Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2012 год вариант 2

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2012 год

Вариант 2

1. Упростите: \[ \Bigl(3 - \frac{9 + 4b^2}{3 + 2b}\Bigr)\;\cdot\;\Bigl(\frac{1}{2b} + \frac{2}{3 - 2b}\Bigr). \]
2. В какой точке пересекаются прямые \[ 2x + y = 5 \quad\text{и}\quad 4x + 2y = 7? \]
3. При каких целых значениях \(x\) значение выражения \[ y = 3 - 5x \] принадлежит промежутку \([-6;6)\)?
4. Две стороны треугольника равны \(12\) и \(16\). Периметр треугольника больше \(48\). Какой может быть длина третьей стороны?
5. Сравните числа: \[ \sqrt3 - \sqrt2 \quad\text{и}\quad 2 - \sqrt3. \]
6. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} (x - y)(x + 2y) = 0,\\ 3x + 6y + 18 = 0. \end{cases} \]
7. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} 9 - \dfrac{x^2}{4} \;\ge\; 0,\\ x^2\,(x + 6) \;\le\; 0. \end{cases} \]
8. Решите неравенство: \[ (x + 1)\,\sqrt{x^2 - 4} \;\ge\; 0. \]
9. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) медиана \(CM\) равна \(8\) см, а расстояние от середины катета \(AC\) до гипотенузы \(AB\) равно \(2\) см. Найдите площадь треугольника \(ABC\).
10. Докажите, что для любого \(b\) выполняется неравенство \[ b^2 - 2b + 10 \;\ge\; 6\lvert b - 1\rvert. \]

Решения задач

1. Упростите: \[ \Bigl(3 - \frac{9 + 4b^2}{3 + 2b}\Bigr)\;\cdot\;\Bigl(\frac{1}{2b} + \frac{2}{3 - 2b}\Bigr). \]
   Решение: \[ \left(\frac{3(3 + 2b) - (9 + 4b^2)}{3 + 2b}\right) \cdot \left(\frac{3 - 2b + 4b}{2b(3 - 2b)}\right) \] \[ = \frac{2b(3 - 2b)}{3 + 2b} \cdot \frac{3 + 2b}{2b(3 - 2b)} = 1 \]
   Ответ: 1.
   
   
2. В какой точке пересекаются прямые \[ 2x + y = 5 \quad\text{и}\quad 4x + 2y = 7? \]
   Решение:
   Преобразуем второе уравнение: \(2x + y = 3,5\). Система уравнений противоречива 2x + y = 5 и 2x + y = 3,5, значит прямые параллельны.
   Ответ: Прямые не пересекаются.
   
   
3. При каких целых значениях \(x\) значение выражения \[ y = 3 - 5x \] принадлежит промежутку \([-6;6)\)?
   Решение: \[ -6 ≤ 3 -5x <6 \quad \Rightarrow \quad -\frac{9}{5} ≤ x < \frac{9}{5} \]
   Целые \(x\): 0, 1.
   Проверка: \(x=0 \Rightarrow y=3\); \(x=1 \Rightarrow y=-2\).
   Ответ: 0, 1.
   
   
4. Две стороны треугольника равны \(12\) и \(16\). Периметр треугольника больше \(48\). Какой может быть длина третьей стороны?
   Решение:
   По неравенству треугольника: \({12 + 16 + c > 48}\) и \({12 + 16 > c}\). \[ 20 < c < 28 \]
   Ответ: \(c \in (20; 28)\).
   
   
5. Сравните числа: \[ \sqrt3 - \sqrt2 \quad\text{и}\quad 2 - \sqrt3. \]
   Решение: \[ (\sqrt3 - \sqrt2) - (2 - \sqrt3) = 2\sqrt3 - \sqrt2 -2 ≈ 0,05 >0 \]
   Ответ: \(\sqrt3 - \sqrt2 > 2 -\sqrt3\).
   
   
6. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} (x - y)(x + 2y) = 0,\\ 3x + 6y + 18 = 0. \end{cases} \]
   Решение:
   Случаи: \(x = y \Rightarrow x = -2; y = -2\). \(x + 2y = 0\) несовместно с \(x + 2y = -6\).
   Ответ: \((-2; -2)\).
   
   
7. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} 9 - \dfrac{x^2}{4} \;\ge\; 0,\\ x^2\,(x + 6) \;\le\; 0. \end{cases} \]
   Решение: \[ x \in [-6;6] \quad \text{и} \quad x \in [-6;0] \] \[ \Rightarrow x \in \{-6, 0\} \]
   Ответ: \(-6; 0\).
   
   
8. Решите неравенство: \[ (x + 1)\,\sqrt{x^2 - 4} \;\ge\; 0. \]
   Решение:
   ОДЗ: \(x^2 ≥4 \Rightarrow x ∈ (-\infty;-2] ∪ [2;+\infty)\).
   Неравенство выполняется при \(x +1 ≥0\): \[ x ∈ [-1;+\infty) \quad \Rightarrow \quad x ∈ [2;+\infty) ∪ \{-2\} \]
   Ответ: \(\{-2\} ∪ [2;+\infty)\).
   
   
9. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) медиана \(CM\) равна \(8\) см, а расстояние от середины катета \(AC\) до гипотенузы \(AB\) равно \(2\) см. Найдите площадь треугольника \(ABC\).
   Решение:
   Гипотенуза \(AB = 16\) см. Исходя из расстояния: \[ \frac{AC \cdot BC}{AB} = 4 \quad \Rightarrow \quad AC \cdot BC = 64 \]
   Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = 32 \, \text{см}^2 \]
   Ответ: 32 см².
   
   
10. Докажите, что для любого \(b\) выполняется неравенство \[ b^2 - 2b + 10 \;\ge\; 6\lvert b - 1\rvert. \]
    Решение:
    **Случай 1:** \(b ≥1\): \[ b^2 -8b +16 = (b-4)^2 ≥0 \, \checkmark \] **Случай 2:** \(b <1\): \[ b^2 +4b +4 = (b+2)^2 ≥0 \, \checkmark \]
    Ответ: Неравенство выполняется при всех \(b\).