Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2012 год вариант 1

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2012 год

Вариант 1

1. Упростите: \[ \Bigl(a - \frac{a^2 + 9}{a + 3}\Bigr)\;\cdot\;\Bigl(\frac13 + \frac{2}{a - 3}\Bigr). \]
2. В какой точке пересекаются прямые \[ y + x = 7 \quad\text{и}\quad 2x + 2y = 10? \]
3. При каких целых значениях \(x\) значение выражения \[ y = \frac{2x + 1}{3} \] принадлежит промежутку \((-4;0]\)?
4. Две стороны треугольника равны \(12\) и \(32\). Периметр треугольника меньше \(70\). Какой может быть длина третьей стороны?
5. Сравните числа: \[ \frac{\sqrt5 - \sqrt2}{2} \quad\text{и}\quad \sqrt5 - 2. \]
6. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} (x - 2y)(x + y) = 0,\\ 2x - 4y + 12 = 0. \end{cases} \]
7. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{x^2}{4} - 25 \;\le\; 0,\\ \dfrac{x^2(x - 10)}{2} \;\ge\; 0. \end{cases} \]
8. Решите неравенство: \[ (x - 1)\,\sqrt{4 - x^2}\;\le\;0. \]
9. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) медиана \(CM\) равна \(12\) см, а расстояние от середины катета \(AC\) до гипотенузы \(AB\) равно \(3\) см. Найдите площадь треугольника \(ABC\).
10. Докажите, что для любого \(a\) \[ a^2 - 4a + 5 \;\ge\; 2\bigl\lvert a - 2\bigr\rvert. \]

