8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 04.2019
Печать
youit.school ©

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)


2019 год


Вариант 1



  1. Решите неравенство: \[ \lvert 2x - 5\rvert \;-\; 3\lvert x\rvert \;<\; 4. \]
  2. Решите уравнение: \[ \frac{16 - 2x^3}{x^2 - 4} \;+\; \frac{6x}{x + 2} \;+\; 3 \;=\; 0. \]
  3. Вычислите: \[ \frac{9^n\cdot 8^{\,n+1}\;-\;2^{\,n-1}\cdot 6^{\,2n+1}} {12^n\cdot 6^{\,n+2}}. \]
    1. Постройте график функции: \[ f(x) \;=\; \frac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{x - 1}. \]
    2. Найдите, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ f(x) = a \] имеет единственное решение.
  5. Решите уравнение: \[ \sqrt{3x + 1}\;+\;1 \;=\; x. \]
  6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{\lvert x + 2\rvert}{x^2 - 9} \;\ge\; 0,\\[1em] \displaystyle \frac{(x^2 - 4x - 5)\,(x - 4)}{x - 5} \;>\; 0. \end{cases} \]
  7. Биссектриса угла \(A\) параллелограмма \(ABCD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(L\), а продолжение стороны \(DC\) — в точке \(K\). Известно, что \(CK = 6\), \(3AL = LK\), \(\angle ADC = 150^\circ\). Найдите:
    1. длину стороны \(AB\);
    2. угол \(\angle CKL\);
    3. площадь треугольника \(KAD\).
  8. Рыбак Аркадий греб на весельной лодке по течению реки \(18\) км на \(48\) минут дольше, чем возвращался обратно с включённым мотором. Известно, что собственная скорость лодки на веслах в \(3\) раза меньше собственной скорости лодки с мотором. Найдите, какой могла быть скорость лодки на веслах, если скорость течения реки \(3\) км/ч.
    1. Какие вещества из перечисленных ниже реагируют при комнатной температуре с водой? Запишите уравнения возможных реакций и укажите, для каких веществ реакции не происходит.
    2. В какой из указанных реакций образуется кислота?
      1. Напишите формулу и назовите кислоту.
      2. Напишите формулу и назовите натриевую соль этой кислоты.
      3. Рассчитайте массу полученной кислоты, если в реакции расходовано \(360\) мл воды.
  10. Лесозаготовительная компания «Весёлый бобёр» спилила все деревья с участка леса площадью \(1\) гектар, на котором росли только столетние сосны. Оцените суммарную площадь оставшихся после спила пней. Не забудьте обосновать использованные при решении задачи оценки.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите неравенство: \[ \lvert 2x - 5\rvert \;-\; 3\lvert x\rvert \;<\; 4. \]
    Решение: Рассмотрим три случая для значений модулей: 1. При \(x < 0\): \[ (5 - 2x) - 3(-x) < 4 \;\Leftrightarrow\; 5 - 2x + 3x < 4 \;\Leftrightarrow\; x < -1. \] Решение: \(x < -1\). 2. При \(0 \le x < \frac{5}{2}\): \[ (5 - 2x) - 3x < 4 \;\Leftrightarrow\; 5 - 5x \frac{1}{5}. \] Решение: \(\frac{1}{5} < x < \frac{5}{2}\). 3. При \(x \ge \frac{5}{2}\): \[ (2x - 5) - 3x < 4 \;\Leftrightarrow\; -x - 5 -9. \] Решение: \(x \ge \frac{5}{2}\). Объединяя интервалы: \(x \in (-\infty; -1) \cup (\frac{1}{5}; +\infty)\).
    Ответ: \(x \in (-\infty; -1) \cup (\frac{1}{5}; +\infty)\).

  2. Решите уравнение: \[ \frac{16 - 2x^3}{x^2 - 4} \;+\; \frac{6x}{x + 2} \;+\; 3 \;=\; 0. \]
    Решение: Упростим уравнение, приводя к общему знаменателю \(x^2 - 4\): \[ \frac{16 - 2x^3 + 6x(x - 2) + 3(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = 0. \] Упростим числитель: \[ -2x^3 + 9x^2 - 12x + 4 = 0. \] Корни: \(x = 2\) (двойной корень), \(x = \frac{1}{2}\). Проверим ограничения \(x \neq \pm 2\). Подходит только \(x = \frac{1}{2}\).
    Ответ: \(x = \frac{1}{2}\).

  3. Вычислите: \[ \frac{9^n\cdot 8^{\,n+1}\;-\;2^{\,n-1}\cdot 6^{\,2n+1}} {12^n\cdot 6^{\,n+2}}. \]
    Решение: Приведем степени к базовым множителям: \[ 9^n = 3^{2n},\quad 8^{n+1} = 2^{3(n+1)},\quad 6^{\,2n+1} = 2^{\,2n+1} \cdot 3^{\,2n+1},\quad 12^n = 2^{2n} \cdot 3^n,\quad 6^{\,n+2} = 2^{\,n+2} \cdot 3^{\,n+2}. \] После сокращения получим: \[ \frac{2^{3n + 3} \cdot 3^{2n} - 2^{\,3n + 1} \cdot 3^{2n + 1}}{2^{\,3n + 2} \cdot 3^{2n + 4.5}} = \frac{2^{3n + 1} \cdot 3^{2n}(2 - 3)}{2^{3n + 2} \cdot 3^{2n + 2}} = -\frac{1}{3^2 \cdot 2} = -\frac{1}{18}. \]
    Ответ: \(-\frac{1}{18}\).

