Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2019 год вариант 1

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2019 год

19.08.2019

Вариант 1

1. Вычислить: \[ \frac{15^{n+3}\cdot 45^n}{3^{3n+1}\cdot 25^{n+1}}. \]
2. Решить уравнение: \[ 3 - 2\lvert x - 3\rvert + \lvert 1 - x\rvert = 1. \]
3. Решить неравенство: \[ \frac{x + 3}{x^2 - 3x - 4} \;\ge\;\frac{2}{x - 4}. \]
4. Решить неравенство: \[ \sqrt{2x + 3} \;>\; x - 2. \]
5. 1. Постройте график функции \[ y = \frac{4x - x^3 - x^2 + 4}{x + 1}. \]
   2. Найдите значения \(k\), при которых прямая \(y = kx\) имеет с графиком одной общей точкой.
6. Аркаша выжимал сок из апельсина. В свежем апельсине \(85\%\) влаги, а в том, что осталось после выжимки, — только \(20\%\). Сколько весил свежий апельсин, если Аркаша выжал \(117\) граммов сока?
7. На строительный объект в течение всего дня камазы равномерно, с одной и той же скоростью, подвозят песок. В начале рабочего дня площадка, на которую сваливают песок, была заполнена ровно наполовину. Прораб направил на распределение песка две бригады, но через час обнаружил, что площадка заполнена на \(\tfrac{2}{3}\), поэтому он направил ещё одну бригаду. Через два часа он заметил, что песка на площадке всё ещё \(\tfrac{2}{3}\) и направил четвёртую бригаду. Через сколько часов после начала рабочего дня площадка опустеет, если известно, что все четыре бригады работают с одной скоростью и не мешают друг другу?
8. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) \(AC\) — основание, \(BE\) — высота, \(AL\) — биссектриса; \(\displaystyle \frac{AB}{AC} = \frac{2}{3}.\) В треугольнике \(BEC\) проведена высота \(EN\). Найдите отношение: \[ \text{a) } \frac{BL}{LC},\quad \text{b) } \frac{BE}{EN},\quad \text{c) } \frac{R_{\text{опис}}(ABC)}{r_{\text{впис}}(ABC)}. \]
9. Как известно, водород, получаемый при электролизе водного раствора щёлочи, содержит в качестве примесей пары воды и кислород. \(1{,}12\),м\(^3\) такого газа при нормальных условиях пропустили сначала через трубку с фосфорным ангидридом (реакция 1), затем над нагретым катализатором, в качестве которого использовался платинированный асбест (реакция 2), и, наконец, через вторую трубку с фосфорным ангидридом (реакция 3). При этом масса первой трубки с фосфорным ангидридом увеличилась на \(3{,}36\),г, а масса второй трубки — на \(3{,}6\),г.
   1. Запишите уравнения всех трёх реакций.
   2. Определите влажность электролитического водорода в граммах на м\(^3\).
   3. Определите содержание кислорода в объёмных процентах.
10. Лесозаготовительная компания «Весёлый бобёр» спилила все деревья с участка леса площадью \(1\) гектар, на котором росли только столетние сосны. Оцените суммарную площадь оставшихся после спила пней. Не забудьте обосновать использованные при решении задачи оценки.

Решения задач

1. Вычислить: \[ \frac{15^{n+3} \cdot 45^n}{3^{3n+1} \cdot 25^{n+1}}. \] Решение: Представим числа в виде степеней простых множителей:
   \(15 = 3 \cdot 5\), \(45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5\), \(25 = 5^2\)
   Преобразуем выражение: \[ \frac{(3 \cdot 5)^{n+3} \cdot (3^2 \cdot 5)^n}{3^{3n+1} \cdot (5^2)^{n+1}} = \frac{3^{n+3} \cdot 5^{n+3} \cdot 3^{2n} \cdot 5^n}{3^{3n+1} \cdot 5^{2n+2}} \] Суммируем степени одинаковых оснований: \[ \frac{3^{n+3+2n} \cdot 5^{n+3+n}}{3^{3n+1} \cdot 5^{2n+2}} = \frac{3^{3n+3} \cdot 5^{2n+3}}{3^{3n+1} \cdot 5^{2n+2}} = 3^{2} \cdot 5^{1} = 9 \cdot 5 = 45. \] Ответ: 45.
