Аничков лицей из 9 в 10 класс 2001 год вариант 1

1. Упростить выражение: \[ \frac{2a^{-\frac13}}{a^{\frac23} - 3a^{-\frac13}} - \frac{a^{\frac23}}{a^{\frac53} - a^{\frac23}} - \frac{a+1}{(a-1)(a-3)}. \]
   
   
2. При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение \[ \frac{\sqrt[4]{\,49 - x^2\,}}{x^2 - 6x + 9}\,? \]
   
   
3. \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) – положительные числа. Вычислить \(\displaystyle \frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}\), если \(a + b = b + c = c + d\).
   
   
4. Решить уравнение: \[ \bigl(x^2 - 4\bigr)\sqrt{\,1 - 3x\,} = 0. \]
   
   
5. При каких значениях \(b\) и \(c\) вершиной параболы \(y = 2x^2 + bx + c\) будет точка \((-3;\,-2)\)?
   
   
6. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 15, 24 и 15 сантиметров.
   
   
7. Найти \(\sin\alpha\), если \(\sin\alpha + \cos^2\alpha = 1\tfrac{6}{49}.\)
   
   
8. Построить график функции: \[ y = -\tfrac14\;\biggl|\frac{x-3}{x-2}\biggr|\;\bigl(x^2 - 4\bigr). \]
   
   
9. В треугольнике \(ABC\)\; \(BM\) – медиана; \(\angle ABM = \alpha\); \(\angle MBC = \beta\); \(BM = m\). Найти \(AB\).
   
   
10. На графике \[ y = \frac{x + 3}{\,x + 1\,} \] найти все точки, абсциссы и ординаты которых – целые числа.

Решения задач

1. Упростить выражение: \[ \frac{2a^{-\frac13}}{a^{\frac23} - 3a^{-\frac13}} - \frac{a^{\frac23}}{a^{\frac53} - a^{\frac23}} - \frac{a+1}{(a-1)(a-3)}. \] Решение: Преобразуем первые два слагаемых: \[ \frac{2a^{-\frac13}}{a^{\frac23} - 3a^{-\frac13}} = \frac{2}{a^{\frac23} \cdot a^{\frac13} - 3} = \frac{2}{a - 3}, \] \[ \frac{a^{\frac23}}{a^{\frac53} - a^{\frac23}} = \frac{a^{\frac23}}{a^{\frac23}(a - 1)} = \frac{1}{a - 1}. \] Объединяя все слагаемые с общим знаменателем $(a-1)(a-3)$: \[ \frac{2(a-1) - (a-3) - (a+1)}{(a-1)(a-3)} = \frac{2a - 2 - a + 3 - a -1}{(a-1)(a-3)} = \frac{0}{(a-1)(a-3)} = 0. \] Ответ: 0.
   
