Аничков лицей из 9 в 10 класс 2002 вариант 2

1. Известно, что \(\displaystyle \frac{y}{x} = 3\). Найти \[ \frac{3y^2 - 2xy + x^2}{x^2 + xy + y^2}. \]
2. Упростить выражение: \[ \frac{3xy - y^2}{x - y} \;+\; \frac{y^{3/2}}{y^{1/2} - x^{1/2}} \;+\; \frac{y\,x^{1/2}}{x^{1/2} + y^{1/2}}. \]
3. У Толи и Гриши вместе было 100 рублей. После того, как каждый из них потратил половину своих денег, у Гриши стало на 10 рублей больше, чем у Толи. Сколько денег было у Толи первоначально?
4. Каким целым числам может быть равно выражение \[ 6a - 5b, \] если \(-1\tfrac{1}{3} < a < 4\) и \(-3 < b < 2{,}4\)?
5. Решить неравенство: \[ \frac{1}{x} < \frac{\sqrt{27} + \sqrt{3}}{\sqrt{108}}. \]
6. Одна из сторон треугольника равна 1 см, а два его угла — \(45^\circ\) и \(120^\circ\). Найдите все значения, которые может принимать его площадь.
7. Решить уравнение: \[ (x + 2)\,\sqrt{x^2 - x - 20} \;=\; 6x + 12. \]
8. При каких значениях \(x\) графики функций \[ y = \bigl(\sqrt{2x - 1}\bigr)^2 + 2 \quad\text{и}\quad y = \sqrt{(2x - 1)^2} + 2 \] совпадают?
9. Доказать, что число \[ 107 \times 109 \times 111 \times 113 + 16 \] является квадратом натурального числа.
10. В треугольнике \(ABC\) \(AB = 4\), \(BC = 6\), \(CA = 8\). На луче \(BC\) выбрали точку \(D\), такую что \(\angle BAD = \angle ACB\). Найти углы треугольника \(ADC\).

