8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Аничков лицей из 9 в 10 класс 2001 год вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2001
Печать
youit.school ©

Вступительная работа в Аничков лицей

по математике. 2001 год. 10 класс. 2 вариант


  1. Упростить выражение: \[ \biggl(\frac{x - x^{\tfrac13}}{x^{\tfrac23} - 1} - 2x^{\tfrac13} + 1\biggr) \;\cdot\;\frac{1 + x^{\tfrac13}}{\,1 - x^{\tfrac13}}. \]

  2. При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение: \[ \frac{\sqrt[4]{x^2 - 25}}{x^2 - 12x + 36}\,? \]

  3. \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) – положительные числа. Вычислить \(\displaystyle \frac{c}{a} + \frac{b}{d}\), если \(ab = bc = cd\).

  4. Решить уравнение: \[ (9 - x^2)\,\sqrt{\,2x - 3\,} = 0. \]

  5. При каких значениях \(b\) и \(c\) вершиной параболы \(y = 3x^2 + bx + c\) будет точка \((-4;\,-3)\)?

  6. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 20, 20 и 25 сантиметров.

  7. Найти \(\cos\alpha\), если \(\cos\alpha + \sin^2\alpha = \tfrac{5}{9}.\)

  8. Построить график функции: \[ y = \tfrac14\;\biggl|\frac{x + 3}{x - 2}\biggr|\;\cdot\;(x^2 - 4). \]

  9. В треугольнике \(ABC\)\; \(BD\) – медиана; \(\angle ABD = \alpha\); \(\angle DBC = \beta\); \(BM = a\). Найти \(BD\).

  10. На графике \[ y = \frac{x - 4}{\,x + 1\,} \] найти все точки, абсциссы и ординаты которых – целые числа.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить выражение: \[ \biggl(\frac{x - x^{\tfrac13}}{x^{\tfrac23} - 1} - 2x^{\tfrac13} + 1\biggr) \cdot \frac{1 + x^{\tfrac13}}{1 - x^{\tfrac13}} \] Решение:
    Преобразуем числитель первой дроби:
    $x - x^{\tfrac{1}{3}} = x^{\tfrac{1}{3}}(x^{\tfrac{2}{3}} - 1)$
    Тогда выражение примет вид: \[ \left(\frac{x^{\tfrac{1}{3}}(x^{\tfrac{2}{3}} - 1)}{x^{\tfrac{2}{3}} - 1} - 2x^{\tfrac{1}{3}} + 1 \right) \cdot \frac{1 + x^{\tfrac{1}{3}}}{1 - x^{\tfrac{1}{3}}} \] После сокращения:
    $(x^{\tfrac{1}{3}} - 2x^{\tfrac{1}{3}} + 1) \cdot \frac{1 + x^{\tfrac{1}{3}}}{1 - x^{\tfrac{1}{3}}} = (1 - x^{\tfrac{1}{3}}) \cdot \frac{1 + x^{\tfrac{1}{3}}}{1 - x^{\tfrac{1}{3}}} = 1 + x^{\tfrac{1}{3}}$
    Ответ: $1 + \sqrt[3]{x}$.

  2. При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение: \[ \frac{\sqrt[4]{x^2 - 25}}{x^2 - 12x + 36} \] Решение:
    1. Корень четвертой степени требует:
    $x^2 - 25 \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty;-5] \cup [5;+\infty)$
    2. Знаменатель:
    $x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$
    Область определения:
    $x \in (-\infty;-5] \cup [5;6) \cup (6;+\infty)$
    Ответ: $x \in (-\infty;-5] \cup [5;6) \cup (6;+\infty)$.

  3. Вычислить $\frac{c}{a} + \frac{b}{d}$ при условии \(ab = bc = cd\).
    Решение:
    Из равенств делаем вывод:
    $ab = bc \Rightarrow a = c$ (поскольку \(b \neq 0\))
    $bc = cd \Rightarrow d = b$ (поскольку \(c \neq 0\))
    Тогда:
    $\frac{c}{a} = \frac{a}{a} = 1$
    $\frac{b}{d} = \frac{b}{b} = 1$
    Сумма: $1 + 1 = 2$
    Ответ: 2.

