Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2005 год вариант 1

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2005 год

Вариант 1

1. Дано выражение \[ A = \frac{3x^3 - y^3 - x^2y + 3xy^2}{0{,}6x - 0{,}2y}. \]
   1. Вычислить значение \(A\) при \(x = \tfrac{5}{8}\), \(y = -\tfrac{3}{4}\).
   2. Найти все пары чисел \((x,y)\), такие что \(A = 0\).
   
   
   
2. 1. Найти точки пересечения данных графиков с осью \(OX\): \[ y = x^2 + 3\sqrt{2}\,x + 4 \quad\text{и}\quad y = 5x + 14. \] Расположить абсциссы этих точек в порядке возрастания.
   2. При каких значениях \(a\) точки пересечения графика \[ y = a x + 14 \] с осью \(OX\) лежат между точками пересечения графика \[ y = x^2 + 3\sqrt{2}\,x + 4 \] с осью \(OX\)?
   
   
   
3. Грузовик проезжает расстояние от \(A\) до \(B\) за \(5\) ч, а легковая машина — за \(2{,}5\) ч.
   1. Грузовик выехал из \(A\) в \(B\), а одновременно из \(B\) в \(A\) выехала легковая машина. Какую часть пути до встречи проедет каждый из них?
   2. Грузовик в \(9\!:\!00\) выехал из \(B\) в \(A\). Во сколько должна выехать машина из \(A\) в \(B\), чтобы встретиться с грузовиком ровно посередине между \(A\) и \(B\)?
   3. Грузовик выехал из \(B\) в \(A\) в \(10\!:\!00\), и одновременно из \(A\) в \(B\) выехала машина. Встретившись, они развернулись и поехали обратно. Во сколько каждый из них вернётся в исходную точку?
   
   
   
4. 1. В треугольнике \(\triangle ABC\) с прямым углом в \(C\) высота, опущенная из \(C\) на гипотенузу \(AB\), делит её на отрезки длиной \(3\sqrt{3}\) и \(2\sqrt{3}\). Найдите площадь этого треугольника.
   2. Среди всех прямоугольных треугольников с гипотенузой \(5\sqrt{3}\) найти такие катеты, при которых площадь треугольника максимально.

Решения задач

1. 1. Значение выражения при \(x = \tfrac{5}{8}\), \(y = -\tfrac{3}{4}\):
      Решение: Упростим выражение, разложив числитель на множители: 3x³ - y³ -x²y +3xy² = (3x - y)(x² + y²)
      Знаменатель: \(0,6x - 0,2y = 0,2(3x - y)\).
      Подставим \(x = \tfrac{5}{8}\), \(y = -\tfrac{3}{4}\):
      \((x² + y²) = \left(\left(\tfrac{5}{8}\right)^2 + \left(-\tfrac{3}{4}\right)^2\right) = \tfrac{25}{64} + \tfrac{9}{16} = \tfrac{61}{64}\)
      Тогда \(A = \tfrac{61}{64} \cdot 5 = \tfrac{305}{64}\).
      Ответ: \(\boxed{\dfrac{305}{64}}\).
      
      
   2. Нахождение всех пар \((x, y)\), таких что \(A = 0\):
      Решение: Из разложения числителя \((3x - y)(x² + y²)\) следует, что равенство нулю возможно только если \(x² + y² = 0\), что выполнимо лишь при \(x = 0\) и \(y = 0\). Однако подстановка этих значений в знаменатель приводит к нулю, что делает выражение неопределенным.
      Ответ: Решений нет.
   
   
   
2. 1. Точки пересечения графиков с осью \(OX\):
      Для \(y = x² + 3\sqrt{2}x + 4\):
      Решение квадратного уравнения \(x² + 3\sqrt{2}x + 4 = 0\) даёт корни: \(x = -2\sqrt{2}\), \(x = -\sqrt{2}\).
      Для \(y = 5x + 14\) пересечение с \(OX\) при \(x = -\tfrac{14}{5}\).
      Расположение абсцисс по возрастанию: \(-2\sqrt{2}\), \(-\tfrac{14}{5}\), \(-\sqrt{2}\).
      Ответ: \(-2\sqrt{2}\); \(-\dfrac{14}{5}\); \(-\sqrt{2}\).
      
      
   2. Определение значений параметра \(a\):
      Решение: Точка пересечения прямой \(y = ax + 14\) с осью \(OX\) находится при \(x = -\tfrac{14}{a}\). Условие расположения между \(-2\sqrt{2}\) и \(-\sqrt{2}\) приводит к неравенству:
      \(-2\sqrt{2} < -\tfrac{14}{a} < -\sqrt{2}\), что упрощается до \(\tfrac{7\sqrt{2}}{2} < a < 7\sqrt{2}\).
      Ответ: \(a \in \left(\dfrac{7\sqrt{2}}{2}; 7\sqrt{2}\right)\).
   
   
   
3. 1. Доля пути до встречи для грузовика и машины:
      Решение: Скорости относятся как \(1 : 2\). Встреча произойдёт через \( \tfrac{5}{3}\) часа, каждый проедет \(\tfrac{1}{3}\) и \(\tfrac{2}{3}\) пути.
      Ответ: Грузовик — \(\dfrac{1}{3}\), машина — \(\dfrac{2}{3}\).
      
      
   2. Время выезда машины для встречи посередине:
      Расчёт времени показывает, что машина должна выехать в \(10\!:\!15\).
      Ответ: В \(10\!:\!15\).
      
      
   3. Время возвращения после разворота:
      Оба вернутся через 3ч 20мин после старта, то есть в \(13\!:\!20\).
      Ответ: В \(13\!:\!20\).
   
   
   
4. 1. Площадь прямоугольного треугольника:
      Высота делит гипотенузу на \(3\sqrt{3}\) и \(2\sqrt{3}\), длина гипотенузы \(5\sqrt{3}\), высота \(3\sqrt{2}\). Площадь равна \(\tfrac{15\sqrt{6}}{2}\).
      Ответ: \(\boxed{\dfrac{15\sqrt{6}}{2}}\).
      
      
   2. Максимальная площадь треугольника:
      Решение: Максимальная площадь достигается при равных катетах, длина каждого катета \(\tfrac{5\sqrt{6}}{2}\).
      Ответ: Катеты равны \(\boxed{\dfrac{5\sqrt{6}}{2}}\).