ЮФМЛИ из 9 в 10 класс 2018 год вариант 1-2

ЮФМЛИ

2018 год

Вариант 1

1. Подставьте в выражение \[ *** + *** = *** \] вместо звёздочек девять различных ненулевых цифр так, чтобы получилось верное равенство.
   
   
2. Найдите значение выражения \[ (2a - 1)^2 + (2b - 1)^2 + 8ab, \] если известно, что \(a + b = 4\).
   
   
3. В шестом часу минутная стрелка находится на три деления позади часовой. Сколько минут шестого в этот момент?
   
   
4. Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны.
   
   
5. Квадрат \(100\times100\) сантиметров разбит на девять прямоугольников двумя вертикальными и двумя горизонтальными линиями. Внутренний прямоугольник имеет размеры \(45\times30\) сантиметров, а стороны остальных прямоугольников не обязательно выражаются целым числом сантиметров. Найдите сумму площадей четырёх угловых прямоугольников.

Решения задач

1. Заполните пропуски цифрами: \[ 142 + 596 = 738 \] Проверка: Все цифры 1,4,2,5,9,6,7,3,8 различны и ненулевые. Убедимся в правильности суммы:
   \(142 + 596 = 738\).
   Ответ: \(142 + 596 = 738\).
2. Найдите значение выражения: \[ (2a - 1)^2 + (2b - 1)^2 + 8ab \quad \text{при} \quad a + b = 4. \] Решение: Раскрываем скобки и упрощаем: \[ (4a^2 - 4a + 1) + (4b^2 - 4b + 1) + 8ab = 4a^2 + 4b^2 + 8ab - 4a - 4b + 2 = 4(a + b)^2 - 4(a + b) + 2 \] Подставляем \(a + b = 4\): \[ 4 \cdot 16 - 4 \cdot 4 + 2 = 64 - 16 + 2 = 50. \] Ответ: 50.
3. Определите время: Минутная стрелка отстаёт на 3 деления от часовой в шестом часу.
   Решение: Пусть прошло \(t\) минут после 5:00.
   Часовая стрелка перемещается на \(5 + \frac{t}{60} \cdot 5\) делений.
   Минутная стрелка на \(t\) делений. Уравнение для расстояния: \[ t = 5 + \frac{5t}{60} - 3 \] Решаем: \[ t = 2 + \frac{t}{12} \Rightarrow \frac{11t}{12} = 2 \Rightarrow t = \frac{24}{11} \cdot 1 \approx 24 \text{ минуты}. \] Ответ: 24 минуты шестого.
4. Доказательство равенства отрезков при перпендикулярных диагоналях.
   Решение: Пусть \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) — середины сторон \(AB\), \(CD\), \(BC\), \(AD\). Рассмотрим векторы: \[ \overrightarrow{MN} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}}{2}, \quad \overrightarrow{PQ} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}}{2} \] Их длины равны, так как скалярные квадраты: \[ |\overrightarrow{MN}|^2 = \frac{1}{4}\left(|AC|^2 + |BD|^2 + 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}\right) \] При перпендикулярности \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\), следовательно \(|\overrightarrow{MN}| = |\overrightarrow{PQ}|\).
5. Сумма площадей угловых прямоугольников.
   Решение: Общая площадь квадрата \(10000 \, \text{см}^2\). Внутренний прямоугольник занимает \(45 \times 30 = 1350 \, \text{см}^2\). Сумма остальных восьми прямоугольников: \[ 10000 - 1350 = 8650 \, \text{см}^2. \] Угловые прямоугольники и средние части образуют "рамку" вокруг внутреннего прямоугольника. По пропорциям разбиения: \[ \text{Сумма угловых} = a \cdot x + a \cdot (100 - y) + (100 - b) \cdot x + (100 - b) \cdot (100 - y) = (a + (100 - b)) \cdot 100. \] Зная \(b - a = 45\), получаем \(a + (100 - b) = 55\). Итоговая сумма: \[ 55 \cdot 100 = 5500 \, \text{см}^2. \] Ответ: 5500 см².