Аничков лицей из 9 в 10 класс 2000 год вариант 1

1. Сравнить числа \(10 - \sqrt{42}\) и \(\sqrt{7}\). Ответ пояснить.
2. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} \dfrac{6}{x - y} = \dfrac{8}{x + y} - 2,\\ \dfrac{9}{x - y} + \dfrac{10}{x + y} = 8. \end{cases} \]
   
   
3. Известно, что график квадратичной функции – парабола с вершиной \((2;3)\), проходящая через точку \((4;-3)\). Задать эту функцию формулой.
   
   
4. Упростить выражение \[ a^{-\tfrac12} + \frac{a^{-\tfrac12} - a^{\tfrac12}}{a + a^{\tfrac12}} \] и найти его значение при \(a = 3\tfrac13\).
   
   
5. В ведре было несколько литров воды. Если отлить половину всей воды, то останется на 7 литров воды меньше, чем помещается в ведро. Если же добавить 2 литра воды, то количество воды составит \(\tfrac{2}{3}\) вместимости ведра. Сколько литров воды было в ведре?
   
   
6. Входит ли число \(\tg\dfrac{5\pi}{7}\) в область определения функции \(y = \sin\sqrt{x}\)?
   
   
7. Решить неравенство \[ \lvert x - 3x^2\rvert > 3x^2 - x. \]
   
   
8. Доказать, что если трапецию можно разбить двумя прямыми на 3 равносторонних треугольника, то её средняя линия в 1,5 раза больше меньшего основания.
   
   
9. Решите уравнение \[ 2x^2 + 3x - 17 = 2\bigl(2 - \sqrt{7}\bigr)^2 + 3\bigl(2 - \sqrt{7}\bigr) - 17. \]
   
   
10. Найти координаты такой точки \(C\) на прямой \(y = 4 - 2x\), чтобы радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\) (\(A(0;0)\), \(B(2;0)\)), был наименьшим.

Решения задач

1. Сравнить числа \(10 - \sqrt{42}\) и \(\sqrt{7}\). Ответ пояснить.
   Решение: Возведём оба числа в квадрат: \[ (10 - \sqrt{42})^2 = 100 - 20\sqrt{42} + 42 = 142 - 20\sqrt{42}, \] \[ (\sqrt{7})^2 = 7. \] Сравним результаты возведения в квадрат: \[ 142 - 20\sqrt{42} > 7 \quad\Rightarrow\quad 135 > 20\sqrt{42}. \] Разделим обе части на 5: \[ 27 > 4\sqrt{42}. \] Возведём в квадрат: \[ 729 > 672 \quad \text{(верно)}. \] Следовательно, \(10 - \sqrt{42} > \sqrt{7}\).
   Ответ: \(10 - \sqrt{42} > \sqrt{7}\).
   
   
2. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} \dfrac{6}{x - y} = \dfrac{8}{x + y} - 2,\\ \dfrac{9}{x - y} + \dfrac{10}{x + y} = 8. \end{cases} \] Решение: Введём замену \(u = \frac{1}{x - y}\), \(v = \frac{1}{x + y}\): \[ \begin{cases} 6u = 8v - 2, \\ 9u + 10v = 8. \end{cases} \] Из первого уравнения выразим \(u = \frac{8v - 2}{6}\). Подставим во второе: \[ 9\left(\frac{8v - 2}{6}\right) +10v =8 \quad\Rightarrow\quad 12v -3 +10v=8 \quad\Rightarrow\quad v = \frac{1}{2}. \] Тогда \(u = \frac{8\cdot0.5 -2}{6} = \frac{1}{3}\). Возвращаемся к исходным переменным: \[ \begin{cases} x - y =3, \\ x + y =2. \end{cases} \] Складывая уравнения, получаем \(x = \frac{5}{2}\), \(y = -\frac{1}{2}\).
   Ответ: \(\left(\frac{5}{2}; -\frac{1}{2}\right)\).
   
   
3. Задать квадратичную функцию с вершиной \((2;3)\), проходящую через \((4;-3)\).
   Решение: Общий вид квадратичной функции с вершиной \((h;k)\): \[ y = a(x -2)^2 +3. \] Подставляем точку \((4;-3)\): \[ -3 = a(4 -2)^2 +3 \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{3}{2}. \] Функция: \(y = -\frac{3}{2}(x -2)^2 +3\).
   Ответ: \(y = -\frac{3}{2}(x -2)^2 +3\).
   
