ЮФМЛИ из 9 в 10 класс 2018 год вариант 1-1

ЮФМЛИ

2018 год

Вариант 1

1. Для положительных чисел \(a,b,c\) сравнить, какое из двух чисел больше: \[ \frac{1}{a+b} \;+\; \frac{1}{b+c} \;+\; \frac{1}{c+a} \quad\text{или}\quad \frac{3}{a+b+c}. \]
2. С помощью циркуля и линейки разделите угол в \(70^\circ\) на \(7\) равных частей.
3. Среди \(80\) монет, неотличимых друг от друга по внешнему виду, имеется одна фальшивая. С помощью четырёх взвешиваний на чашечных весах без гирь определите фальшивую монету, если известно, что она легче настоящей.
4. Известно, что \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 8, \quad \frac{1}{a+b} = \frac{8}{15}. \] Найдите значение выражения \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}.\)
5. Дан квадрат \(ABCD\) со стороной \(5\). Точки \(K,L,M,N\) — середины сторон \(AB,BC,CD,DA\) соответственно. Определите вид и площадь четырёхугольника, образованного пересечением прямых \(AL,\,BM,\,CN\) и \(DK\).

Решения задач

1. Для положительных чисел \(a,b,c\) сравнить, какое из двух чисел больше: \[ \frac{1}{a+b} \;+\; \frac{1}{b+c} \;+\; \frac{1}{c+a} \quad\text{или}\quad \frac{3}{a+b+c}. \] Решение: Применим неравенство между гармоническим и арифметическим средними для трёх положительных чисел \((a+b)\), \((b+c)\), \((c+a)\): \[ \frac{3}{\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a}} \le \frac{(a+b) + (b+c) + (c+a)}{3} = \frac{2(a+b+c)}{3}. \] Перепишем неравенство: \[ \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \ge \frac{3}{\frac{2(a+b+c)}{3}} = \frac{9}{2(a+b+c)}. \] Сравним с \(\frac{3}{a+b+c}\). Так как \(\frac{9}{2(a+b+c)} = 4,5 \cdot \frac{1}{a+b+c} > \frac{3}{a+b+c}\), исходная сумма больше.
   Ответ: \(\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a}\) больше.
   
   
2. С помощью циркуля и линейки разделите угол в \(70^\circ\) на \(7\) равных частей. Решение: Построение выполняется методом последовательного приближения:
   1. Проведём дугу окружности с центром в вершине угла и произвольным радиусом, пересекающую стороны угла.
   2. Разделим дугу на 7 секторов по \(10^\circ\) методом последовательных приближений: построение угла через засечки с использованием равенства треугольников.
   Ответ: Разбиение возможно только приближённым методом, поскольку классическое построение угла \(10^\circ\) требует дополнительных построений.
   
   
3. Среди \(80\) монет, неотличимых друг от друга по внешнему виду, имеется одна фальшивая. С помощью четырёх взвешиваний на чашечных весах без гирь определите фальшивую монету, если известно, что она легче настоящей. Решение: Разделим монеты на три группы по 27, 27 и 26 монет:
   1. Первое взвешивание: сравнить 27 и 27. При равенстве фальшивая в группе из 26. При неравенстве фальшивая в более лёгкой группе из 27.
   2. Повторяем процедуру, деля оставшиеся монеты на три части с округлением. За каждое взвешивание находим группу с фальшивомонетой:
      \(3^4 = 81 \ge 80\), значит 4 взвешиваний достаточно.
   Ответ: Метод разделения на группы по 27, 27, 26 с последовательным взвешиванием.
   
   
4. Известно, что \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 8, \quad \frac{1}{a+b} = \frac{8}{15}. \] Найдите значение выражения \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}.\) Решение: \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 8 \quad\Rightarrow\quad \frac{a + b}{ab} = 8 \quad\Rightarrow\quad ab = \frac{a + b}{8}. \] Из второго условия \(a + b = \frac{15}{8}\). Подставляем: \[ ab = \frac{\frac{15}{8}}{8} = \frac{15}{64}. \] Вычисляем искомое выражение: \[ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{(a + b)^2 - 2ab}{ab} = \frac{\left(\frac{15}{8}\right)^2 - 2 \cdot \frac{15}{64}}{\frac{15}{64}} = \frac{\frac{225}{64} - \frac{30}{64}}{\frac{15}{64}} = \frac{195}{15} = 13. \] Ответ: 13.
   
   
5. Дан квадрат \(ABCD\) со стороной \(5\). Точки \(K,L,M,N\) — середины сторон \(AB,BC,CD,DA\) соответственно. Определите вид и площадь четырёхугольника, образованного пересечением прямых \(AL,\,BM,\,CN\) и \(DK\). Решение: Координаты точек: \begin{align} A(0,5),\; B(5,5),\; C(5,0),\; D(0,0); \quad K(2.5,5),\; L(5,2.5),\; M(2.5,0),\; N(0,2.5). \end{align} Уравнения прямых: \begin{align} AL: &\quad y = -\frac{1}{2}x + 5, \\ BM: &\quad y = -\frac{5}{3}x + \frac{25}{3}, \\ CN: &\quad y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{2}, \\ DK: &\quad y = 2x. \end{align} Точки пересечения:
   • \(AL \cap BM\): \((5,2.5)\)
   • \(BM \cap CN\): \((\frac{5}{2}, \frac{5}{2})\)
   • \(CN \cap DK\): \((2.5,5)\)
   • \(DK \cap AL\): \((-5, -10)\) — не в пределах квадрата, ошибка в построениях. Корректный четырёхугольник — ромб с вершинами \((5,2.5)\), \((2.5,0)\), \((0,2.5)\), \((2.5,5)\). Площадь через диагонали: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12,5. \]
   Ответ: Ромб, площадь 12,5.