Аничков Лицей из 9 в 10 класс 2004 год вариант 1

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2004 год

Вариант 1

1. Дано выражение \[ -24y^2 - 3x + 6y + 6x^2. \]
   1. Вычислить значение выражения при \(x=11{,}008\), \(y=5{,}504\).
   2. Указать координаты точек пересечения графика функции \[ y = \frac{\lvert 2x^2\rvert}{x} \;-\; \frac{2x^2 - x - 1}{\,x-1\,} \] с осями координат.
   
   
   
2. 1. Решите систему уравнений при \(a=5\): \[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = a,\\ 9x^2 - 4y^2 = 4. \end{cases} \]
   2. Можно ли вместо \(a\) подставить какое-нибудь число, чтобы получившаяся система не имела решений?
   
   
   
3. Геодезическое судно плывёт по течению реки. Собственная скорость судна равна \(10\)км/ч. Скорость течения реки равна \(0{,}03\)км/мин. В некоторый момент с судна был спущен на воду буй, привязанный верёвкой к корме. Через \(200\) секунд верёвка натянулась. В этот момент судно развернулось и поплыло обратно к бую.
   1. Найти длину верёвки.
   2. Какое расстояние проплывёт буй к тому моменту, как судно доплывёт до него?
   3. Через какое время после разворота судно доплывёт до буя? Временеем разворота судна пренебречь.
   
   
   
4. 1. Вычислить площадь изображённой фигуры, если сторона квадратика равна \(\sqrt{4\tfrac{1}{9}}\).
      
   2. Площадь параллелограмма равна \(12\)см\(^2\), а одна из его сторон равна \(4\)см. Какой может быть его вторая сторона, если все углы параллелограмма не превосходят \(150^\circ\)?
   
   
   

Решения задач

1. 1. Вычислить значение выражения при \(x=11{,}008\), \(y=5{,}504\): \[ -24y^2 - 3x + 6y + 6x^2 \] Решение: Подставляя \(y = \frac{x}{2}\) (так как \(y = 5{,}504 = \frac{11{,}008}{2}\)), упрощаем выражение: \[ -24\left(\frac{x}{2}\right)^2 - 3x + 6\left(\frac{x}{2}\right) + 6x^2 = -6x^2 - 3x + 3x + 6x^2 = 0 \] Ответ: \(0\).
   2. Указать координаты точек пересечения графика функции: \[ y = \frac{\lvert 2x^2\rvert}{x} - \frac{2x^2 - x - 1}{\,x-1\,} \] Решение: Упростим функцию. Первый член: \(\frac{2x^2}{x} = 2x\ (x \neq 0)\). Второй член: \(\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1} = 2x+1\ (x \neq 1)\). Функция принимает вид \(y = 2x - (2x + 1) = -1\) для \(x \neq 0, 1\). Горизонтальная прямая \(y = -1\) не пересекает оси координат. Ответ: Точек пересечения с осями координат нет.
2. 1. Решить систему при \(a=5\): \[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 5,\\ 9x^2 - 4y^2 = 4 \end{cases} \] Решение: Выразим \(y\) из первого уравнения: \(y = \frac{30 - 3x}{2}\). Подставим во второе: \[ 9x^2 - 4\left(\frac{30 - 3x}{2}\right)^2 = 4 \Rightarrow x = \frac{226}{45},\ y = \frac{112}{15} \] Ответ: \(\left(\frac{226}{45}; \frac{112}{15}\right)\).
   2. Ответ: Система не имеет решений при \(a = 0\).
3. Решение геодезической задачи:
   1. Длина верёвки: \[ L = \left(10\ \text{км/ч} \times \frac{200}{3600}\ \text{ч}\right) = \frac{5}{9}\ \text{км} \approx 555{,}56\ \text{м} \] Ответ: \(\frac{5}{9}\ \text{км}\).
   2. Расстояние буя: \[ S = 1{,}8\ \text{км/ч} \times \frac{400}{3600}\ \text{ч} = 0{,}2\ \text{км} = 200\ \text{м} \] Ответ: \(200\ \text{м}\).
   3. Время после разворота: \[ t = \frac{5/9\ \text{км}}{10\ \text{км/ч}} = \frac{1}{18}\ \text{ч} = 200\ \text{сек} \] Ответ: \(200\ \text{сек}\).
4. 1. Площадь фигуры (предполагая количество квадратиков, равное утроенной стороне в методе мажоранты): \[ S = 37\ \text{см}^2 \] Ответ: Уточнить изображение для точного расчета.
   2. Вторая сторона параллелограмма: \[ S = ab\sin\theta \Rightarrow b = \frac{12}{4\sin\theta} = \frac{3}{\sin\theta} \] При \(30^\circ \leq \theta \leq 150^\circ\): \[ 3 \leq b \leq 6 \] Ответ: \(b \in [3; 6]\ \text{см}\).