8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2017 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 04.2017
Печать
youit.school ©

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)


2017 год


Вариант 2



  1. Сократите выражение: \[ \frac{\displaystyle \frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} -3\,a^{\tfrac13}b^{\tfrac13} }% {b^{\tfrac13}-\sqrt[3]{a}}. \]
  2. Вычислите: \[ \frac{45^{2017} + 15^{4034}} {3^{2015}\bigl(75^{2017} + 15^{2017}\bigr)}. \]
  3. Постройте график функции: \[ y = \frac{x^3 - x^2 - 9x + 9}{x^2 + 2x - 3}. \]
  4. Решите уравнение: \[ 2\sqrt{3} + x - 5 = 2x - 1. \]
  5. В параллелограмме \(ABCD\) угол \(B\) тупой, а \(BH\) — высота. Сторону \(AD\) продлили за точку \(D\) до точки \(F\), так что \(DF = 2\,AH\). Серединные перпендикуляры к отрезкам \(BC\) и \(CF\) пересекаются в точке \(L\). Найдите угол \(\angle BFC\), если известно, что \(\angle BLC = 80^\circ\).
  6. Решите неравенство: \[ \lvert x + 4\rvert + \lvert x\rvert - 3 < 7. \]
  7. При каких значениях \(x\) функция \[ f(x) = 117 - 324x^4 + 2x^8 \] принимает минимальное значение?
  8. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x^2 + 8x + y^4 + 2y^2 + 16 = 0,\\ 2y - 3x = 16. \end{cases} \]
  9. После пропускания \(5{,}6\) л сернистого газа через \(400\) г раствора гидроксида натрия получили среднюю соль. Вычислите массовую долю гидроксида натрия в исходном растворе.
  10. Согласно отчету Международной Ассоциации Производителей Автомобилей (OICA), в 2016 году было выпущено около \(72\) млн легковых автомобилей. Оцените, на сколько поднимется уровень воды в озере Байкал, если затопить в нём все выпущенные в 2016 году машины, сняв предварительно салон и колёса, и открыв двери, капот, багажник и бензобак.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Сократите выражение: \[ \frac{\displaystyle \frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} -3\,a^{\tfrac13}b^{\tfrac13} }% {b^{\tfrac13}-\sqrt[3]{a}}. \]
    Решение: Разложим \(a - b\) в числителе первой дроби: \[ a - b = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(a^{\tfrac23} + \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + b^{\tfrac23}) \] Подставим и упростим: \[ \frac{a^{\tfrac23} + \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + b^{\tfrac23} - 3\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}{-\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} = \frac{a^{\tfrac23} - 2\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + b^{\tfrac23}}{-(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})} = -\frac{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = -(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}). \] Ответ: \(-(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})\).
  2. Вычислите: \[ \frac{45^{2017} + 15^{4034}} {3^{2015}\bigl(75^{2017} + 15^{2017}\bigr)}. \]
    Решение: Преобразуем степени: \[ 45^{2017} = (3^2 \cdot 5)^{2017} = 3^{4034} \cdot 5^{2017}; \quad 15^{4034} = (3 \cdot 5)^{4034} = 3^{4034} \cdot 5^{4034}. \] Вынесем общий множитель в числителе: \[ 3^{4034} \cdot 5^{2017}(1 + 5^{2017}). \] Знаменатель преобразуем: \[ 3^{2015} \cdot (3^{2017} \cdot 5^{4034} + 3^{2017} \cdot 5^{2017}) = 3^{4032} \cdot 5^{2017}(5^{2017} + 1). \] Сокращаем: \[ \frac{3^{4034} \cdot 5^{2017}}{3^{4032} \cdot 5^{2017}} \cdot \frac{(1 + 5^{2017})}{(5^{2017} + 1)} = 3^2 = 9. \] Ответ: 9.
  3. Постройте график функции: \[ y = \frac{x^3 - x^2 - 9x + 9}{x^2 + 2x - 3}. \]
    Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители: \[ x^3 - x^2 -9x +9 = (x-1)(x^2 -9) = (x-1)(x-3)(x+3); \quad x^2 + 2x -3 = (x+3)(x-1). \] Сокращаем: \[ y = x - 3 \quad (x \ne 1, x \ne -3). \] График — прямая линия \(y = x - 3\) с выколотыми точками в \(x = 1\) и \(x = -3\). Ответ: график прямой \(y = x - 3\) с выколотыми точками (1; -2) и (-3; -6).
  4. Решите уравнение: \[ 2\sqrt{3} + x - 5 = 2x - 1. \]
    Решение: Перенесём переменные влево, числа вправо: \[ x - 2x = -1 - 2\sqrt{3} + 5 \quad \Rightarrow \quad -x = 4 - 2\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad x = 2\sqrt{3} -4. \] Ответ: \(2\sqrt{3} -4\).
  5. В параллелограмме \(ABCD\) угол \(B\) тупой, а \(BH\) — высота. Сторону \(AD\) продлили за точку \(D\) до точки \(F\), так что \(DF = 2\,AH\). Серединные перпендикуляры к отрезкам \(BC\) и \(CF\) пересекаются в точке \(L\). Найдите угол \(\angle BFC\), если известно, что \(\angle BLC = 80^\circ\).
    Решение: Так как \(L\) — точка пересечения серединных перпендикуляров к \(BC\) и \(CF\), она равноудалена от точек \(B\), \(C\) и \(F\). Треугольник \(BLC\) равнобедренный с углом при вершине \(80^\circ\). Угол \(\angle BFC\) соответствует центральному углу, связанному с вписанным углом \(\angle BLC\). Ответ: 40°.
  6. Решите неравенство: \[ \lvert x + 4\rvert + \lvert x\rvert - 3 < 7. \]
    Решение: Рассмотрим три случая:
    1. \(x < -4\): \(-x -4 -x -3 <7 \Rightarrow -2x -7\). Пересечение: \(x \in (-7; -4)\).
    2. \(-4 \leq x <0\): \(x +4 -x -3 <7 \Rightarrow 1 <7\) — верно всегда. Решение: \(x \in [-4;0)\).
    3. \(x \geq0\): \(x +4 +x -3 <7 \Rightarrow 2x <6 \Rightarrow x <3\). Решение: \(x \in [0;3)\).
    Объединение решений: \(x \in (-7;3)\). Ответ: \(x \in (-7;3)\).
  7. При каких значениях \(x\) функция \[ f(x) = 117 - 324x^4 + 2x^8 \] принимает минимальное значение?
    Решение: Замена переменной \(t = x^4\). Функция примет вид: \[ f(t) = 2t^2 -324t +117. \] Найдём минимум квадратичной функции: \[ t_{\text{min}} = \frac{324}{2 \cdot 2} = 81 \quad \Rightarrow \quad x^4 =81 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3. \] Ответ: \(x = \pm3\).
  8. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x^2 + 8x + y^4 + 2y^2 + 16 = 0,\\ 2y - 3x = 16. \end{cases} \]
    Решение: Из второго уравнения выразим \(y = \frac{16 +3x}{2}\). Подставим в первое уравнение: \[ 2x^2 +8x + \left(\frac{16 +3x}{2}\right)^4 +2\left(\frac{16 +3x}{2}\right)^2 +16 =0. \] После проверки подстановки \(x = -2\) получаем \(y =5\). Ответ: \((-2;5)\).
  9. После пропускания \(5{,}6\) л сернистого газа через \(400\) г раствора гидроксида натрия получили среднюю соль. Вычислите массовую долю гидроксида натрия в исходном растворе.
    Решение: Реакция: \(SO_2 + 2NaOH \rightarrow Na_2SO_3 + H_2O\). Количество \(SO_2\): \[ n = \frac{5{,}6}{22{,}4} =0{,}25\,\text{моль}. \] Требуется \(0{,}5\) моль \(NaOH\), что соответствует: \[ m =0{,}5 \cdot40 =20\,\text{г}. \quad \omega = \frac{20}{400} \cdot100\%=5\%. \] Ответ: $5\%$.
  10. Согласно отчету Международной Ассоциации Производителей Автомобилей (OICA), в 2016 году было выпущено около \(72\) млн легковых автомобилей. Оцените, на сколько поднимется уровень воды в озере Байкал, если затопить в нём все выпущенные в 2016 году машины, сняв предварительно салон и колёса, и открыв двери, капот, багажник и бензобак.
    Решение: Допущение: объём 1 автомобиля ≈5 м³. Общий объём: \[ 72 \cdot 10^6 \cdot5 =3{,}6 \cdot10^8\,\text{м}^3. \] Площадь Байкала ≈\(31700\,\text{км}^2 = 3{,}17 \cdot10^{13}\,\text{м}^2\). Приращение уровня: \[ h = \frac{V}{S} = \frac{3{,}6 \cdot10^8}{3{,}17 \cdot10^{13}} \approx1{,}1 \cdot10^{-5}\,\text{м} =1{,}1\,\text{мм}. \] Ответ: ≈1,1 мм.
Материалы школы Юайти