Решения задач

1. Упростите: \[ \Bigl(a - \frac{a^2 + 9}{a + 3}\Bigr)\;\cdot\;\Bigl(\frac13 + \frac{2}{a - 3}\Bigr). \] Решение: Разложим первую скобку: \[ a - \frac{a^2 + 9}{a + 3} = \frac{a(a + 3) - (a^2 + 9)}{a + 3} = \frac{3a - 9}{a + 3} = \frac{3(a - 3)}{a + 3}. \] Вторая скобка: \[ \frac{1}{3} + \frac{2}{a - 3} = \frac{a - 3 + 6}{3(a - 3)} = \frac{a + 3}{3(a - 3)}. \] Перемножаем результаты: \[ \frac{3(a - 3)}{a + 3} \cdot \frac{a + 3}{3(a - 3)} = 1. \] Ответ: 1.
2. В какой точке пересекаются прямые \[ y + x = 7 \quad\text{и}\quad 2x + 2y = 10? \] Решение: Упростим второе уравнение делением на 2: \[ x + y = 5. \] Первое уравнение: \(x + y = 7\). Сравнивая оба уравнения, видим противоречие — прямые параллельны и не пересекаются.
   Ответ: Прямые не пересекаются.
3. При каких целых значениях \(x\) значение выражения \[ y = \frac{2x + 1}{3} \] принадлежит промежутку \((-4;0]\)? Решение: Решаем неравенство: \[ -4 < \frac{2x + 1}{3} \leq 0 \quad\Rightarrow\quad -12 < 2x + 1 \leq 0. \] Вычитаем 1: \[ -13 < 2x \leq -1 \quad\Rightarrow\quad -\frac{13}{2} < x \leq -\frac{1}{2}. \] Целочисленные значения: \(x = -6, -5, -4, -3, -2, -1\).
   Ответ: \(-6, -5, -4, -3, -2, -1\).
4. Две стороны треугольника равны \(12\) и \(32\). Периметр треугольника меньше \(70\). Какой может быть длина третьей стороны? Решение: Пусть длина третьей стороны \(x\). Тогда: \[ 12 + 32 + x < 70 \quad\Rightarrow\quad x x \quad\Rightarrow\quad x 32 \quad\Rightarrow\quad x > 20. \] Объединяем условия: \(20 < x < 26\).
   Ответ: Третья сторона может быть длиной от 21 до 25.
5. Сравните числа: \[ \frac{\sqrt5 - \sqrt2}{2} \quad\text{и}\quad \sqrt5 - 2. \] Решение: Оценим численно: \(\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{2} ≈ 0.411\), \(\sqrt{5} - 2 ≈ 0.236\). Первое число больше. Докажем аналитически: \[ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{2} > \sqrt{5} - 2 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{5} - \sqrt{2} > 2\sqrt{5} - 4 \quad\Rightarrow\quad -\sqrt{2} + 4 > \sqrt{5}. \] Проверка: \(4 - \sqrt{5} ≈ 1.764\), \(\sqrt{2} ≈ 1.414\). Утверждение верно.
   Ответ: \(\frac{\sqrt5 - \sqrt2}{2} > \sqrt5 - 2\).
6. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} (x - 2y)(x + y) = 0,\\ 2x - 4y + 12 = 0. \end{cases} \] Решение: Рассмотрим случаи:
   • \(x = 2y\): Подставляем во второе уравнение: \[ 2(2y) - 4y + 12 = 0 \quad\Rightarrow\quad 12 = 0 \quad\text{(нет решения)}. \]
   • \(x = -y\): Подставляем \(x = -y\) во второе уравнение: \[ 2(-y) - 4y + 12 = 0 \quad\Rightarrow\quad -6y = -12 \quad\Rightarrow\quad y = 2 \quad\Rightarrow\quad x = -2. \]
   Ответ: \((-2; 2)\).
7. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{x^2}{4} - 25 \leq 0,\\ \dfrac{x^2(x - 10)}{2} \geq 0. \end{cases} \] Решение: Первое неравенство: \[ x^2 \leq 100 \quad\Rightarrow\quad x \in [-10; 10]. \] Второе неравенство: \[ x^2(x - 10) \geq 0 \quad\Rightarrow\quad x \in \{0\} \cup [10; +\infty). \] Пересечение решений: \(x = 0\) или \(x = 10\).
   Ответ: \(0; 10\).
8. Решите неравенство: \[ (x - 1)\,\sqrt{4 - x^2}\leq 0. \] Решение: Область определения: \(x \in [-2; 2]\). Рассмотрим два случая:
   • \(\sqrt{4 - x^2} = 0\): \(x = \pm 2\) — неравенство выполняется.
   • \(\sqrt{4 - x^2} > 0\): Тогда \(x - 1 \leq 0 \quad\Rightarrow\quad x \leq 1\).
   Объединяя решения: \(x \in [-2; 1] \cup \{2\}\).
   Ответ: \(x \in [-2; 1] \cup \{2\}\).
9. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) медиана \(CM\) равна \(12\) см, а расстояние от середины катета \(AC\) до гипотенузы \(AB\) равно \(3\) см. Найдите площадь треугольника \(ABC\). Решение: Гипотенуза \(AB = 2 \cdot CM = 24\) см. Площадь треугольника определяется через произведение катетов. Пусть катеты \(AC = a\), \(BC = b\). По условию: \[ \frac{a \cdot b}{48} = 3 \quad\Rightarrow\quad a \cdot b = 144. \] Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 144 = 72\ \text{см}^2. \] Ответ: 72 см².
10. Докажите, что для любого \(a\) \[ a^2 - 4a + 5 \geq 2\bigl|\,a - 2\,\bigr|. \] Решение: Рассмотрим два случая:
    • \(a \geq 2\): \( |a - 2| = a - 2 \) \[ a^2 - 4a + 5 \geq 2(a - 2) \quad\Rightarrow\quad (a - 3)^2 \geq 0. \]
    • \(a < 2\): \( |a - 2| = 2 - a \) \[ a^2 - 4a + 5 \geq 2(2 - a) \quad\Rightarrow\quad (a - 1)^2 \geq 0. \]
    Оба неравенства верны для всех \(a\), что доказывает исходное утверждение.