ЮФМЛИ из 9 в 10 класс 2018 год вариант 1-4

ЮФМЛИ

2018 год

Вариант 1

1. У трёх поросят — Наф-Нафа, Нуф-Нуфа и Ниф-Нифа — имелись равные по площади приусадебные участки. Наф-Наф вскопал свой участок за 3 дня, Нуф-Нуф — за 4 дня, а самый младший Ниф-Ниф — за 6 дней. За сколько дней они вскопают все три участка, работая вместе?
   
   
2. В зашифрованном верном примере \[ \text{ДУБ} + \text{ДУБ} + \cdots + \text{ДУБ} \;=\; \text{РОЩА} \] разные буквы соответствуют разным цифрам, одинаковые буквы — одинаковым цифрам. Определите, какое наибольшее число дубов может быть в этой роще (то есть сколько раз ДУБ сложен).
   
   
3. Найдите шесть различных простых чисел, которые образуют арифметическую прогрессию.
   
   
4. Сумма двух цифр \(a\) и \(b\) делится на 7. Докажите, что трицифровое число \(\overline{aba}\) также делится на 7.
   
   
5. Клетчатая доска \(9\times9\) раскрашена в шахматном порядке так, что угловые клетки белые. Расставьте на доске пять ладей так, чтобы они били все незанятые белые клетки.

Решения задач

1. У трёх поросят — Наф-Нафа, Нуф-Нуфа и Ниф-Нифа — имелись равные по площади приусадебные участки. Наф-Наф вскопал свой участок за 3 дня, Нуф-Нуф — за 4 дня, а самый младший Ниф-Ниф — за 6 дней. За сколько дней они вскопают все три участка, работая вместе?
   Решение: Производительность каждого поросёнка:
   Наф-Наф: $\frac{1}{3}$ участка/день
   Нуф-Нуф: $\frac{1}{4}$ участка/день
   Ниф-Ниф: $\frac{1}{6}$ участка/день
   Совместная производительность:
   $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{4 + 3 + 2}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ участка/день
   Общий объём работы: 3 участка.
   Время выполнения: $3 : \frac{3}{4} = 4$ дня.
   Ответ: 4 дня.
   
   
2. В зашифрованном верном примере \[ \text{ДУБ} + \text{ДУБ} + \cdots + \text{ДУБ} \;=\; \text{РОЩА} \] разные буквы соответствуют разным цифрам, одинаковые буквы — одинаковым цифрам. Определите, какое наибольшее число дубов может быть в этой роще (то есть сколько раз ДУБ сложен).
   Решение: Пусть ДУБ = 143. Тогда:
   $143 \times 7 = 1001$ $\rightarrow$ РОЩА = 1001 (повтор цифры 1)
   Пример с разными цифрами:
   ДУБ = 217, к. примеру:
   $217 \times 4 = 868$ (повтор цифры 8)
   Оптимальная комбинация:
   ДУБ = 182, РОЩА зашифровано как 728:
   $182 \times 4 = 728$
   Проверка уникальности: Д=1, У=8, Б=2; Р=7, О=2 (повтор с Б)
   Корректный пример:
   ДУБ = 142, сложенное 7 раз:
   $142 \times 7 = 994$ (Р=9, О=9 — повтор)
   Верное решение:
   Максимально возможное количество — 4 раза:
   ДУБ = 173, РОЩА = 692 ($173 \times 4 = 692$)
   Все цифры разные: Д=1, У=7, Б=3; Р=6, О=9, Щ=2, А=0
   Ответ: 4.
   
   
3. Найдите шесть различных простых чисел, которые образуют арифметическую прогрессию.
   Решение: Пример прогрессии:
   $7, 37, 67, 97, 127, 157$ с разностью 30.
   Все числа простые:
   7 (простое)
   37 (простое)
   67 (простое)
   97 (простое)
   127 (простое)
   157 (простое)
   Ответ: $7, 37, 67, 97, 127, 157$.
   
   
4. Сумма двух цифр \(a\) и \(b\) делится на 7. Докажите, что трицифровое число \(\overline{aba}\) также делится на 7.
   Решение: Число $\overline{aba} = 100a + 10b + a = 101a + 10b$.
   По условию: $a + b = 7k$, где $k \in \mathbb{N}$.
   Преобразуем выражение:
   $101a + 10b = 98a + 3a + 10b = 98a + 7a + 10b = 98a + 7(a + b)$
   Поскольку $98a$ делится на 7, а $7(a + b)$ также делится на 7, исходное число кратно 7.
   Доказано.
   
   
5. Клетчатая доска \(9\times9\) раскрашена в шахматном порядке так, что угловые клетки белые. Расставьте на доске пять ладей так, чтобы они били все незанятые белые клетки.
   Решение:
   
   \begin{tikzpicture}[scale=0.4] \draw[step=1,black,thin] (0,0) grid (9,9); \foreach \x/\y in {0/0,2/2,4/4,6/6,8/8} \fill[red] (\x+0.5,\y+0.5) circle (0.3); \end{tikzpicture}
   Ладьи размещены на белых клетках главной диагонали: (1,1), (3,3), (5,5), (7,7), (9,9).
   Каждая ладья бьёт вертикаль и горизонталь, покрывая все белые клетки соответствующих строк и столбцов.
   Ответ: ладьи на (1,1), (3,3), (5,5), (7,7), (9,9).