Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2007 год вариант 1

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2007 год

Вариант 1

1. Вычислите: \[ 1{,}44^{\tfrac32} \;\colon\; \bigl(-\tfrac56\bigr)^{-2} \;-\; \bigl(1\tfrac{61}{64}\bigr)^{-\tfrac13}. \]
2. Найдите все такие положительные значения \(x\), при которых выполняется неравенство \[ \bigl(0{,}7 - \tfrac34\bigr)x \;\ge\; (-20)^{-1}. \]
3. Определите знаки \(a\), \(b\) и \(c\), если график функции \[ f(x) = a x^2 + b x + c \] выглядит так:
   
   Ответ поясните!
4. Один из катетов прямоугольного треугольника меньше гипотенузы на \(2\) см, а периметр треугольника равен \(12\) см. Найдите стороны треугольника.
5. Найдите все целые значения \(m\), при которых значение выражения \[ \frac{5 - m}{m^2 - 3m - 10} \] также было бы целым числом.
6. Найдите все значения, которые может принимать выражение \[ \frac{(9 - x^2)(x + 5)}{x + 3}, \] и укажите те из них, которые достигаются ровно при одном значении \(x\).
7. Велосипедист проехал \(90\) км на \(30\) минут быстрее, чем предполагал. При этом за \(3{,}45\) часа он проезжал на \(3\) км меньше, чем рассчитывал проехать за час. Определите скорость велосипедиста.
8. Найдите все такие значения \(a\), при которых уравнение \[ a^2 x^2 - 2 = 4x^2 - a \] имеет более двух корней.
9. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\) диагонали пересекаются в точке \(O\), причём треугольник \(BOC\) равнобедренный. \(AB = 5\), \(CD = 3\). Найдите \(BC\).
10. Какое из чисел ближе к единице: \[ \frac{2{,}5}{\sqrt{0{,}4}} \quad\text{или}\quad \frac{0{,}4}{\sqrt{2{,}5}}\,? \]

Решения задач

1. Вычислите: \[ 1{,}44^{\tfrac32} \;\colon\;\bigl(-\tfrac56\bigr)^{-2} \;-\;\bigl(1\tfrac{61}{64}\bigr)^{-\tfrac13}. \] Решение: \[ 1{,}44^{\tfrac32} = (1{,}2^2)^{\tfrac32} = 1{,}2^3 = 1{,}728 \] \[ \bigl(-\tfrac{5}{6}\bigr)^{-2} = \bigl(\tfrac{6}{5}\bigr)^2 = \tfrac{36}{25} = 1{,}44 \] \[ 1{,}728 : 1{,}44 = 1{,}2 \] \[ 1\tfrac{61}{64} = \tfrac{125}{64} \quad \Rightarrow \quad \bigl(\tfrac{125}{64}\bigr)^{-\tfrac13} = \tfrac{4}{5} = 0{,}8 \] \[ 1{,}2 - 0{,}8 = 0{,}4 \\ Ответ: 0{,}4. \]
2. Найдите все такие положительные значения \(x\), при которых выполняется неравенство \[ \bigl(0{,}7 - \tfrac34\bigr)x \;\ge\; (-20)^{-1}. \] Решение: \[ 0{,}7 - \tfrac{3}{4} = 0{,}7 - 0{,}75 = -0{,}05 \] \[ (-20)^{-1} = -\tfrac{1}{20} = -0{,}05 \] \[ -0{,}05x \ge -0{,}05 \quad \bigg| : (-0{,}05) \; (\text{знак неравенства меняется}) \] \[ x \leq 1 \] По условию \(x > 0\).
   Ответ: \(x \in (0; 1]\).
3. Определите знаки \(a\), \(b\) и \(c\), если график функции выглядит так:
   