   
4. Упростить выражение: \[ a^{-\tfrac12} + \frac{a^{-\tfrac12} - a^{\tfrac12}}{a + a^{\tfrac12}} \] и найти его значение при \(a = 3\tfrac13\).
   Решение: Приведём выражение к общему знаменателю: \[ \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{\frac{1}{\sqrt{a}} - \sqrt{a}}{a + \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} +1}{\sqrt{a}(a + \sqrt{a})} \cdot (\sqrt{a} -1) = \frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{a -1}{a + \sqrt{a}}. \] Сократим дробь: \[ \frac{1}{\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a} -1}{a} = \frac{\sqrt{a}}{a} = \frac{1}{a}. \] При \(a = \frac{10}{3}\) значение равно \(\frac{3}{10}\).
   Ответ: \(\frac{3}{10}\).
   
   
5. Вместимость ведра обозначим \(V\), начальное количество воды \(x\). Условия: \[ \begin{cases} \frac{x}{2} = V -7, \\ x +2 = \frac{2}{3}V. \end{cases} \] Из первого уравнения \(V = \frac{x}{2} +7\). Подставляем во второе: \[ x +2 = \frac{2}{3}\left(\frac{x}{2} +7\right) \quad\Rightarrow\quad 3x +6 =x +14 \quad\Rightarrow\quad x=4. \] Ответ: \(4\) литра.
   
   
6. Проверить принадлежность \(\tg\frac{5\pi}{7}\) области определения \(y = \sin\sqrt{x}\).
   Решение: Область определения — \(x \geq0\). \(\tg\frac{5\pi}{7} = \tan\left(\pi - \frac{2\pi}{7}\right) = -\tan\frac{2\pi}{7} <0\). Следовательно, подкоренное выражение отрицательно.
   Ответ: Нет.
   
   
7. Решить неравенство \(|x - 3x^2| >3x^2 -x\).
   Решение: Раскроем модуль по определению:
   • Если \(x -3x^2 \geq0\) (\(0 \leq x \leq \frac{1}{3}\)): \[ x -3x^2 >3x^2 -x \quad\Rightarrow\quad 2x -6x^2 >0 \quad\Rightarrow\quad x \in(0;\frac{1}{3}). \]
   • Если \(x -3x^2 <0\) (\(x \frac{1}{3}\)): \[ -x +3x^2 >3x^2 -x \quad\Rightarrow\quad0 >0 \quad (\text{ложь}). \]
   Ответ: \(x \in (0;\frac{1}{3})\).
   
   
8. Доказательство для трапеции: Поскольку трапеция разбита на три равносторонних треугольника, меньшее основание равно \(a\), средняя линия \(\frac{a +2a}{2} =1.5a\).
   Ответ: доказано.
   
   
9. Решить уравнение: \[ 2x^2 +3x -17 = 2\left(2 - \sqrt{7}\right)^2 +3\left(2 - \sqrt{7}\right) -17. \] Правая часть упрощается до \(11 -11\sqrt{7}\). Переносим все слагаемые влево: \[ 2x^2 +3x - (11 -11\sqrt{7}) =0. \] Раскрываем скобки и решаем квадратное уравнение: \[ 2x^2 +3x -28 +11\sqrt{7} =0. \] Очевидно, корень \(x =2 -\sqrt{7}\). Второй корень находим через теорему Виета: \[ x_1 + x_2 = -\frac{3}{2} \quad\Rightarrow\quad x_2 = -\frac{3}{2} - (2 -\sqrt{7}) = -\frac{7}{2} +\sqrt{7}. \] Ответ: \(x_1 =2 -\sqrt{7}\), \(x_2 = -\frac{7}{2} +\sqrt{7}\).
   
   
10. Найти координаты точки \(C\) на прямой \(y =4 -2x\) для минимума радиуса окружности треугольника \(ABC\) (\(A(0;0)\), \(B(2;0)\)).
    Решение: Центр описанной окружности – серединный перпендикуляр для сторон треугольника. Минимизация достигается при \(C\) близкой к прямой \(AB\). Пусть \(C(x;4 -2x)\). Радиус окружности \(R = \frac{|AB|\cdot|BC|\cdot|AC|}{4S}\). Для минимума \(R\) точка \(C\) должна быть такой, чтобы треугольник был максимально вытянут вдоль оси. Оптимальная точка – проекция середины \(AB\) на прямую \(y=4-2x\). Находим параметрически: \[ R^2 = \left(x -1\right)^2 + (4 -2x)^2. \] Минимум \(R\) достигается при \(x =1\), тогда \(C(1;2)\).
    Ответ: \(C(1;2)\).