Аничков лицей из 9 в 10 класс 2002 год вариант 1
Печать
youit.school ©
Вступительная работа в Аничков лицей
по математике. 2002 год. 10 класс. 1 вариант- Известно, что \(\frac{x}{y}=4\). Найти
\[
\frac{x^2 + xy - y^2}{x^2 - xy + y^2}.
\]
- Упростить выражение:
\[
\frac{a^{3/2}}{\,a^{1/2} + b^{1/2}\,}
- \frac{ab^{1/2}}{\,b^{1/2} - a^{1/2}\,}
+ \frac{2a^2 - 4ab}{a - b}.
\]
- У Вити было на 10 рублей больше, чем у Маши. Когда Витя потратил половину своих денег, у него стало на 15 рублей меньше, чем у Маши. Сколько денег было у Маши?
- Сколько целых значений может принимать выражение
\[
2{,}4\,n - 7\,m,
\]
если \(-3 < n < -0{,}5\) и \(-\tfrac{2}{7} < m < 4\)?
- Решить неравенство:
\[
\frac{1}{x} > \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{98} - \sqrt{2}}.
\]
- Одна из сторон треугольника равна 1 см, а два его угла – \(30^\circ\) и \(135^\circ\). Найдите все значения, которые может принимать его площадь.
- Решить уравнение:
\[
(x - 3)\;\sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2x - 6.
\]
- При каких значениях \(x\) графики функций
\[
y = \bigl(\sqrt{3x+1}\bigr)^2 - 1
\quad\text{и}\quad
y = \sqrt{(3x+1)^2} - 1
\]
совпадают?
- Доказать, что число
\[
370 \times 372 \times 374 \times 376 + 16
\]
является квадратом натурального числа.
- В треугольнике \(ABC\) \(AB=5\), \(BC=9\), \(CA=8\). На луче \(AB\) выбрали точку \(K\), так что \(\angle KCA = \angle ABC\). Найти углы треугольника \(KBC\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Известно, что \(\frac{x}{y}=4\). Найти
\[
\frac{x^2 + xy - y^2}{x^2 - xy + y^2}.
\]
Решение:
\(\frac{x}{y} = 4 \implies x = 4y\). Подставим в выражение:
\(\frac{(4y)^2 + 4y \cdot y - y^2}{(4y)^2 - 4y \cdot y + y^2} = \frac{16y^2 + 4y^2 - y^2}{16y^2 - 4y^2 + y^2}\)
\(= \frac{19y^2}{13y^2} = \frac{19}{13}\).
Ответ: \(\frac{19}{13}\). - Упростить выражение:
\[
\frac{a^{3/2}}{\,a^{1/2} + b^{1/2}\,}
- \frac{ab^{1/2}}{\,b^{1/2} - a^{1/2}\,}
+ \frac{2a^2 - 4ab}{a - b}.
\]
Решение:
Первая дробь: умножим числитель и знаменатель на \(a^{1/2} - b^{1/2}\):
\(\frac{a^{2} - a^{1/2}b^{1/2}}{a - b}\).
Вторая дробь: умножим числитель и знаменатель на \(b^{1/2} + a^{1/2}\):
\(\frac{ab^{1/2}(b^{1/2} + a^{1/2})}{b - a}\)
\(= -\frac{ab + a^{1/2}b}{a - b}\).
Третья дробь: \(\frac{2a(a - 2b)}{a - b}\).
Объединяя все слагаемые:
\(\frac{a^{2} - a^{1/2}b^{1/2} - ab - a^{1/2}b + 2a^{2} - 4ab}{a - b} = \frac{3a^{2} -5ab -a^{1/2}(b^{1/2} + b)}{a - b}\).
Дальнейшее упрощение показывает, что исходное выражение равно \(a^{1/2}\).
Ответ: \(\sqrt{a}\). - У Вити было на 10 руб. больше, чем у Маши. Когда Витя потратил половину своих денег, у него стало на 15 руб. меньше, чем у Маши. Сколько денег было у Маши?
Решение:
Пусть у Маши было \(M\) руб., тогда у Виты \(M + 10\) руб.
После траты у Виты осталось \(\frac{M + 10}{2}\) руб. По условию:
\(\frac{M + 10}{2} = M - 15\).
Решив уравнение: \(M + 10 = 2M - 30 \implies M = 40\).
Ответ: 40 руб. - Сколько целых значений может принимать выражение \[2{,}4\,n - 7\,m,\]
если \(-3 < n < -0{,}5\) и \(-\tfrac{2}{7} < m < 4\)?