   Решение:
   • Ветви параболы направлены вниз \(\Rightarrow\) \(a < 0\)
   • График пересекает ось \(Oy\) выше нуля \(\Rightarrow\) \(c > 0\)
   • Вершина находится правее оси \(Oy\) \(\Rightarrow\) \(-\tfrac{b}{2a} > 0\). Так как \(a 0\)
   Ответ: \(a 0\), \(c > 0\).
4. Один из катетов прямоугольного треугольника меньше гипотенузы на \(2\) см, а периметр треугольника равен \(12\) см. Найдите стороны треугольника. Решение: Пусть гипотенуза \(c\), катет \(c - 2\), другой катет \(b\). По теореме Пифагора: \[ (c - 2)^2 + b^2 = c^2 \] По условию периметра: \[ (c - 2) + b + c = 12 \quad \Rightarrow \quad b = 14 - 2c \] Подставим \(b\) в первое уравнение: \[ (c - 2)^2 + (14 - 2c)^2 = c^2 \] Раскроем скобки: \[ c^2 - 4c + 4 + 196 - 56c + 4c^2 = c^2 \] \[ 5c^2 - 60c + 200 = 0 \quad \Rightarrow \quad c^2 - 12c + 40 = 0 \] Решения \(c = 10\) см (второй корень отрицательный). Тогда: \[ b = 14 - 2 \cdot 10 = -6 \quad \text{(невозможно)} \] Проверка альтернативного варианта: второй катет меньше гипотенузы на 2 см. Пусть \(b = c - 2\): \[ (c - 2)^2 + (c - 2)^2 = c^2 \Rightarrow 2(c - 2)^2 = c^2 \] \[ 2c^2 - 8c + 8 = c^2 \quad \Rightarrow \quad c^2 -8c +8=0 \] \[ \begin{aligned} c &= \frac{8 \pm \sqrt{64 - 32}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2} \\ \text{Подходит } c &= 4 + 2\sqrt{2} \quad \text{(т.к. } 4 - 2\sqrt{2} \approx 1.17 \text{ не даёт периметр 12)} \end{aligned} \] Пересчёт: \[ \text{Ошибка в первоначальном подходе. Верное решение:} \] Пусть катеты \(a\) и \(b\), гипотенуза \(c\). По условию \(c = a + 2\). Периметр: \[ a + b + c = 12 \quad \Rightarrow \quad a + b + a + 2 = 12 \quad \Rightarrow \quad 2a + b = 10 \] Теорема Пифагора: \[ a^2 + b^2 = (a + 2)^2 \] \[ a^2 + (10 - 2a)^2 = a^2 +4a +4 \] \[ 100 -40a +4a^2 =4a +4 \] \[ 4a^2 -44a +96 =0 \quad \Rightarrow \quad a^2 -11a +24=0 \quad \Rightarrow a=3 \text{ или }8 \] При \(a=3\): \(c=5\), \(b=10 -6=4\). Стороны: 3,4,5. Проверка периметра:3+4+5=12.
   Ответ: 3 см, 4 см, 5 см.
5. Найдите все целые значения \(m\), при которых значение выражения \(\frac{5 - m}{m^2 - 3m - 10}\) также было бы целым числом. Решение: Упростим выражение: \[ \frac{5 - m}{(m -5)(m +2)} = \frac{-(m-5)}{(m -5)(m +2)} = -\frac{1}{m +2} \quad (m \ne5) \] Целое число: \(-\tfrac{1}{m +2} \in \mathbb{Z}\) \(\Rightarrow\) \(m +2 = \pm1\) \[ m +2 =1 \Rightarrow m=-1 \\ m +2 =-1 \Rightarrow m=-3 \] Проверка при подстановке: \(-\tfrac{1}{-1 + 2} = -1\)
   \(-\tfrac{1}{-3 + 2} =1\)
   Ответ: -3; -1.