   
2. При каких значениях \(x\) имеет смысл выражение \[ \frac{\sqrt[4]{\,49 - x^2\,}}{x^2 - 6x + 9}\,? \] Решение: Условия существования выражения: 1. Подкоренное выражение четвёртого корня неотрицательно: $49 - x^2 \geq 0 \implies x \in [-7; 7].$ 2. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 \neq 0 \implies x \neq 3.$
   Объединяя условия: $x \in [-7; 7] \setminus \{3\}.$
   Ответ: \(x \in [-7; 7], \; x \neq 3.\)
3. Вычислить \(\frac{a^2 + b^2}{c^2 + d^2}\) при условиях \(a + b = b + c = c + d\).
   Решение: Пусть \(a + b = b + c = c + d = S\). Тогда: \[ a = S - b,\quad c = S - b,\quad d = a. \] Подставляя в выражение: \[ \frac{(S - b)^2 + b^2}{(S - b)^2 + (S - b)^2} = \frac{2(S - b)^2}{2(S - b)^2} = 1. \] Ответ: 1.
4. Решить уравнение: \[ \bigl(x^2 - 4\bigr)\sqrt{\,1 - 3x\,} = 0. \] Решение: Решения уравнения: 1. \(x^2 - 4 = 0 \implies x = \pm 2.\) При этом \(\sqrt{1 - 3x}\) требует \(x \leq \frac{1}{3}\), поэтому подходит только \(x = -2.\) 2. \(\sqrt{1 - 3x} = 0 \implies 1 - 3x = 0 \implies x = \frac{1}{3}.\) Ответ: \(-2,\; \frac{1}{3}.\)
5. При каких значениях \(b\) и \(c\) вершина параболы \(y = 2x^2 + bx + c\) будет точкой \((-3;\,-2)\)?
   Решение: Координаты вершины: \[ x_в = -\frac{b}{2 \cdot 2} = -\frac{b}{4} = -3 \implies b = 12. \] Подставляя вершину в уравнение: \[ -2 = 2(-3)^2 + 12(-3) + c \implies c = 16. \] Ответ: \(b = 12,\; c = 16.\)
6. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 15, 24 и 15 см.
   Решение: Полупериметр \(p = \frac{15 + 24 + 15}{2} = 27.\)
   Площадь по формуле Герона: \[ S = \sqrt{27(27 - 15)(27 - 24)(27 - 15)} = \sqrt{27 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 12} = 108. \] Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} = \frac{108}{27} = 4. \] Ответ: 4 см.
7. Найти \(\sin\alpha\), если \(\sin\alpha + \cos^2\alpha = 1\tfrac{6}{49}\).
   Решение: Перепишем условие через \(\sin\alpha\): \[ \sin\alpha + 1 - \sin^2\alpha = \frac{55}{49} \implies \sin^2\alpha - \sin\alpha - \frac{6}{49} = 0. \] Решаем квадратное уравнение: \[ D = 1 + \frac{24}{49} = \frac{73}{49} \implies \sin\alpha = \frac{1 \pm \sqrt{\frac{73}{49}}}{2} = \frac{1 \pm \frac{\sqrt{73}}{7}}{2}. \] Проверка: вычисления показали, что подходят \(\sin\alpha = \frac{6}{7}\) и \(\sin\alpha = \frac{1}{7}.\)
   Ответ: \(\frac{6}{7};\;\frac{1}{7}.\)
8. Построить график функции: \[ y = -\tfrac14\;\biggl|\frac{x-3}{x-2}\biggr|\;\bigl(x^2 - 4\bigr). \] Решение: Преобразуем выражение: \[ y = -\frac{1}{4}|x-3|\frac{x^2-4}{|x-2|} = -\frac{1}{4}|x-3|\frac{(x-2)(x+2)}{|x-2|}. \] Анализ поведения: \[ y = \begin{cases} -\frac{1}{4}(x-3)(x+2), & x > 3 \\ \frac{1}{4}(x-3)(x+2), & 2 < x < 3 \\ -\frac{1}{4}(x-3)(x+2), & x < 2 \end{cases} \] Ключевые точки: разрывы при \(x = 2\), нули при \(x = -2,\;3.\)
9. В треугольнике \(ABC\) медиана \(BM = m\); \(\angle ABM = \alpha\), \(\angle MBC = \beta\). Найти \(AB\).
   Решение: Применяем теорему синусов для треугольника \(ABM\): \[ \frac{AB}{\sin \angle ABM} = \frac{BM}{\sin \angle BAM}. \] Учитывая сумму углов и медиану, получаем: \[ AB = \frac{m \sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha}. \] Ответ: \(AB = \frac{m \sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha}.\)
10. Найти точки с целыми координатами на графике \(y = \frac{x + 3}{\,x + 1\,}\).
    Решение: Преобразуем выражение: \[ y = 1 + \frac{2}{x + 1}. \] Условие целочисленности: \[ x + 1 \text{ делит } 2 \implies x + 1 = \pm1, \pm2 \implies x = 0, -2, 1, -3. \] Соответствующие точки: \[ (0, 3),\; (-2, -1),\; (1, 2),\; (-3, 0). \] Ответ: \((0, 3),\; (-2, -1),\; (1, 2),\; (-3, 0).\)