  4. Решить уравнение: \[ (9 - x^2)\sqrt{2x - 3} = 0 \] Решение:
    Уравнение равносильно совокупности:
    1. $9 - x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm3$
    Проверяем для корня $-3$: $2(-3) -3 = -9 < 0$ ⟹ не подходит.
    Корень $3$: $2 \cdot 3 -3 = 3 \geq 0$ ⟹ верно.
    2. $\sqrt{2x-3} = 0 \Rightarrow 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1.5$
    Ответ: $1.5$ и $3$.
    Ответ: $1{,}5$; $3$.

  5. Найти коэффициенты \(b\) и \(c\) для параболы \(y = 3x^2 + bx + c\), если её вершина в точке \((-4; -3)\).
    Решение:
    Координата вершины:
    $x_0 = -\frac{b}{2 \cdot 3} = -4 \Rightarrow b = 24$
    Подставляем вершину в уравнение:
    $-3 = 3(-4)^2 + 24(-4) + c \Rightarrow -3 = 48 - 96 + c \Rightarrow c = 45$
    Ответ: \(b = 24\), \(c = 45\).

  6. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 20, 20, 25 см.
    Решение:
    Полупериметр:
    $p = \frac{20 + 20 + 25}{2} = 32.5$ см
    Площадь по формуле Герона:
    $S = \sqrt{32.5 \cdot (32.5 - 20) \cdot (32.5 - 20) \cdot (32.5 - 25)} = \sqrt{32.5 \cdot 12.5 \cdot 12.5 \cdot 7.5} = 195.156$
    Радиус вписанной окружности:
    $r = \frac{S}{p} = \frac{195.156}{32.5} \approx 6$ см
    Ответ: 6 см.

  7. Найти \(\cos\alpha\), если \(\cos\alpha + \sin^2\alpha = \frac{5}{9}\).
    Решение:
    Замена \(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha\):
    $\cos\alpha + 1 - \cos^2\alpha = \frac{5}{9}$
    $\cos^2\alpha - \cos\alpha - \frac{4}{9} = 0$
    Решая квадратное уравнение:
    $D = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$
    $\cos\alpha = \frac{1 \pm \frac{5}{3}}{2}$, $\cos\alpha = \frac{4}{3}$ < 1 ∨ $\cos\alpha = -\frac{1}{3}$
    Ответ: \(-\frac{1}{3}\).

  8. Построить график функции: \[ y = \frac{1}{4}\left|\frac{x + 3}{x - 2}\right| \cdot (x^2 - 4) \] Решение:
    Упростим выражение:
    $y = \frac{1}{4}|x + 3| \cdot |x + 2| \cdot \text{sign}(x - 2)$
    При $x > 2$: $y = \frac{1}{4}(x + 3)(x + 2)$
    При $x < 2$: $y = -\frac{1}{4}(x + 3)(x + 2)$
    Вертикальная асимптота $x = 2$, пересекает ось OX при $x = -3$, $x = -2$, $x = 2$, $x = -2$.
    Ответ: график состоит из двух ветвей гиперболы и параболы с указанными особенностями.

  9. В треугольнике \(ABC\) медиана \(BD\), \(\angle ABD = \alpha\), \(\angle DBC = \beta\), \(BM = a\). Найти \(BD\).
    Решение (предположительное без схемы):
    Пусть используется теорема синусов для треугольников \(ABD\) и \(CBD\):
    $\frac{AD}{\sin\alpha} = \frac{BD}{\sin A_1}$
    $\frac{DC}{\sin\beta} = \frac{BD}{\sin C_1}$
    Так как \(AD = DC\) (медиана), получим систему уравнений для \(BD\).
    Ответ требуется уточнение условия для точного решения.

  10. Найти целые точки на графике \(y = \frac{x - 4}{x + 1}\).
    Решение:
    Пусть \(x \in \mathbb{Z}\), тогда \((x + 1)\) должно быть делителем \((x - 4)\):
    $(x + 1) \mid (x - 4) \Rightarrow (x + 1) \mid 5$
    Возможные делители: \(\pm1\), \(\pm5\)
    Значения \(x\): \(-6\), \(-2\), \(0\), \(4\)
    Соответствующие \(y\): \(2\), \(6\), \(-4\), \(0\)
    Ответ: \((-6; 2)\), \((-2; 6)\), \((0; -4)\), \((4; 0)\).
Материалы школы Юайти