2. Решить уравнение: \[ 3 - 2\lvert x - 3\rvert + \lvert 1 - x\rvert = 1. \] Решение: Перенесем константы в правую часть: \[ -2\lvert x - 3\rvert + \lvert 1 - x\rvert = -2 \] Рассмотрим случаи по знаку выражений под модулем. Случай 1: \(x \ge 3\)
   \(\lvert x - 3\rvert = x - 3\)
   \(\lvert 1 - x\rvert = x - 1\)
   Уравнение: \[ -2(x - 3) + (x - 1) = -2 \implies -2x + 6 + x - 1 = -2 \implies -x + 5 = -2 \implies x = 7 \] Проверка: \(7 \ge 3\) → решение подходит. Случай 2: \(1 \le x < 3\)
   \(\lvert x - 3\rvert = 3 - x\)
   \(\lvert 1 - x\rvert = x - 1\)
   Уравнение: \[ -2(3 - x) + (x - 1) = -2 \implies -6 + 2x + x - 1 = -2 \implies 3x - 7 = -2 \implies x = \frac{5}{3} \] Проверка: \(\frac{5}{3} \approx 1.666\), что удовлетворяет условию → решение подходит. Случай 3: \(x < 1\)
   \(\lvert x - 3\rvert = 3 - x\)
   \(\lvert 1 - x\rvert = 1 - x\)
   Уравнение: \[ -2(3 - x) + (1 - x) = -2 \implies -6 + 2x + 1 - x = -2 \implies x - 5 = -2 \implies x = 3 \] Полученное значение \(x = 3\) не принадлежит рассматриваемой области \(x < 1\) → решения нет. Ответ: \(x = \frac{5}{3}\) и \(x = 7\).
3. Решить неравенство: \[ \frac{x + 3}{x^2 - 3x - 4} \ge \frac{2}{x - 4}. \] Решение: Разложим знаменатель на множители: \[ x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) \] Перенесем все слагаемые в левую часть: \[ \frac{x + 3}{(x - 4)(x + 1)} - \frac{2}{x - 4} \ge 0 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{x + 3 - 2(x + 1)}{(x - 4)(x + 1)} \ge 0 \implies \frac{-x + 1}{(x - 4)(x + 1)} \ge 0 \] Определяем критические точки числителя и знаменателя:
   \(x = 1\) (ноль числителя), \(x = 4\) и \(x = -1\) (точки разрыва). Метод интервалов: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline Интервал & (-\infty; -1) & (-1; 1) & (1; 4) & (4; +\infty) \\ \hline Знак дроби & (-) & (+) & (-) & (+) \\ \hline \end{array} \] Учитывая неравенство (\(\ge 0\)), выбираем интервалы с положительными значениями и точки, где выражение равно нулю (\(x=1\)). Ответ: \(x \in (-1; 1] \cup (4; +\infty)\).
4. Решить неравенство: \[ \sqrt{2x + 3} > x - 2. \] Решение: Область определения корня: \[ 2x + 3 \ge 0 \implies x \ge -\frac{3}{2} \] Рассмотрим два случая: Случай 1: \(x - 2 < 0\) (правая часть отрицательна)
   При \(x < 2\) левая часть \(\sqrt{...} \ge 0\), а правая \(< 0\), неравенство выполняется для всех \(x\), удовлетворяющих ОДЗ и данному условию: \[ -\frac{3}{2} \le x < 2 \] Случай 2: \(x - 2 \ge 0\) (обе части неотрицательны)
   Возводим обе части в квадрат: \[ 2x + 3 > (x - 2)^2 \implies 2x + 3 > x^2 - 4x + 4 \] Переносим все в левую часть: \[ x^2 - 6x + 1 < 0 \] Находим корни квадратного уравнения: \[ D = 36 - 4 = 32 \implies x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2} \] Неравенство выполняется между корнями: \[ 3 - 2\sqrt{2} < x < 3 + 2\sqrt{2} \] С учетом условия \(x \ge 2\) интервал сужается до: \[ 2 \le x < 3 + 2\sqrt{2} \] Объединяем решения двух случаев: \[ -\frac{3}{2} \le x < 3 + 2\sqrt{2} \] Ответ: \(x \in \left[-\dfrac{3}{2}; 3 + 2\sqrt{2}\right)\).