6. Найдите все значения, которые может принимать выражение \(\frac{(9 - x^2)(x + 5)}{x + 3}\), и укажите те из них, которые достигаются ровно при одном значении \(x\). Решение: Упростим выражение при \(x \ne -3\): \[ \frac{(3 -x)(3 +x)(x +5)}{x +3} = (3 -x)(x +5) = -x^2 -2x +15 \] Квадратичная функция \(-x^2 -2x +15\) принимает все значения \(y \leq\) вершины (\(D=4 +60=64\), вершина в точке \(x=-1\), \(y=16\)). При \(x=-3\) исходное выражение не определено. Выражение равно: \(y = -x^2 -2x +15\), где \(y\) может любое число, меньшее или равное 16. Вершина достигается при \(x=-1\). Для всех \(y <16\) существуют два решения, кроме точки вершины \(y=16\) (одно решение).
   Ответ: Все значения \(y \leq16\), только \(y=16\) достигается при единственном \(x=-1\).
7. Велосипедист проехал \(90\),км на \(30\),минут быстрее, чем предполагал. При этом за \(3{,}45\) часа он проезжал на \(3\),км меньше, чем рассчитывал проехать за час. Определите скорость велосипедиста. Решение: Пусть планируемая скорость \(v\) км/ч, фактическая \(v_{\text{факт}} = \frac{90}{t}\), где \(t = \frac{90}{v} - 0{,}5\). Из условия: \[ \frac{v \cdot 3.45}{v_{\text{факт}}} = v \cdot 3.45 - 3 \] Упростив: \[ 3.45v_{\text{факт}} = v \cdot3.45 -3 \] Подставим \(v_{\text{факт}} = \frac{90}{t}\) и \(t = \frac{90}{v} -0.5\): \[ v_{\text{факт}} = \frac{90}{\frac{90}{v} -0{,}5} \] Система уравнений: \[ \begin{cases} v_{\text{факт}} (t) = v - \tfrac{3}{3.45} \\ t = \frac{90}{v} -0.5 \end{cases} \] После преобразований получим уравнение: \[ 90 = (v - \tfrac{3}{3.45}) \cdot (\tfrac{90}{v} -0.5) \] Решая уравнение найдем \(v = 15\) км/ч.
   Ответ: 15 км/ч.
8. Найдите все такие значения \(a\), при которых уравнение \(a^2 x^2 - 2 = 4x^2 - a\) имеет более двух корней. Решение: Уравнение: \[ (a^2 -4)x^2 + (a -2) =0 \] Более двух корней возможно только если уравнение становится тождеством: \[ \begin{cases} a^2 -4 =0 \\ a -2 =0 \end{cases} \] Решение: \(a=2\).
   Ответ: \(a=2\).
9. В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AB=5\) и \(CD=3\) диагонали пересекаются в точке \(O\), причём треугольник \(BOC\) равнобедренный. Найдите \(BC\). Решение: По свойствам трапеции: \[ \frac{AO}{OC} = \frac{AB}{CD} = \frac{5}{3} \] Треугольник \(BOC\) равнобедренный (\(BO=OC\)), значит: \[ \frac{BO}{OC} =1 = \frac{AB}{CD} \quad \Rightarrow \quad \text{Противоречие} \] Возможен другой вариант (\(BO=BC\)). Решение через подобие: \[ BC = \sqrt{\frac{AB^2 + CD^2}{2}} = \sqrt{\frac{25 +9}{2}}= \sqrt{17} \]
   Ответ: \(\sqrt{17}\).
10. Какое из чисел ближе к единице: \(\frac{2{,}5}{\sqrt{0{,}4}}\) или \(\frac{0{,}4}{\sqrt{2{,}5}}\)? Решение: Вычислим оба выражения: \[ \frac{2.5}{\sqrt{0.4}} ≈ \frac{2.5}{0.632} ≈3.95 \quad |3.95 -1|=2.95 \] \[ \frac{0.4}{\sqrt{2.5}} ≈\frac{0.4}{1.581}≈0.253 \quad |0.253 -1|=0.747 \] Ответ: \(\frac{0{,}4}{\sqrt{2{,}5}}\) ближе к 1.