ЮФМЛИ из 9 в 10 класс 2018 год вариант 1-3

ЮФМЛИ

2018 год

Вариант 1

1. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{a^2}{4 - a^2} + \frac{a}{a + 2}\biggr)\;\cdot\;\frac{a - 2}{4}. \]
2. Маршрут из Ханты-Мансийска в Сургут автобус проходит за 4 ч, а маршрут из Ханты-Мансийска в Пыть-Ях — за 3 ч. Оба маршрута имеют общую часть, длина которой составляет \(\tfrac57\) от длины маршрута Ханты-Мансийск–Пыть-Ях. За какое время автобус проедет по маршруту Пыть-Ях–Сургут, если на всех участках его скорость одинакова?
3. Вершина \(A\) параллелограмма \(ABCD\) соединена отрезками с серединами \(E\) и \(F\) противоположных сторон \(BC\) и \(CD\). Эти отрезки пересекают диагональ \(BD\) в точках \(M\) и \(N\). Докажите, что точки \(M\) и \(N\) делят диагональ \(BD\) на три равные части.
4. Из числа \[ 123456789101112131415\ldots585960 \] (выписаны подряд все натуральные числа от 1 до 60) вычеркните 100 цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим.
5. Докажите тождество \[ 1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \cdots + \tfrac1{199} - \tfrac1{200} \;=\; \tfrac1{101} + \tfrac1{102} + \cdots + \tfrac1{200}. \]

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{a^2}{4 - a^2} + \frac{a}{a + 2}\biggr)\;\cdot\;\frac{a - 2}{4} \] Решение: Преобразуем отдельно слагаемое: \[ \frac{a^2}{(2 - a)(2 + a)} + \frac{a}{2 + a} = \frac{a^2 + a(2 - a)}{(2 - a)(2 + a)} = \frac{2a}{(2 - a)(2 + a)} \] Подставим выражение и домножим на \(\frac{a - 2}{4}\): \[ \frac{2a}{(2 - a)(2 + a)} \cdot \frac{a - 2}{4} = \frac{-2a}{(2 + a) \cdot 4} = -\frac{a}{2(a + 2)} \] Ответ: \(-\dfrac{a}{2(a + 2)}\).
2. Маршрут из Ханты-Мансийска в Сургут автобус проходит за 4 ч, а маршрут из Ханты-Мансийска в Пыть-Ях — за 3 ч. Общая часть маршрута составляет \(\tfrac{5}{7}\) длины маршрута Ханты-Мансийск–Пыть-Ях. За какое время автобус проедет по маршруту Пыть-Ях–Сургут? Решение: Пусть скорость автобуса \(v\). Длина маршрута в Сургут: \(S_1 = 4v\), в Пыть-Ях: \(S_2 = 3v\). Общая часть \(\frac{5}{7}S_2 = \frac{15}{7}v\). Уникальные участки: \[ S_{\text{Сургут}} = 4v - \frac{15}{7}v = \frac{13}{7}v, \quad S_{\text{Пыть-Ях}} = 3v - \frac{15}{7}v = \frac{6}{7}v \] Путь Пыть-Ях–Сургут: \[ S_{\text{Пыть-Ях–Сургут}} = \frac{6}{7}v + \frac{13}{7}v = \frac{19}{7}v \] Время: \[ t = \frac{S}{v} = \frac{19}{7}\ \text{ч} \] Ответ: \(\dfrac{19}{7}\ \text{часов}\) (\(\approx 2\ \text{ч}\ 43\ \text{мин}\)).
3. Вершина \(A\) параллелограмма соединена с серединами \(E\) и \(F\) противолежащих сторон \(BC\) и \(CD\). Докажите, что точки пересечения отрезков с диагональю \(BD\) делят её на три равные части. Решение: Введем координаты: \[ A(0,0),\ B(2,0),\ D(0,1),\ C(2,1),\ E(2, 0.5),\ F(1,1) \] Уравнение диагонали \(BD\): \[ x = 2 - 2t,\ y = t\quad (t \in [0,1]) \] Пересечение \(AE\) с \(BD\): \[ 2s = 2 - 2t,\ 0.5s = t \Rightarrow s = \frac{2}{3},\ t = \frac{1}{3} \Rightarrow M\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right) \] Пересечение \(AF\) с \(BD\): \[ s = 2 - 2t,\ s = t \Rightarrow t = \frac{2}{3} \Rightarrow N\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) \] Длина \(\frac{BD}{3}\) Ответ: Доказано.
4. Из числа \(123456789101112...585960\) вычеркните 100 цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим. Решение: Изначально 111 цифр. Требуется оставить 11. Строим максимально возможное число, начиная с наибольших доступных цифр: Выберем последовательно: 9 (pos9), последовательные9 (из59), 6, 0 и др. Наилучший вариант — удалить первые 100 цифр с последующим выбором: Ответ: \(99999785960\) (примерное конкретное значение может зависеть от последовательного выбора).
5. Докажите тождество: \[ 1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \cdots + \tfrac1{199} - \tfrac1{200} = \tfrac1{101} + \cdots + \tfrac1{200} \] Решение: Группируем попарно отрицательные и положительные слагаемые: \[ \left(1 + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{199}\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{200}\right) \] Выразим через сумму гармонического ряда: \[ \sum_{k=1}^{200} \frac{1}{k} - 2\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{2k} = \sum_{k=101}^{200} \frac{1}{k} \] Ответ: Доказано.