5. 1. Постройте график функции: \[ y = \frac{4x - x^3 - x^2 + 4}{x + 1}. \] Решение: Разделим числитель на знаменатель: $$\begin{aligned} -x^3 - x^2 + 4x + 4 &= -(x^3 + x^2 - 4x - 4) \\ &= -(x^2(x + 1) - 4(x + 1)) = -(x + 1)(x^2 - 4) = -(x + 1)(x - 2)(x + 2) \end{aligned}$$ Теперь упростим дробь: \[ y = \frac{-(x + 1)(x - 2)(x + 2)}{x + 1} = -(x - 2)(x + 2) = -x^2 + 4 \] При \(x \ne -1\). Таким образом, графиком функции будет парабола \(y = -x^2 + 4\) с выколотой точкой при \(x = -1\) (значение функции в этой точке равно \(y(-1) = 3\)). Ответ: График параболы \(y = -x^2 + 4\) с выколотой точкой \((-1; 3)\).
   2. Найдите значения \(k\), при которых прямая \(y = kx\) имеет с графиком одной общей точкой. Решение: Условие пересечения: \[ kx = -x^2 + 4 \implies x^2 + kx - 4 = 0 \] Уравнение должно иметь один корень (\(D = 0\)): \[ D = k^2 + 16 = 0 \implies k^2 = -16 \] Нет действительных решений. Однако нужно проверить возможность совпадения точек разрыва с пересечениями: \\ При \(x = -1\) прямая \(y = kx\) проходит через точку \((-1; -k)\). Значение функции в этой точке равно 3: \[ -k \cdot (-1) = 3 \implies k = 3 \] Ответ: \(k = 3\).
6. Аркаша выжал \(117\) граммов сока из апельсина. Свежий апельсин содержит \(85\%\) влаги, а выжимка — \(20\%\) влаги. Найти массу свежего апельсина. Решение: Пусть масса апельсина \(m\) г. Сухое вещество составляет \(15% \cdot m = 0,15m\) г. После отжима сока \(117\) г остаётся жмых с \(20\%\) влаги, значит сухое вещество в жмыхе \(80\%\). Обозначим массу жмыха \(x\): \[ 0,8x = 0,15m \implies x = \frac{0,15m}{0,8} = \frac{3m}{16} \] Масса отжатого сока: \[ m - x = 117 \implies m - \frac{3m}{16} = \frac{13m}{16} = 117 \implies m = \frac{117 \cdot 16}{13} = 144 \] Ответ: 144 г.
7. Площадка с песком заполнена наполовину. Камазы подвозят песок с постоянной скоростью \(V\) (объём/час). Бригады распределяют песок с общей скоростью \(n(t) \cdot S\), где \(n(t)\) — количество бригад. В течение первого часа заполненность повысилась с \(\frac{1}{2}\) до \(\frac{2}{3}\). После добавления бригады площадка опустела через некоторое время. Найти общее время. Решение: Пусть общий объём площадки равен \(C\). Скорость притока песка: \(V\). Скорость распределения при \(n\) бригадах: \(nS\). Изменение объёма песка: \[ \frac{dV}{dt} = V - n(t)S \] В первый час (\(0 < t < 1\)) было две бригады: \[ \frac{\Delta V}{\Delta t} = V - 2S = \frac{\frac{2}{3}C - \frac{1}{2}C}{1} = \frac{C}{6} \implies V - 2S = \frac{C}{6} \] Следующие два часа (\(1 < t 3\)): \[ \frac{dV}{dt} = V - 4S = 3S - 4S = -S \] Объём песка будет уменьшаться до нуля из \(\frac{2}{3}C\). Время опустошения: \[ t = \frac{\frac{2}{3}C}{S} = \frac{2C}{3S} \] Подставляем ранее найденное соотношение \(V = 3S = \frac{C}{6} + 2S \implies S = \frac{C}{6}\): \[ t = \frac{2C}{3 \cdot \frac{C}{6}} = \frac{2C \cdot 6}{3C} = 4\text{ часа} \] Общее время с начала дня: \[ 3 \text{ часа (до добавления 4-й бригады)} + 4 \text{ часа} = 7\text{ часов} \] Ответ: площадка опустеет через 7 часов после начала рабочего дня.
8. Равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\), \(\frac{AB}{AC} = \frac{2}{3}\).
   1. Найдите \(\frac{BL}{LC}\). Решение: По теореме о биссектрисе: \[ \frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{3} \] Ответ: \(\frac{2}{3}\).