    1. Постройте график функции: \[ f(x) \;=\; \frac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{x - 1}. \]
      Решение: Упростим функцию: \[ f(x) = (x - 2)(x + 1)\quad \text{при} \quad x \neq 1. \] График — прямая с выколотой точкой при \(x = 1\).

    2. Найдите, при каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ f(x) = a \] имеет единственное решение.
      Решение: Единственное решение будет при \(a \neq f(1)\). Вычислим \(f(1)\): \[ \lim_{x \to 1} f(x) = (1 - 2)(1 + 1) = -2. \] Ответ: \(a \neq -2\).


  5. Решите уравнение: \[ \sqrt{3x + 1}\;+\;1 \;=\; x. \]
    Решение: Изолируем корень и возведем в квадрат: \[ \sqrt{3x + 1} = x - 1 \quad \Rightarrow \quad 3x + 1 = x^2 - 2x + 1. \] \[ x^2 - 5x = 0 \;\Rightarrow\; x(x - 5) = 0. \] Проверка: \(x = 0\) не подходит; \(x = 5\) — корень.
    Ответ: \(x = 5\).

  6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \frac{\lvert x + 2\rvert}{x^2 - 9} \;\ge\; 0,\\[1em] \frac{(x^2 - 4x - 5)\,(x - 4)}{x - 5} \;>\\; 0. \end{cases} \]
    Решение: Первое неравенство выполняется при \(x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)\). Второе неравенство упрощается до \((x + 1)(x - 4) > 0\), откуда \(x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)\) при \(x \neq 5\). Пересечение решений: \(x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)\).
    Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty)\).

  7. Биссектриса угла \(A\) параллелограмма \(ABCD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(L\), а продолжение стороны \(DC\) — в точке \(K\). Известно, что \(CK = 6\), \(3AL = LK\), \(\angle ADC = 150^\circ\). Найдите:
    1. Длину стороны \(AB\).
      Решение: Используя теорему о биссектрисе и соотношение \(3AL = LK\), получим \(AB = \frac{3CK}{2} = 9\) см.
      Ответ: 9 см.
    2. Угол \(\angle CKL\).
      Решение: По свойству углов в треугольнике \(CKL\), \(\angle CKL = 30^\circ\).
      Ответ: \(30^\circ\).
    3. Площадь треугольника \(KAD\).
      Решение: \(S_{\triangle KAD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AK \cdot \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 18 \cdot \frac{1}{2} = 40,5\) см².
      Ответ: 40,5 см².


  8. Рыбак Аркадий греб на весельной лодке по течению реки \(18\) км на \(48\) минут дольше, чем возвращался обратно с включённым мотором. Собственная скорость лодки на веслах в \(3\) раза меньше собственной скорости лодки с мотором. Найдите скорость лодки на веслах, если скорость течения реки \(3\) км/ч.
    Решение: Пусть \(x\) — скорость на веслах (км/ч). Тогда скорость на моторе \(3x\) км/ч. Время: \[ \frac{18}{x + 3} - \frac{18}{3x - 3} = \frac{48}{60} = 0,8. \] Решая уравнение: \[ 18 \cdot \frac{3x - 3 - x - 3}{(x + 3)(3x - 3)} = 0,8 \quad \Rightarrow \quad 18 \cdot \frac{2x - 6}{(x + 3)(3x - 3)} = 0,8. \] После упрощений получаем \(x = 6\) км/ч.
    Ответ: 6 км/ч.

    1. Реакции:
      • Cl₂O₇ + H₂O → 2HClO₄ (реагирует),
      • Ba + 2H₂O → Ba(OH)₂ + H₂↑,
      • Na₂O₂ + 2H₂O → 2NaOH + H₂O₂ (или О₂).


    2. Кислота образуется в реакции оксида хлора(VII) с водой: HClO₄ (хлорная кислота). Натриевая соль: NaClO₄ (перхлорат натрия). Масса кислоты: \[ m(\text{HClO₄}) = \frac{360}{18} \cdot \frac{2 \cdot 100,5}{1} = 402 \,\text{г}. \]
      Ответ: 402 г.


  10. Оценка площади пней:
    Средний диаметр пня 0,5 м (радиус 0,25 м), плотность деревьев 400 шт/га. Площадь пней: \[ 400 \cdot \pi \cdot (0,25)^2 \approx 78,5 \,\text{м²}. \]
    Ответ: ~78,5 м².
Материалы школы Юайти