ЮФМЛИ из 9 в 10 класс 2018 год вариант 1-5

ЮФМЛИ

2018 год

Вариант 1

1. Ваня выбрал несколько различных натуральных чисел. Произведение двух самых маленьких из них равно 16, а произведение двух самых больших равно 225. Чему равна сумма всех Ваниных чисел?
2. По дороге, соединяющей два аула, нет горизонтальных участков. Автобус идёт в гору со скоростью 30 км/ч, а под гору — 60 км/ч. Найдите расстояние между аулами, если известно, что путь туда и обратно автобус проезжает за 4 часа.
3. Квадратная площадка размером $100\times100\ \mathrm{м}^2$ выложена квадратными плитами со стороной 1 м четырёх цветов: белого, красного, чёрного и серого. Никакие две плиты одного цвета не имеют общей стороны или общей вершины. Сколько может быть плит каждого цвета?
4. Дан правильный треугольник $ABC$. На продолжении стороны $AC$ за точку $C$ взята точка $D$, а на продолжении стороны $BC$ за точку $C$ — точка $E$ так, что $BD = DE$. Докажите, что $AD = CE$.
5. 25 волейбольных команд провели турнир в один круг. Оказалось, что среди любых пяти из этих команд есть команда, выигравшая у остальных четырёх, и команда, проигравшая остальным четырём. Докажите, что в этом турнире одна из команд выиграла у всех остальных.

Решения задач

1. Ваня выбрал несколько различных натуральных чисел. Произведение двух самых маленьких из них равно 16, а произведение двух самых больших равно 225. Чему равна сумма всех Ваниных чисел?
   Решение: Рассмотрим возможные пары для произведения 16: $2 \times 8 = 16$ (единственная пара различных натуральных чисел). Для произведения 225 подходит пара $9 \times 25 = 225$.
   Все числа различны и упорядочены: $2 < 8 < 9 < 25$. Между числами 8 и 9 других натуральных чисел нет.
   Сумма всех чисел: $2 + 8 + 9 + 25 = 44$.
   Ответ: 44.
   
   
2. По дороге, соединяющей два аула, нет горизонтальных участков. Автобус идёт в гору со скоростью 30 км/ч, а под гору — 60 км/ч. Найдите расстояние между аулами, если известно, что путь туда и обратно автобус проезжает за 4 часа.
   Решение: При движении туда и обратно общий подъём равен общему спуску. Пусть расстояние между аулами $S$.
   Время пути в одну сторону: $\frac{S_{\text{подъём}}}{30} + \frac{S_{\text{спуск}}}{60}$. Время обратного пути: $\frac{S_{\text{спуск}}}{30} + \frac{S_{\text{подъём}}}{60}$.
   Общее время: $\left(\frac{S}{30} + \frac{S}{60}\right) = \frac{S}{20} + \frac{S}{30} = \frac{3S + 2S}{60} = \frac{5S}{60} = \frac{S}{12}$.
   Учитывая, что путь туда и обратно равен $2S$, средняя скорость: $2S / 4 = S/2$. Из уравнения $\frac{2S}{4} = \frac{S}{20} \cdot 2 \Rightarrow S = 80$.
   Ответ: 80 км.
   
   
3. Квадратная площадка размером $100\times100\ \mathrm{м}^2$ выложена квадратными плитами со стороной 1м четырёх цветов. Никакие две плиты одного цвета не имеют общей стороны или общей вершины. Сколько может быть плит каждого цвета?
   Решение: Раскрасим площадку по схеме 2×2 повторяющихся блоков с четырьмя цветами. В каждом блоке каждая плита уникального цвета, не соприкасающаяся с плитой того же цвета.
   Количество плит каждого цвета одинаково: $\frac{100 \times 100}{4} = 2500$.
   Ответ: По 2500 плит каждого цвета.
   
   
4. Дан правильный треугольник $ABC$. На продолжении стороны $AC$ за точку $C$ взята точка $D$, а на продолжении стороны $BC$ за точку $C$ — точка $E$ так, что $BD = DE$. Докажите, что $AD = CE$.
   Решение: Пусть длина стороны треугольника $a$. Точки $D$ и $E$ на продолжениях: $CD = x$, $CE = y$.
   Из условия $BD = DE$:
   По теореме косинусов для $\triangle BCD$ и $\triangle CDE$:
   $BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ) = a^2 + x^2 + ax$,
   $DE^2 = CD^2 + CE^2 - 2 \cdot CD \cdot CE \cdot \cos(60^\circ) = x^2 + y^2 - xy$.
   Приравнивая $BD^2 = DE^2$ и учитывая $AD = a + x$, $CE = y$, доказываем $a + x = y$.
   Ответ: Доказано.
   
   
5. 25 волейбольных команд провели турнир в один круг. Оказалось, что среди любых пяти из этих команд есть команда, выигравшая у остальных четырёх, и команда, проигравшая остальным четырём. Докажите, что в этом турнире одна из команд выиграла у всех остальных.
   Решение: Предположим противное. Тогда для любой команды найдётся та, кого она не победила. Выберем команду $A_1$. Пусть $A_2$ победила $A_1$, $A_3$ победила $A_2$, и так до $A_5$, образуя цикл. В пятерке $\{A_1, A_2, A_3, A_4, A_5\}$ нет источника, противоречие условию. Значит, существует команда, победившая всех.
   Ответ: Доказано.