Аничков лицей из 9 в 10 класс 2000 год вариант 2

1. Сравнить числа \(\sqrt{37}\) и \(11 - \sqrt{30}\). Ответ пояснить.
   
   
2. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} \dfrac{4}{x - y} + \dfrac{12}{x + y} = 3,\\ \dfrac{8}{x - y} = \dfrac{18}{x + y} - 1. \end{cases} \]
   
   
3. Известно, что график квадратичной функции – парабола с вершиной \((-3;-2)\), проходящая через точку \((-1;-4)\). Задать эту функцию формулой.
   
   
4. Упростить выражение \[ b^{-\tfrac32} \;-\;\frac{b^{-1} - 1}{b^{\tfrac12} - b} \] и найти его значение при \(b = 2^{6/7}\).
   
   
5. В ведре было несколько литров воды. Если из него отлить 7 литров воды, то в нём останется \(\tfrac14\) вместимости ведра. Если же добавить \(\tfrac34\) от имеющейся воды, то 1 литр перелётся через край. Сколько воды было в ведре?
   
   
6. Входит ли число \(\ctg\dfrac{8\pi}{7}\) в область определения функции \(y = \cos\sqrt{x}\)?
   
   
7. Решить неравенство \[ |x^2 + 2x| \le -x^2 - 2x. \]
   
   
8. Доказать, что если трапецию можно разбить одной прямой на ромб и равносторонний треугольник, то её средняя линия составляет \(\tfrac34\) большего основания.
   
   
9. Решите уравнение \[ 4x^2 - 9x - 11 = 4\bigl(\sqrt{2} + \sqrt{3}\bigr)^2 \;-\;9\bigl(\sqrt{2} + \sqrt{3}\bigr)\;-\;11. \]
   
   
10. Найти координаты такой точки \(F\) на прямой \(y = 3 - 0{,}5x\), чтобы длина медианы \(KP\) треугольника \(KMF\) (\(M(0;0)\), \(K(2;0)\)) была наименьшей.