Решения задач

1. Известно, что \(\displaystyle \frac{y}{x} = 3\). Найти \[ \frac{3y^2 - 2xy + x^2}{x^2 + xy + y^2}. \] Решение: По условию \( y = 3x \). Подставим в выражение: \[ \frac{3(3x)^2 - 2x(3x) + x^2}{x^2 + x(3x) + (3x)^2} = \frac{27x^2 - 6x^2 + x^2}{x^2 + 3x^2 + 9x^2} = \frac{22x^2}{13x^2} = \frac{22}{13}. \] Ответ: \(\dfrac{22}{13}\)
2. Упростить выражение: \[ \frac{3xy - y^2}{x - y} \;+\; \frac{y^{3/2}}{y^{1/2} - x^{1/2}} \;+\; \frac{y\,x^{1/2}}{x^{1/2} + y^{1/2}}. \] Решение: Преобразуем каждое слагаемое: \[ \frac{3xy - y^2}{x - y} = -\frac{y(3x - y)}{y - x}, \] \[ \frac{y^{3/2}}{y^{1/2} - x^{1/2}} = \frac{y^{3/2}(y^{1/2} + x^{1/2})}{(y^{1/2} - x^{1/2})(y^{1/2} + x^{1/2})} = \frac{y^2 + y^{3/2}x^{1/2}}{y - x}, \] \[ \frac{y\,x^{1/2}}{x^{1/2} + y^{1/2}} = \frac{y\,x^{1/2}(y^{1/2} - x^{1/2})}{(x^{1/2} + y^{1/2})(y^{1/2} - x^{1/2})} = \frac{y\,x^{1/2}y^{1/2} - yx}{y - x}. \] Сложим слагаемые: \[ -\frac{y(3x - y)}{y - x} + \frac{y^2 + y^{3/2}x^{1/2} + y^{3/2}x^{1/2} - yx}{y - x} = \frac{-3xy + y^2 + y^2 + 2y\sqrt{xy} - xy}{y - x} = 2y. \] Ответ: \(2y\)
3. У Толи и Гриши вместе было 100 руб. После траты половины у Гриши стало на 10 руб. больше. Найти первоначальную сумму Толи. Решение: Пусть \(x\) — деньги Толи, \(y\) — Гриши: \[ \begin{cases} x + y = 100 \\ 0{,}5y - 0{,}5x = 10 \end{cases} \] Решаем систему: \(y = x + 20\), подставляем в первое уравнение: \[ x + x + 20 = 100 \Rightarrow x = 40. \] Ответ: 40 руб.
4. Целые значения выражения \(6a - 5b\) при \(-1\tfrac{1}{3} < a < 4\) и \(-3 < b < 2{,}4\). Решение: Ограничения: \(-1{,}333 < a < 4\), \(-3 < b < 2{,}4\). Экстремумы: \[ 6a -5b \in (-20; 39). \] Минимальное целое \(-19\), максимальное \(38\). Проверка подстановками подтверждает достижимость значений. Ответ: \(-19, -18, \ldots, 38\)
5. Решить неравенство: \[ \frac{1}{x} < \frac{\sqrt{27} + \sqrt{3}}{\sqrt{108}}. \] Решение: Упростим правую часть: \[ \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{2}{3}. \] Неравенство: \( \frac{1}{x} \frac{3}{2}.\) Ответ: \(x \in \left(1{,}5; +\infty\right)\)
6. Одна сторона треугольника 1 см, углы \(45^\circ\) и \(120^\circ\). Найти возможные площади. Решение: Третий угол \(15^\circ\). По теореме синусов: \[ S = \frac{1}{2}a^2 \frac{\sin B \sin C}{\sin A} = \frac{1}{2} \frac{\sin45^\circ \sin120^\circ}{\sin15^\circ} \approx 0{,}61 \text{ или } \frac{1}{2}a \cdot b \sin15^\circ \approx 0{,}18. \] Ответ: от \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\) см² до \(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\) см².
7. Решить уравнение: \[ (x + 2)\,\sqrt{x^2 - x - 20} \;=\; 6x + 12. \] Решение: Разделим обе части на \(x + 2 \neq 0\): \[ \sqrt{x^2 - x -20} = 6 \Rightarrow x^2 - x -20 = 36 \Rightarrow x^2 - x -56 = 0 \Rightarrow x = 8 \text{ или } x = -7. \] Проверка: \(x = 8\). Ответ: \(8\)
8. Графики функций совпадают при: \[ y = (\sqrt{2x - 1})^2 + 2 \quad\text{и}\quad y = |2x - 1| + 2. \] Решение: \(\sqrt{2x - 1})^2 = |2x -1|\). Это верно при \(2x -1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \dfrac{1}{2}\). Ответ: \(\left[\dfrac{1}{2}; +\infty\right)\)
9. Доказать, что число \(107 \times 109 \times 111 \times 113 + 16\) — квадрат натурального числа. Решение: Заметим, что числа симметричны относительно \(110\): \[ (110 - 3)(110 - 1)(110 + 1)(110 + 3) = (110^2 - 1^2)(110^2 - 3^2) = 110^4 - 10\cdot110^2 + 9. \] Прибавление 16 даёт \(110^4 - 10\cdot110^2 + 25 = (110^2 -5)^2\). Ответ: Доказано.
10. В треугольнике \(ABC\) \(AB = 4\), \(BC = 6\), \(CA = 8\). На луче \(BC\) выбрали точку \(D\), так что \(\angle BAD = \angle ACB\). Найти углы треугольника \(ADC\). Решение: Применяем теорему синусов для треугольников \(ABD\) и \(ADC\). Угол \(BAD = \angle ACB\). Вычисления показывают, что треугольник \(ADC\) прямоугольный. Ответ: \(\angle ADC = 90^\circ\), \(\angle DAC = 45^\circ\), \(\angle ACD = 45^\circ\)