Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2018 год вариант 1

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2018 год

Вариант 1

1. Вычислите: \[ \frac{2018^{2n+1} - 2\cdot 2018^{2n}} {1009^{2n+1}\cdot 2^{2n+2} - 1009^{2n}\cdot 4^n\cdot 36\cdot 109}. \]
2. Решите уравнение: \[ \frac{3x^2 + 14x - 5}{3x - 1} \;=\; \frac{(2x^2 + 11x + 5)(15x + 34)}{15x + 60}. \]
3. Постройте график функции: \[ f(x) = -2x - \lvert\,4 + 3x\rvert \] и определите, при каком значении \(x\) достигается наибольшее значение функции.
4. Шиллиарн хотел получить \(15\%\) раствор соли, для этого он смешал \(100\) г \(10\%\) раствора и \(50\) г \(19\%\) раствора. Поняв, что совершил ошибку, он выпарил необходимое количество воды и получил желаемый \(15\%\) раствор. Какое количество воды пришлось выпарить Шиллиарну?
5. Решите неравенство: \[ \frac{\sqrt{5x + 23}}{9 - x^2} \;\le\; 0. \]
6. Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми \[ y = \tfrac{5}{3}x + \tfrac{1}{6}, \quad y = -x + 5.5, \] и осью абсцисс.
7. При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ 2x^2 + ax + 2 = 0 \] имеет два корня, один из которых в четыре раза больше другого?
8. На диагонали прямоугольника \(ABCD\) построили квадрат \(ACKE\) так, что точка \(D\) оказалась центром этого квадрата. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(ABK\), если \(CD = 4\).
9. Кусочек меди аккуратно нагрели в концентрированной серной кислоте. Выделившийся при этом пахучий газ окрашивает влажную лакмусовую бумажку в красный цвет. При пропускании выделившегося газа через раствор ацетата кальция образуется белый осадок.
   1. Запишите уравнения протекающих реакций.
   2. Укажите окислитель и восстановитель в ОВР, составьте электронные уравнения.
   3. Какой запах имеет выделяющийся в первой реакции газ?
   4. Определите массу выделившегося осадка, если в реакцию вступил \(0{,}1\) моль кислоты.
10. В городе Дайлянь перед директором плавательного олимпийского бассейна встала задача опустошить его ровно в тот момент, когда отключили систему откачки воды. Оцените время, которое потребуется на то, чтобы вычерпать всю воду ведрами, если количество ведер и добровольцев, согласных участвовать в выполнении этой тяжёлой физической работы, ничем не ограничено.

Решения задач

1. Вычислите: \[ \frac{2018^{2n+1} - 2\cdot 2018^{2n}} {1009^{2n+1}\cdot 2^{2n+2} - 1009^{2n}\cdot 4^n\cdot 36\cdot 109} \] Решение:
   Упростим числитель: \[ 2018^{2n} \cdot (2018 - 2) = 2018^{2n} \cdot 2016 \] Разложим знаменатель: \[ 1009^{2n} \cdot 2^{2n} \cdot (1009 \cdot 4 - 36 \cdot 109) = 1009^{2n} \cdot 2^{2n} \cdot 112 \] Подставляем и сокращаем: \[ \frac{2018^{2n} \cdot 2016}{1009^{2n} \cdot 2^{2n} \cdot 112} = \frac{2016}{112} = 18 \] Ответ: 18.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{3x^2 + 14x - 5}{3x - 1} = \frac{(2x^2 + 11x + 5)(15x + 34)}{15x + 60} \] Решение:
   Разлагаем числители на множители: \[ 3x^2 + 14x - 5 = (3x - 1)(x + 5), \quad 2x^2 + 11x + 5 = (2x + 1)(x + 5) \] Уравнение принимает вид: \[ x + 5 = \frac{(2x + 1)(x + 5)(15x + 34)}{15(x + 4)} \] Рассматриваем случаи \(x + 5 = 0\) и сокращаем: \[ x = -5 \quad \text{или} \quad (2x + 1)(15x + 34) = 15(x + 4) \] Решая второе уравнение: \[ 15x^2 + 34x - 13 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{13}{5} \] Ответ: \(-5\), \(-\frac{13}{5}\).
   
   
3. Постройте график функции \(f(x) = -2x - \lvert 4 + 3x \rvert\) и определите наибольшее значение. Решение:
   Рассмотрим два случая: \[ f(x) = \begin{cases} x + 4, & x < -\frac{4}{3} \\ -5x -4, & x \ge -\frac{4}{3} \end{cases} \] Наибольшее значение достигается при \(x = -\frac{4}{3}\) и равно \(\frac{8}{3}\). Ответ: \(\frac{8}{3}\) при \(x = -\frac{4}{3}\).
   
   
4. Выпаривание воды для получения 15% раствора:
   Масса соли до выпаривания: \[ 100 \cdot 0.1 + 50 \cdot 0.19 = 19.5 \, \text{г} \] Масса конечного раствора: \[ \frac{19.5}{0.15} = 130 \, \text{г} \] Выпарили воды: \[ 150 - 130 = 20 \, \text{г} \] Ответ: 20 г.
   
   
5. Решите неравенство: \[ \frac{\sqrt{5x + 23}}{9 - x^2} \le 0 \] Решение:
   Числитель \(\ge 0\), знаменатель \(< 0\): \[ \sqrt{5x + 23} = 0 \Rightarrow x = -\frac{23}{5} \quad \text{или} \quad 9 - x^2 < 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty) \] С учётом ОДЗ \(x \in [-\frac{23}{5}, -3)\). Ответ: \(x \in \left[-\frac{23}{5}, -3\right)\).
   
   
6. Площадь треугольника:
   Точки пересечения: \[ A\left(-\frac{1}{10}, 0\right), B(2, 3.5), C\left(\frac{11}{2}, 0\right) \] Площадь по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \left| -\frac{1}{10}(3.5) + \frac{11}{2}(-3.5) \right| = \frac{49}{5} \] Ответ: \(\frac{49}{5}\).
   
   
7. Корни уравнения \(2x^2 + ax + 2 = 0\) соотносятся как 1:4:
   Корни \(k\) и \(4k\). Составляем систему: \[ 5k = -\frac{a}{2}, \quad 4k^2 = 1 \Rightarrow a = \pm5 \] Ответ: \(a = 5\), \(a = -5\).
   
   
8. Радиус окружности около треугольника \(ABK\):
   После геометрических построений радиус описанной окружности равен \(\frac{\sqrt{104}}{2}\). Ответ: \(2\sqrt{26}\).
   
   
9. Химические реакции:
   1. \( \text{Cu} + \text{H}_2\text{SO}_4 (\text{конц.)} \rightarrow \text{CuSO}_4 + \text{SO}_2↑ + \text{H}_2\text{O} \)
   2. Окислитель: \(\text{S}^{+6}\), восстановитель: \(\text{Cu}^0\).
   3. Запах \(\text{SO}_2\) — резкий, раздражающий.
   4. Масса осадка \(\text{CaSO}_3\): \[ 0.1 \, \text{моль} \cdot 120 \, \text{г/моль} = 12 \, \text{г} \]
   Ответ: \(12 \, \text{г}\).
   
   
10. Время вычерпывания воды из бассейна:
    При неограниченных ресурсах время стремится к нулю. Ответ: Мгновенно.