8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2006 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2006
Печать
youit.school ©

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)


2006 год


Вариант 2





  1. Упростите выражение \[ A \;=\; \Bigl(\frac{2 + x}{2 - x} \;-\; \frac{2 - x}{2 + x}\Bigr) \;\colon\; \frac{x}{x^2 - 4} \] и найдите его значение при
    1. \(x = -2\);
    2. \(x = 0\).


  2. Положительное число составляет \(196\%\) от своего куба. Найдите это число.

  3. Найдите углы равнобедренного треугольника, если два из них пропорциональны числам \(4\) и \(1\).

  4. При каком значении \(x\) квадратный трёхчлен \[ x^2 + 15x - a \] принимает наименьшее значение? Найдите это значение, если корни этого трёхчлена \(x_1\) и \(x_2\) удовлетворяют соотношению \[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{5}{9}. \]

  5. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 6,\\ x^2 y + x y^2 = 48. \end{cases} \]

  6. Сравните числа \[ \frac{2}{\sqrt{6 - 4\sqrt{2}}} \quad\text{и}\quad \sqrt{6 + 4\sqrt{2}}. \]

  7. Одна из двух пересекающихся хорд окружности делится точкой пересечения на отрезки длиной \(18\) см и \(4\) см, а другая — в отношении \(1:2\). Найдите длину второй хорды.

  8. Если копать котлован на одном экскаваторе, работу можно выполнить за \(4\)–\(8\) часов (в зависимости от режима). Если к нему присоединится второй экскаватор, работа будет выполнена за \(1\)–\(4\) часа. За сколько часов выкопает котлован второй экскаватор, если будет работать один?

  9. Найдите количество двузначных натуральных чисел \(n\), для которых дробь \[ \frac{3n + 11}{n + 2} \] является сократимой.

  10. Один из углов равнобедренного треугольника равен \(120^\circ\). Его основание равно \(10\) см. Найдите высоту, проведённую к боковой стороне.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростим выражение: \[ A = \left(\frac{2+x}{2-x} - \frac{2-x}{2+x}\right) : \frac{x}{x^2-4} \] Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{(2+x)^2 - (2-x)^2}{(2-x)(2+x)} : \frac{x}{(x-2)(x+2)} = \frac{16x}{16 - x^2} \cdot \frac{x^2 -4}{x} = \frac{16x(x^2-4)}{x(16-x^2)} = -16 \] При всех допустимых \( x \) выражение равно \(-16\), поэтому:
    1. При \( x=-2 \): Не входит в ОДЗ (знаменатели исходных дробей равны нулю).
    2. При \( x=0 \): Подстановка невозможна (деление на ноль в исходном выражении).
    Ответ: a) Нет решения; б) Нет решения.

  2. Пусть число \( a \): \[ a = 1.96a^3 \Rightarrow a^3 - \frac{100}{196}a = 0 \Rightarrow a(a^2 - \frac{25}{49}) = 0 \Rightarrow a = 0.714 \] Ответ: \( 0.714 \).

  3. В равнобедренном треугольнике сумма углов 180°. Если два угла пропорциональны 4:1, возможны варианты:
    • Углы при основании 4 части, вершина 1 часть:
      \( 4x + 4x + x = 180° \Rightarrow x = 20° \Rightarrow \text{углы: } 80°,80°,20° \)
    • Угол при вершине 4 части, при основании 1 часть:
      \( x + x + 4x = 180° \Rightarrow x = 30° \Rightarrow \text{углы: } 30°,30°,120° \)
    Ответ: \( 30°,30°,120° \) или \( 80°,80°,20° \).

  4. Наименьшее значение квадратного трёхчлена \( x^2 +15x -a \) достигается при \( x = -7.5 \). По теореме Виета: \[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{-15}{-a} = \frac{5}{9} \Rightarrow a = 27 \] Подставляем в трёхчлен: \[ (-7.5)^2 +15(-7.5) -27 = -83.25 \] Ответ: \(-83.25\).

  5. Решаем систему: \[ \begin{cases} x + y = 6,\\ xy = 8. \end{cases} \] Корни уравнения \( t^2 -6t +8 =0 \): \( t =2;4 \). Ответ: \((2;4)\) и \((4;2)\).

  6. Преобразуем выражения: \[ \sqrt{6 +4\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2}, \quad \frac{2}{\sqrt{6-4\sqrt{2}}} = \frac{2}{2 - \sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2} \] Ответ: Равны.

  7. По теореме о пересечении хорд: \[ 18 \cdot 4 = x \cdot 2x \Rightarrow x =6 \Rightarrow \text{длина хорды: } 18\text{ см} \] Ответ: 18 см.

  8. Пусть производительность первого \( \frac{1}{4} \leq p_1 \leq \frac{1}{8} \), второго \( p_2 \). С учётом ограничений: \[ \frac{1}{\frac{1}{4} + p_2} =1, \quad \frac{1}{\frac{1}{8} + p_2} =4 \Rightarrow p_2 = \frac{3}{4} \] Ответ: \( \frac{4}{3} \) часа (80 минут).

  9. Дробь \( \frac{3n+11}{n+2} \) сократима, если \( \text{НОД}(3n+11,n+2) =5 \). Числа \( n+2 \), кратные 5, в диапазоне \(12 \leq n+2 \leq101\): \[ n+2 =15,20,...,100 \Rightarrow 18 \text{ чисел} \] Ответ: 18.

  10. Высота к боковой стороне: \[ S = \frac{1}{2} \cdot10 \cdot5\sqrt{3} =25\sqrt{3} \] \[ h = \frac{2S}{\text{боковая сторона}} =\frac{50\sqrt{3}}{\frac{10}{\sqrt{3}}} =5\text{ см} \] Ответ: 5 см.
Материалы школы Юайти