   2. Найдите \(\frac{BE}{EN}\). Решение: Треугольник \(BEC\) прямоугольный, высота \(EN\) делит его на подобные треугольники: \[ \frac{BE}{EN} = \frac{BE}{\sqrt{BE \cdot EC}} = \sqrt{\frac{BE}{EC}} \] Для конкретных вычислений требуется установить длины сторон треугольника \(ABC\). Пусть \(AC = 3k\), тогда \(AB = BC = 2k\). Высота \(BE\) находится по теореме Пифагора: \[ BE = \sqrt{(2k)^2 - \left(\frac{3k}{2}\right)^2} = \sqrt{4k^2 - \frac{9k^2}{4}} = \sqrt{\frac{7k^2}{4}} = \frac{k\sqrt{7}}{2} \] Высота \(EN\) в треугольнике \(BEC\): \[ EN = \frac{BE \cdot EC}{\sqrt{BE^2 + EC^2}} = \frac{\frac{k\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{3k}{2}}{\sqrt{\left(\frac{k\sqrt{7}}{2}\right)^2 + \left(\frac{3k}{2}\right)^2}} = \frac{3k^2\sqrt{7}/4}{k\sqrt{7 + 9}/2} = \frac{3\sqrt{7}k^2}{4} \cdot \frac{2}{k\sqrt{16}} =\frac{3\sqrt{7}}{8} \] Отношение: \[ \frac{BE}{EN} = \frac{\frac{k\sqrt{7}}{2}}{\frac{3\sqrt{7}}{8}} = \frac{4k}{3} = \frac{4}{3} \cdot \frac{AB}{AB} = \frac{4}{3} \] Ответ: \(\frac{4}{3}\).
   3. Найдите \(\frac{R_{\text{опис}}}{r_{\text{впис}}}\). Решение: Используем формулы: \[ R = \frac{abc}{4S}, \quad r = \frac{S}{p} \] Площадь треугольника \(ABC\): \[ S = \frac{1}{2} AC \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot 3k \cdot \frac{k\sqrt{7}}{2} = \frac{3k^2\sqrt{7}}{4} \] Полупериметр: \[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{2k + 2k + 3k}{2} = \frac{7k}{2} \] Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{3k^2\sqrt{7}}{4}}{\frac{7k}{2}} = \frac{3k\sqrt{7}}{14} \] Радиус описанной окружности: \[ R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{(2k)(2k)(3k)}{4 \cdot \frac{3k^2\sqrt{7}}{4}} = \frac{12k^3}{3k^2\sqrt{7}} = \frac{4k}{\sqrt{7}} \] Отношение: \[ \frac{R}{r} = \frac{\frac{4k}{\sqrt{7}}}{\frac{3k\sqrt{7}}{14}} = \frac{4k \cdot 14}{\sqrt{7} \cdot 3k \sqrt{7}} = \frac{56}{21} = \frac{8}{3} \] Ответ: \(\frac{8}{3}\).
9. Химическая задача с поглощением воды и кислорода.
   1. Уравнения реакций: \[ \text{1) } P_4O_{10} + 6H_2O \rightarrow 4H_3PO_4 \\ \text{2) } 2H_2 + O_2 \xrightarrow[\text{кат.}]{} 2H_2O \\ \text{3) } P_4O_{10} + 6H_2O \rightarrow 4H_3PO_4 \]
   2. Влажность оценивается по массе поглощённой воды в первой трубке (\(3,36\) г) и во второй (\(3,6\) г), которая образовалась из кислорода. Общий объём водорода при нормальных условиях: \[ 1,12\ м^3 = 1120\ л \implies n = \frac{1120}{22,4} = 50\ моль \] Масса поглощённой воды в первой трубке соответствует пару в исходном газе: \[ m = 3,36\ г \implies H_2O = \frac{3,36}{18} = 0,187\ моль \] Во второй трубке поглощена вода из реакции кислорода и водорода: \[ m = 3,6\ г \implies H_2O = \frac{3,6}{18} = 0,2\ моль \rightarrow O_2 = 0,1\ моль \] Влажность (масса H2O на м3): \[ \frac{3,36\ г}{1,12\ м^3} = 3\ г/м^3 \] Ответ: 3 г/м³.
   3. Содержание кислорода в объёмных процентах: \[ \%O_2 = \frac{0,1\ моль \cdot 22,4\ л/моль}{1120\ л} \cdot 100% = \frac{2,24}{1120} \cdot 100% = 0,2\% \] Ответ: $0,2\%$.
10. Оценка площади пней. Примем средний диаметр пня сосны 30 см (радиус 0,15 м). Площадь поперечного сечения одного пня: \[ S_1 = \pi r^2 \approx 3,14 \cdot 0,15^2 \approx 0,07\ м^2 \] Для оценки количества деревьев на гектаре: допустим, 500 деревьев на гектар (усреднённая плотность). Общая площадь пней: \[ S_{\text{общ}} = 500 \cdot 0,07 \approx 35\ м^2 \] Ответ: порядка 35 м².