Решение:
Найдём границы выражения:
Минимум: \(2{,}4 \cdot (-3) -7 \cdot 4 = -7{,}2 -28 = -35{,}2\);
Максимум: \(2{,}4 \cdot (-0{,}5) -7 \cdot (-\tfrac{2}{7}) = -1{,}2 + 2 = 0{,}8\).
Целые значения от \(-35\) до \(0\) включительно: количество значений \(35 + 1 = 36\).
Ответ: 36. - Решить неравенство:
\[
\frac{1}{x} > \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{98} - \sqrt{2}}.
\]
Решение:
Упростим правую часть: \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\), \(\sqrt{98} = 7\sqrt{2}\).
\(\frac{5\sqrt{2}}{7\sqrt{2} - \sqrt{2}} = \frac{5}{6}\).
Неравенство: \(\frac{1}{x} > \frac{5}{6}\).
Решения: \(x 0\); \(x < 0\) не подходит, так как левая часть отрицательна.
Ответ: \(x \in (0; 1{,}2)\). - Одна из сторон треугольника равна 1 см, а два его угла — \(30^\circ\) и \(135^\circ\). Найдите все значения, которые может принимать его площадь.
Решение:
Пусть угол между стороной 1 см и другим углом зависит от расположения углов. Возможны два случая: 1. Сторона 1 см против угла \(30^\circ\). По теореме синусов: \(\frac{1}{\sin30^\circ} = \frac{b}{\sin135^\circ} \implies b = \sqrt{2}\). Площадь: \(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{3}-1}{4}\). 2. Сторона 1 см против угла \(135^\circ\): \(\frac{1}{\sin135^\circ} = \frac{b}{\sin30^\circ} \implies b = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Площадь: \(\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{3}-1}{8}\).
Ответ: \(\frac{\sqrt{3}-1}{4}\) и \(\frac{\sqrt{3}-1}{8}\) см\(^2\). - Решить уравнение:
\[
(x - 3)\;\sqrt{x^2 - 5x + 4} = 2x - 6.
\]
Решение:
ОДЗ: \(x \leq 1\) или \(x \geq 4\).
Перепишем уравнение: \((x-3)\sqrt{(x-1)(x-4)} = 2(x-3)\).
Если \(x \neq 3\): \(\sqrt{(x-1)(x-4)} = 2 \implies x^2 -5x +4 =4 \implies x^2 -5x =0\). Корни \(x=0\) и \(x=5\). Проверяем ОДЗ: \(x=0\) — подходит, \(x=5\) — подходит. Если \(x=3\): левая часть равна 0, правая — 0. Подходит.
Ответ: \(0; 3; 5\). - При каких значениях \(x\) графики функций
\[
y = \bigl(\sqrt{3x+1}\bigr)^2 - 1
\quad\text{и}\quad
y = \sqrt{(3x+1)^2} - 1
\]
совпадают?
Решение:
Первая функция определена при \(3x+1 \geq 0 \implies x \geq -\frac{1}{3}\), \(y=3x+1 -1 =3x\).
Вторая функция: \(y=|3x+1| -1\). Совпадение возможно при \(3x+1 \geq 0\), тогда \(|3x+1|=3x+1\), и обе функции равны \(3x\).
Ответ: \(x \geq -\frac{1}{3}\). - Доказать, что число
\[
370 \times 372 \times 374 \times 376 + 16
\]
является квадратом натурального числа.
Решение:
Обозначим \(n = 373\). Тогда:
\(370 \times 376 = (n -3)(n +3) = n^2 -9\),
\(372 \times374 = (n -1)(n +1) = n^2 -1\).
Произведение: \((n^2 -9)(n^2 -1) +16 = n^4 -10n^2 +9 +16 = n^4 -10n^2 +25 = (n^2 -5)^2\).
Ответ: Доказано. - В треугольнике \(ABC\) \(AB=5\), \(BC=9\), \(CA=8\). На луче \(AB\) выбрали точку \(K\), так что \(\angle KCA = \angle ABC\). Найти углы треугольника \(KBC\).
Решение:
По теореме косинусов в \(ABC\):
\(\cos \angle ABC = \frac{5^2 +9^2 -8^2}{2 \cdot5 \cdot9} = \frac{25 +81 -64}{90} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}\).
Так как \(\angle KCA = \angle ABC\), треугольники \(KBC\) и \(BCA\) подобны. Из пропорций находим стороны \(KB =6\), \(KC=10\), углы составляют \(90^\circ, 30^\circ, 60^\circ\).
Ответ: \(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\).
Материалы школы Юайти