8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2005 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2005
Печать
youit.school ©

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)


2005 год


Вариант 2



  1. Дано выражение \[ A = \frac{2x^3 - y^3 + 2xy^2 - yx^2}{0{,}4y - 0{,}8x}. \]
    1. Вычислить значение \(A\) при \(x = \tfrac{3}{4}\), \(y = -\tfrac{5}{8}\).
    2. Найти все пары чисел \((x,y)\), при которых \(A=0\).


    1. Найти точки пересечения с осью \(OX\) графиков \[ y = x^2 - 3\sqrt{3}\,x + 6 \quad\text{и}\quad y = 5x - 17. \] Расположить абсциссы этих точек в порядке возрастания.
    2. При каких значениях \(a\) точки пересечения с осью \(OX\) прямой \[ y = a x - 17 \] лежат между точками пересечения с осью \(OX\) графика \[ y = x^2 - 3\sqrt{3}\,x + 6 \] с осью \(OX\)?


  3. Грузовик проезжает расстояние от \(A\) до \(B\) за \(7\) ч, легковая машина — за \(3{,}5\) ч.
    1. Грузовик выехал из \(A\) в \(B\), а одновременно из \(B\) в \(A\) выехала легковая машина. Какую часть пути до встречи проедет каждый?
    2. Грузовик в \(9{:}00\) выехал из \(B\) в \(A\). Во сколько должна выехать машина из \(A\) в \(B\), чтобы встретиться ровно посередине пути?
    3. Грузовик выехал из \(B\) в \(A\) в \(10{:}00\), и одновременно из \(A\) в \(B\) выехала машина. Встретившись, они развернулись и поехали обратно. Во сколько каждый вернётся?


    1. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) высота из \(C\) разбивает гипотенузу \(AB\) на отрезки длиной \(2\sqrt{2}\) и \(3\sqrt{2}\). Найдите площадь этого треугольника.
    2. Среди всех прямоугольных треугольников с гипотенузой \(5\sqrt{2}\) найдите такие катеты, при которых площадь максимально.


Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. Упростим выражение: \[ \frac{2x^3 - y^3 + 2xy^2 - yx^2}{0{,}4y - 0{,}8x} = \frac{(2x - y)(x^2 + y^2)}{0{,}4(y - 2x)} = -\frac{x^2 + y^2}{0{,}4} \] Подставляем \( x = \frac{3}{4} \), \( y = -\frac{5}{8} \): \[ x^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}, \quad y^2 = \left(-\frac{5}{8}\right)^2 = \frac{25}{64} \] \[ x^2 + y^2 = \frac{9}{16} + \frac{25}{64} = \frac{61}{64} \] \[ A = -\frac{61/64}{0{,}4} = -\frac{61}{25{,}6} = -\frac{610}{256} = -\frac{305}{128} = -2{,}3828125 \] Ответ: \(-2{,}3828125\).

    2. Рассмотрим уравнение \( A = 0 \): \[ \frac{(2x - y)(x^2 + y^2)}{0{,}4(y - 2x)} = 0 \] Числитель обнуляется при \( x^2 + y^2 = 0 \) (невозможно при действительных \( x, y \)) или \( 2x - y = 0 \). При \( y = 2x \) знаменатель становится \( 0{,}4(2x - 2x) = 0 \), что приводит к неопределённости. Следовательно, решений нет. Ответ: нет решений.


    1. Для параболы \( y = x^2 - 3\sqrt{3}\,x + 6 \): \[ x^2 - 3\sqrt{3}x + 6 = 0, \quad D = (3\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 27 - 24 = 3 \] \[ x_{1,2} = \frac{3\sqrt{3} \pm \sqrt{3}}{2} = (2\sqrt{3}; \sqrt{3}) \] Для прямой \( y = 5x - 17 \): \[ 5x - 17 = 0, \quad x = \frac{17}{5} = 3{,}4 \] Абсциссы в порядке возрастания: \( \sqrt{3} \approx 1{,}732 \), \( 3{,}4 \), \( 2\sqrt{3} \approx 3{,}464 \). Ответ: \( \sqrt{3} \), \( 3{,}4 \), \( 2\sqrt{3} \).

    2. Для прямой \( y = ax - 17 \) корень \( x = \frac{17}{a} \). Условие между \( \sqrt{3} \) и \( 2\sqrt{3} \): \[ \sqrt{3} < \frac{17}{a} < 2\sqrt{3} \implies \frac{17}{2\sqrt{3}} < a < \frac{17}{\sqrt{3}} \] Ответ: \( a \in \left( \frac{17}{2\sqrt{3}}; \frac{17}{\sqrt{3}} \right) \).


    1. Пусть скорость грузовика \( v \), тогда машины \( 2v \). Время встречи \( t = \frac{S}{v + 2v} = \frac{1}{3} \cdot 7 = \frac{7}{3} \) ч. Грузовик проезжает \( \frac{1}{3} \), машина \( \frac{2}{3} \). Ответ: грузовик \(\frac{1}{3}\), машина \(\frac{2}{3}\).

    2. Грузовик до середины пути тратит \( 3{,}5\) ч (прибывает в 12:30). Машине нужно выехать за \( t = \frac{S/2}{2v} = \frac{S}{4v} = 1{,}75\) ч до встречи. Время выезда: 12:30 - 1,75 ч = 10:45. Ответ: 10:45.

    3. Время встречи \( t = \frac{S}{v + 2v} = \frac{7}{3} \approx 2{,}333 \) ч (2 ч 20 мин).
      • Грузовик возвращается через \( \frac{14}{3} \) ч после встречи: \( 10:00 + 7\) ч = 17:00.
      • Машина возвращается через \( \frac{7}{6} \) ч после встречи: \( 10:00 + 3{,}5 \) ч = 13:30.
      Ответ: грузовик в 17:00, машина в 13:30.


    1. Высота \( CH = \sqrt{AH \cdot HB} = \sqrt{2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \). Гипотенуза \( AB = 5\sqrt{2} \), площадь \( \frac{AB \cdot CH}{2} = \frac{5\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{6} \). Ответ: \(5\sqrt{6}\).

    2. Максимум площади достигается при катетах \( a = b = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5 \). Ответ: катеты 5 и 5.
Материалы школы Юайти