8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2017 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 04.2017
Печать
youit.school ©

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)


2017 год


Вариант 1



  1. Сократите выражение: \[ \frac{\displaystyle \frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \;-\; a^{\tfrac13} b^{\tfrac13}} {b^{\tfrac13} - \sqrt[3]{a}}. \]
  2. Вычислите: \[ \frac{18^{2017} + 6^{4034}} {3^{2015}\bigl(12^{2017} + 6^{2017}\bigr)}. \]
  3. Постройте график функции: \[ y \;=\; \frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x^2 - x - 2}. \]
  4. Решите уравнение: \[ 2\sqrt{7 - x} \;-\; 3 \;=\; 2x - 5. \]
  5. В параллелограмме \(ABCD\) угол \(B\) тупой, а \(BH\) — высота. Сторону \(AD\) продлили за точку \(D\) до точки \(F\) так, что \(DF = 2AH\). Серединные перпендикуляры к отрезкам \(BC\) и \(CF\) пересекаются в точке \(L\). Найдите угол \(\angle BLC\), если известно, что \(\angle BFC = 35^\circ\).
  6. Решите неравенство: \[ \lvert x - 3\rvert + \lvert x\rvert - 2 \;<\; 5. \]
  7. При каких значениях \(x\) функция \[ f(x) = 96x^4 + 111 - 3x^8 \] принимает наибольшее значение?
  8. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x^2 \;-\; 8x \;+\; y^4 \;-\; 2y^2 \;+\; 16 = 0,\\ 3x \;-\; 2y = 16. \end{cases} \]
  9. После пропускания \(5{,}6\) л сернистого газа через \(400\) г раствора гидроксида натрия получили среднюю соль. Вычислите массовую долю гидроксида натрия в исходном растворе.
  10. Согласно отчёту Международной Ассоциации Производителей Автомобилей (OICA), в 2016 году было выпущено около \(72\) млн легковых автомобилей. Оцените, на сколько поднимется уровень воды в озере Байкал, если затопить в нём все выпущенные в 2016 г. машины, сняв предварительно салон, колёса, двери, капот, багажник и бензобаки.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Сократите выражение: \[ \frac{\displaystyle \frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \;-\; a^{\tfrac13} b^{\tfrac13}} {b^{\tfrac13} - \sqrt[3]{a}}. \] Решение:
    Числитель первой дроби преобразуем, используя формулу суммы кубов: \[ a + b = (\sqrt[3]{a})^3 + (\sqrt[3]{b})^3 = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})((\sqrt[3]{a})^2 - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2) \] Тогда исходное выражение в числителе: \[ \frac{a + b}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} - a^{1/3}b^{1/3} = (\sqrt[3]{a}^2 - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b}^2) - a^{1/3}b^{1/3} = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2 \] Знаменатель: \(b^{1/3} - a^{1/3} = -(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})\). Подставляем: \[ \frac{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})^2}{-(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})} = -(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) = \sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a} \] Ответ: \(\boxed{\sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a}}\).

  2. Вычислите: \[ \frac{18^{2017} + 6^{4034}} {3^{2015}\bigl(12^{2017} + 6^{2017}\bigr)}. \] Решение:
    Представим числа в виде степеней: \[ 18 = 3 \cdot 6, \quad 6^{4034} = (6^2)^{2017} = 36^{2017}, \quad 12 = 2 \cdot 6 \] Преобразуем числитель и знаменатель: \[ \frac{(3 \cdot 6)^{2017} + (6^2)^{2017}}{3^{2015} \cdot (2^{2017} \cdot 6^{2017} + 6^{2017})} = \frac{6^{2017}(3^{2017} + 6^{2017})}{3^{2015} \cdot 6^{2017} (2^{2017} + 1)} \] Сокращаем множители: \[ \frac{3^{2017} + 6^{2017}}{3^{2015}(2^{2017} + 1)} = \frac{3^{2015}(3^2 + 2^{2017} \cdot 3^2)}{3^{2015}(2^{2017} + 1)} = \frac{9(2^{2017} + 1)}{(2^{2017} + 1)} = 9 \] Ответ: \(\boxed{9}\).

  3. Постройте график функции: \[ y \;=\; \frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x^2 - x - 2}. \] Решение:
    Разложим числитель и знаменатель: \[ x^3 + x^2 - 4x - 4 = (x+1)(x-2)(x+2); \quad x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) \] Упрощаем дробь: \[ y = \frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} = x + 2 \quad (\text{при } x \neq 2, x \neq -1) \] График — прямая \(y = x + 2\) с выколотыми точками в \((2,4)\) и \((-1,1)\).
    Ответ: Графиком является прямая \(y = x + 2\) с выколотыми точками при \(x = 2\) и \(x = -1\).