Решения задач

1. Сравнить числа \(\sqrt{37}\) и \(11 - \sqrt{30}\). Решение: Оба числа положительны. Возведём их в квадрат: \[ (\sqrt{37})^2 = 37, \quad (11 - \sqrt{30})^2 = 121 - 22\sqrt{30} + 30 = 151 - 22\sqrt{30}. \] Сравним результаты: \[ 37 \quad\text{и}\quad 151 - 22\sqrt{30}. \] Вычисляем приближённое значение \(\sqrt{30} \approx 5.477\). Тогда: \[ 22\sqrt{30} \approx 22 \cdot 5.477 \approx 120.494 \quad \Rightarrow \quad 151 - 120.494 \approx 30.506 11 - \sqrt{30}\]. Ответ: \(\sqrt{37} > 11 - \sqrt{30}\).
2. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} \dfrac{4}{x - y} + \dfrac{12}{x + y} = 3, \\ \dfrac{8}{x - y} = \dfrac{18}{x + y} - 1. \end{cases} \] Решение: Введём замену: \(u = \dfrac{1}{x - y}\), \(v = \dfrac{1}{x + y}\). Система примет вид: \[ \begin{cases} 4u + 12v = 3, \\ 8u = 18v - 1. \end{cases} \] Выразим \(u\) из второго уравнения: \[ 8u = 18v - 1 \quad \Rightarrow \quad u = \dfrac{18v - 1}{8}. \] Подставим в первое уравнение: \[ 4 \cdot \dfrac{18v - 1}{8} + 12v = 3 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{18v - 1}{2} + 12v = 3 \\ \quad \Rightarrow \quad 18v -1 + 24v = 6 \quad \Rightarrow \quad 42v = 7 \quad \Rightarrow \quad v = \dfrac{1}{6}. \] Тогда: \[ u = \dfrac{18 \cdot \dfrac{1}{6} - 1}{8} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}. \] Возвращаемся к исходным переменным: \[ x - y = \dfrac{1}{u} = 4, \quad x + y = \dfrac{1}{v} = 6. \\ \begin{cases} x - y = 4, \\ x + y = 6. \end{cases} \] Сложив уравнения: \(2x = 10 \quad \Rightarrow \quad x = 5\). Тогда \(y = 6 - 5 = 1\). Ответ: \((5; 1)\).
3. Задать квадратичную функцию, график которой — парабола с вершиной \((-3; -2)\), проходящую через точку \((-1; -4)\). Решение: Используем формулу квадратичной функции с вершиной в \((h; k)\): \[ y = a(x + 3)^2 - 2. \] Подставляем координаты точки \((-1; -4)\): \[ -4 = a(-1 + 3)^2 - 2 \quad \Rightarrow \quad -4 = 4a - 2 \quad \Rightarrow \quad a = -\dfrac{1}{2}. \] Уравнение функции: \[ y = -\dfrac{1}{2}(x + 3)^2 - 2. \] Ответ: \(y = -\dfrac{1}{2}x^2 - 3x - \dfrac{13}{2}\).
4. Упростить выражение: \[ b^{-\tfrac{3}{2}} \;-\;\frac{b^{-1} - 1}{b^{\tfrac{1}{2}} - b}. \] Решение: Преобразуем второе слагаемое: \[ \frac{\dfrac{1}{b} - 1}{\sqrt{b} - b} = \frac{\dfrac{1 - b}{b}}{\sqrt{b}(1 - \sqrt{b})} = \frac{-(b - 1)}{b \sqrt{b}(1 - \sqrt{b})} = \frac{1 + \sqrt{b}}{b^{\tfrac{3}{2}}}. \] Исходное выражение: \[ b^{-\tfrac{3}{2}} - \left(-\frac{1 + \sqrt{b}}{b^{\tfrac{3}{2}}}\right) = \frac{1 + \sqrt{b} + 1}{b^{\tfrac{3}{2}}} = \frac{2 + \sqrt{b}}{b^{\tfrac{3}{2}}}. \] При \(b = 2^{\tfrac{6}{7}}\): \[ \sqrt{b} = 2^{\tfrac{3}{7}}, \quad b^{\tfrac{3}{2}} = 2^{\tfrac{9}{7}}. \\ \frac{2 + 2^{\tfrac{3}{7}}}{2^{\tfrac{9}{7}}} = 2^{-\tfrac{9}{7}}(2 + 2^{\tfrac{3}{7}}) = 2^{-\tfrac{6}{7}} + 2^{-\tfrac{2}{7}}. \] Ответ: \(2^{-\tfrac{6}{7}} + 2^{-\tfrac{2}{7}}\).
5. Найти объём воды в ведре. Решение: Пусть объём ведра \(V\), текущий объём воды \(x\). Условия дают: \[ \begin{cases} x - 7 = \dfrac{V}{4}, \\ x + \dfrac{3x}{4} = V + 1. \end{cases} \] Подставляем \(V = 4x - 28\) во второе уравнение: \[ \dfrac{7x}{4} = 4x - 27 \quad \Rightarrow \quad x = 12. \] Ответ: 12 литров.
6. Определить, входит ли \(\ctg\dfrac{8\pi}{7}\) в область определения \(y = \cos\sqrt{x}\). Решение: \(\ctg\dfrac{8\pi}{7}\) — положительное число (так как лежит в третьей четверти). Аргумент функции \(\sqrt{x}\) определён для \(x \geq 0\). Тогда \(\sqrt{\ctg^2\dfrac{8\pi}{7}} = |\ctg\dfrac{8\pi}{7}|\), и функция \(y = \cos|\ctg\dfrac{8\pi}{7}|\) определена. Ответ: Да.
7. Решить неравенство: \[ |x^2 + 2x| \le -x^2 - 2x. \] Решение: Неравенство сводится к: \[ x^2 + 2x \leq -x^2 - 2x \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + 4x \leq 0 \quad \Rightarrow \quad x \in [-2; 0]. \] При \(-2 < x < 0\) исходное неравенство тождественно верно. Граничные точки \(x = -2\) и \(x = 0\) также удовлетворяют. Ответ: \(x \in [-2; 0]\).
8. Доказательство свойства средней линии трапеции. Решение: Пусть трапеция разбита на ромб и равносторонний треугольник. Ромб имеет стороны равные стороне равностороннего треугольника. Пусть большее основание трапеции \(AD\), средняя линия \(MN\). Тогда: \[ MN = \dfrac{AD + BC}{2} = \dfrac{AD + \dfrac{AD}{2}}{2} = \dfrac{3AD}{4}. \]
9. Решить уравнение: \[ 4x^2 - 9x - 11 = 4\bigl(\sqrt{2} + \sqrt{3}\bigr)^2 -9\bigl(\sqrt{2} + \sqrt{3}\bigr) - 11. \] Решение: Левая и правая части совпадают при подстановке \(x = \sqrt{2} + \sqrt{3}\). Также уравнение имеет другой корень из симметрии квадратного уравнения: \[ x = \dfrac{9}{4} - (\sqrt{2} + \sqrt{3}). \] Ответ: \(x = \sqrt{2} + \sqrt{3}\) и \(x = \dfrac{9}{4} - \sqrt{2} - \sqrt{3}\).
10. Найти точку \(F\) на прямой \(y = 3 - 0{,}5x\) для минимальной медианы \(KP\) треугольника \(KMF\). Решение: Координаты точки \(F(x; 3 - 0{,}5x)\). Середина \(MP\): \(\left(\dfrac{x}{2}; \dfrac{3 - 0{,}5x}{2}\right)\). Медиана \(KP\) — расстояние между \(K(2; 0)\) и средней точкой: \[ d^2 = \left(\dfrac{x}{2} - 2\right)^2 + \left(\dfrac{3 - 0{,}5x}{2}\right)^2. \] Минимум достигается при \(x = \dfrac{22}{5}\). Тогда \(y = \dfrac{4}{5}\). Ответ: \(F\left(\dfrac{22}{5}; \dfrac{4}{5}\right)\).