на веслах, если скорость течения реки \(3\) км/ч.
   Решение: Пусть \(x\) — скорость на веслах (км/ч). Тогда скорость на моторе \(3x\) км/ч. Время: \[ \frac{18}{x + 3} - \frac{18}{3x - 3} = \frac{48}{60} = 0,8. \] Решая уравнение: \[ 18 \cdot \frac{3x - 3 - x - 3}{(x + 3)(3x - 3)} = 0,8 \quad \Rightarrow \quad 18 \cdot \frac{2x - 6}{(x + 3)(3x - 3)} = 0,8. \] После упрощений получаем \(x = 6\) км/ч.
   Ответ: 6 км/ч.
   
   
9. 1. Реакции:
      • Cl₂O₇ + H₂O → 2HClO₄ (реагирует),
      • Ba + 2H₂O → Ba(OH)₂ + H₂↑,
      • Na₂O₂ + 2H₂O → 2NaOH + H₂O₂ (или О₂).
      
      
      
   2. Кислота образуется в реакции оксида хлора(VII) с водой: HClO₄ (хлорная кислота). Натриевая соль: NaClO₄ (перхлорат натрия). Масса кислоты: \[ m(\text{HClO₄}) = \frac{360}{18} \cdot \frac{2 \cdot 100,5}{1} = 402 \,\text{г}. \]
      Ответ: 402 г.
   
   
   
10. Оценка площади пней:
    Средний диаметр пня 0,5 м (радиус 0,25 м), плотность деревьев 400 шт/га. Площадь пней: \[ 400 \cdot \pi \cdot (0,25)^2 \approx 78,5 \,\text{м²}. \]
    Ответ: ~78,5 м².