  4. Решите уравнение: \[ 2\sqrt{7 - x} \;-\\; 3 \;=\; 2x - 5. \] Решение:
    Изолируем радикал: \[ 2\sqrt{7 - x} = 2x - 2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{7 - x} = x - 1 \] Возводим в квадрат при условии \(x - 1 \ge 0\): \[ 7 - x = x^2 - 2x + 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - 6 = 0 \] Корни: \(x = 3\) (подходит) и \(x = -2\) (не подходит, так как \(x - 1 \ge 0\)).
    Ответ: \(\boxed{3}\).

  5. В параллелограмме \(ABCD\) угол \(B\) тупой, а \(BH\) — высота. Сторону \(AD\) продлили за точку \(D\) до точки \(F\) так, что \(DF = 2AH\). Серединные перпендикуляры к отрезкам \(BC\) и \(CF\) пересекаются в точке \(L\). Найдите угол \(\angle BLC\), если известно, что \(\angle BFC = 35^\circ\).
    Решение:
    Серединные перпендикуляры к \(BC\) и \(CF\) пересекаются в центре описанной окружности треугольника \(BCF\). Поскольку \(L\) равноудалена от концов этих отрезков, \(\angle BLC = 2 \angle BFC = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ\).
    Ответ: \(\boxed{70^\circ}\).

  6. Решите неравенство: \[ \lvert x - 3\rvert + \lvert x\rvert - 2 \;<\; 5. \] Решение:
    Рассматриваем случаи по значениям \(x\):
    • \(x < 0\): \(|x-3|+|x| = 3 - x - x = 3 - 2x \Rightarrow 3 - 2x - 2 -2\). Решение: \(-2 < x < 0\).
    • \(0 \le x \le 3\): \(|x-3|+|x| = 3 - x + x = 3 \Rightarrow 3 - 2 < 5\). Решение: \(0 \le x \le 3\).
    • \(x > 3\): \(|x-3|+|x| = x - 3 + x = 2x - 3 \Rightarrow 2x - 3 - 2 < 5 \Rightarrow x < 5\). Решение: \(3 < x < 5\).
    Объединяя интервалы: \(-2 < x < 5\).
    Ответ: \(\boxed{(-2;\;5)}\).

  7. При каких значениях \(x\) функция \[ f(x) = 96x^4 + 111 - 3x^8 \] принимает наибольшее значение? Решение:
    Находим критические точки через производную: \[ f'(x) = -24x^7 + 384x^3 = 24x^3(16 - x^4) \] Корни: \(x = 0\), \(x = \pm 2\). Максимум достигается при \(x = \pm 2\) (поскольку при больших \(|x|\) функция стремится к \(-\infty\)).
    Ответ: \(\boxed{\pm 2}\).

  8. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 2x^2 \;-\; 8x \;+\; y^4 \;-\; 2y^2 \;+\; 16 = 0,\\ 3x \;-\; 2y = 16. \end{cases} \] Решение:
    Из второго уравнения: \(x = \frac{16 + 2y}{3}\). Подставляя в первое уравнение и упрощая, получаем уравнение четвертой степени относительно \(y\), которое не имеет действительных корней. Следовательно, система решений не имеет.
    Ответ: \(\boxed{\text{Нет решений}}\).

  9. После пропускания \(5{,}6\) л сернистого газа через \(400\) г раствора гидроксида натрия получили среднюю соль. Вычислите массовую долю гидроксида натрия в исходном растворе. Решение:
    Реакция: \(SO_2 + 2NaOH \rightarrow Na_2SO_3 + H_2O\). Количество \(SO_2\): \[ n = \frac{5{,}6}{22{,}4} = 0{,}25 \text{ моль} \quad \Rightarrow \quad n(NaOH) = 0{,}5 \text{ моль} \] Масса \(NaOH\): \[ m = 0{,}5 \cdot 40 = 20 \text{ г} \] Массовая доля: \[ \omega = \frac{20}{400} \cdot 100% = 5\% \] Ответ: \(\boxed{5\%}\).

  10. Оцените, на сколько поднимется уровень воды в озере Байкал, если затопить все выпущенные в 2016 г. машины. Решение:
    Оценка объема машин: \(72 \cdot 10^6 \text{ шт.} \cdot 6 \text{ м}^3 = 4{,}32 \cdot 10^8 \text{ м}^3\). Площадь Байкала: \(31{,}7 \cdot 10^3 \text{ км}^2 = 3{,}17 \cdot 10^{10} \text{ м}^2\). Прирост уровня: \[ h = \frac{4{,}32 \cdot 10^8}{3{,}17 \cdot 10^{10}} \approx 0{,}0136 \text{ м} = 1{,}36 \text{ см} \] Ответ: \(\boxed{\approx 1{,}4 \text{ см}}\).
Материалы школы Юайти