Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2006 год вариант 1
Печать
youit.school ©
АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)
2006 год
Вариант 1
- Упростите выражение
\[
A \;=\;\Bigl(\frac{x+3}{x-3}-\frac{x-3}{x+3}\Bigr)\;\colon\;\frac{2x}{9-x^2}
\]
и найдите его значение при
- \(x=3\);
- \(x=0\).
- Положительное число составляет \(144\%\) от своего куба. Найдите это число.
- Найдите углы равнобедренного треугольника, если два из них пропорциональны числам \(2\) и \(5\).
- При каком значении \(x\) квадратный трёхчлен
\[
x^2 -15x + a
\]
принимает наименьшее значение? Найдите это значение, если корни этого трёхчлена \(x_1\) и \(x_2\) удовлетворяют соотношению
\[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{5}{12}.
\]
- Решите систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x - y = 4,\\
x^2y - xy^2 = 20.
\end{cases}
\]
- Сравните числа
\[
\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}
\quad\text{и}\quad
\frac{1}{\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}}.
\]
- Одна из двух пересекающихся хорд окружности делится точкой пересечения на отрезки \(27\) см и \(4\) см, а другая — в отношении \(1:3\). Найдите длину второй хорды.
- При работе одного станка партию заготовок можно изготовить за \(3\)–\(6\) часов (в зависимости от режима). Если ту же партию делать на двух станках одновременно, то на них потребуется \(1\)–\(3\) часа. Сколько заготовок в час может изготовить один станок?
- Найдите количество двузначных натуральных чисел \(n\), при которых дробь
\[
\frac{4n + 17}{\,n + 3\,}
\]
является сократимой.
- Один из углов равнобедренного треугольника равен \(120^\circ\). Высота, проведённая к боковой стороне, равна \(8\) см. Найдите основание треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростим выражение \( A = \left( \frac{x+3}{x-3} - \frac{x-3}{x+3} \right) : \frac{2x}{9 - x^2} \):
\[
A = \frac{(x+3)^2 - (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{9 - x^2}{2x} = \frac{12x}{x^2 - 9} \cdot \frac{-(x^2 - 9)}{2x} = -6
\]
- При \( x = 3 \) выражение не определено.
- При \( x = 0 \):
Ответ: \(-6\).
- Пусть число равно \( x \). Уравнение:
\[
x = 1,44x^3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{6}
\]
Ответ: \(\frac{5}{6}\).
- Возможные случаи углов:
- Углы при основании: \(2:5:5\)
Сумма: \(2t + 5t + 5t = 12t = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad t = 15^\circ\). Углы: \(30^\circ, 75^\circ, 75^\circ\). - Вершина: \(2:2:5\)
Сумма: \(2t + 2t + 5t = 9t = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad t = 20^\circ\). Углы: \(40^\circ, 40^\circ, 100^\circ\).
- Углы при основании: \(2:5:5\)
- Квадратный трёхчлен \(x^2 - 15x + a\). Координата вершины:
\[
x_{\text{min}} = \frac{15}{2}
\]
Корни удовлетворяют условию:
\[
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{15}{a} = \frac{5}{12} \quad \Rightarrow \quad a = 36
\]
Наименьшее значение:
\[
y_{\text{min}} = \left( \frac{15}{2} \right)^2 - 15 \cdot \frac{15}{2} + 36 = -\frac{81}{4}
\]
Ответ: \(-\frac{81}{4}\).
- Система уравнений:
$$\begin{aligned}
x - y &= 4 \\
xy(x - y) &= 20 \quad \Rightarrow \quad xy = 5
\end{aligned}$$
Решение:
\[
x = y + 4 \quad \Rightarrow \quad y(y + 4) = 5 \quad \Rightarrow \quad y \in \{1, -5\}
\]
Ответ: \((5; 1)\) и \((-1; -5)\).
- Преобразуем выражения:
\[
\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} - \sqrt{3}, \quad \frac{1}{\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}
\]
Сравнение:
\[
\sqrt{5} - \sqrt{3} > \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}
\]
Ответ: \(\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} > \frac{1}{\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}}\).
- По теореме о хордах: \(27 \cdot 4 = 3x \cdot x \quad \Rightarrow \quad x = 6\). Общая длина: \(4x = 24\)см.
Ответ: 24 см.
- Производительность одного станка \(x\) заготовок/час. По условиям:
\[
3 \leq \frac{N}{x} \leq 6, \quad 1 \leq \frac{N}{2x} \leq 3
\]
Отсюда \(x\) может быть любым положительным числом.
Ответ: задача имеет неоднозначное решение в рамках условий.
- Сократимость дроби \(\frac{4n + 17}{n + 3}\). Общий делитель \(5\):
\[
n + 3 \equiv 0 \pmod{5} \quad \Rightarrow \quad n \equiv 2 \pmod{5}
\]
Количество двузначных \(n\): \(18\).
Ответ: 18.
- Треугольник с углом \(120^\circ\), высота \(8\) см к боковой стороне. Основание: \[ BC = 16 \, \text{см}, \quad AC = 16 \sqrt{3} \, \text{см} \] Ответ: \(16\sqrt{3}\) см.
Материалы школы Юайти