Аничков лицей из 9 в 10 класс 1999 вариант 2

1. Известно, что \[ \frac{1}{a} - a = 0{,}2. \] Найти \(\displaystyle \frac{1}{a^2} + a^2.\)
   
   
2. Определить количество корней уравнения \[ \frac{3}{x} - x^2 + 4x = 0. \]
   
   
3. Упростить выражение \[ \frac{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} - 3} {3\sqrt{x - 1} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + x}}}. \]
   
   
4. При каких значениях \(a\) уравнение \[ a x^2 + x + 2 = 0 \] будет иметь ровно два корня?
   
   
5. Является ли число 6 решением неравенства \[ \sqrt[3]{x^2 + 3}\;-\;\sqrt{x + 7}\;>\;0\;? \]
   
   
6. Найти наибольшее значение функции \[ y = -x^4 - 5x^2 + 1. \]
   
   
7. Около квадрата описана окружность. Доказать, что сумма квадратов расстояний от точки окружности до вершин квадрата не зависит от выбора точки окружности.
   
   
8. При каких значениях \(x\) выражение \[ \sqrt{\lvert x\rvert - 3}\;\cdot\;\lvert 2 - x\rvert \] имеет смысл?
   
   
9. Известно, что \[ \frac{\sin\alpha - 3\cos\alpha}{2\sin\alpha + 3\cos\alpha} = \frac{1}{3}. \] Найти \(\cos2\alpha\).
   
   
10. На стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) взята точка \(D\), причём известно, что \(BD = a\); \(BC = b\); \(\angle ABD = \alpha\); \(\angle DBC = \beta\). Найдите \(AB\).

Решения задач

1. Известно, что \( \frac{1}{a} - a = 0,2 \). Найти \( \frac{1}{a^2} + a^2 \).
   Решение: Возведём обе части уравнения в квадрат:
   \(\left(\frac{1}{a} - a\right)^2 = (0,2)^2\)
   \(\frac{1}{a^2} - 2 + a^2 = 0,04\)
   \(\frac{1}{a^2} + a^2 = 0,04 + 2 = 2,04\)
   Ответ: \(2,04\).
   
   
2. Определить количество корней уравнения \( \frac{3}{x} - x^2 + 4x = 0 \).
   Решение: Умножим обе части на \(x \neq 0\):
   \(3 - x^3 + 4x^2 = 0 \Rightarrow x^3 - 4x^2 - 3 = 0\)
   Рассмотрим функцию \(f(x) = x^3 - 4x^2 - 3\):
   \(f'(x) = 3x^2 - 8x\). Корни производной: \(x = 0\) (минимум) и \(x = \frac{8}{3}\) (максимум).
   \(f(0) = -3\), \(f\left(\frac{8}{3}\right) = -\frac{287}{27} < 0\). Т.к. \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\), а при \(x = 3\) \(f(3) = 6\), уравнение имеет один действительный корень.
   Ответ: 1 корень.
   
   
3. Упростить выражение \(\frac{\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} - 3}{3\sqrt{x - 1} - \frac{1}{\sqrt{1 + x}}}\).
   Решение: Учтем, что \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). Домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{(x - 1)(x + 1)}\):
   \(\frac{1 - 3\sqrt{(x - 1)(x + 1)}}{3(x - 1) - (x + 1)} = \frac{1 - 3\sqrt{x^2 - 1}}{3x - 3 - x - 1} = \frac{1 - 3\sqrt{x^2 - 1}}{2x - 4}\)
   Ответ: \(\frac{1 - 3\sqrt{x^2 - 1}}{2(x - 2)}\).
   
   
4. При каких значениях \(a\) уравнение \(a x^2 + x + 2 = 0\) будет иметь ровно два корня?
   Решение: Дискриминант квадратного уравнения должен быть положителен:
   \(D = 1^2 - 4 \cdot a \cdot 2 = 1 - 8a > 0 \Rightarrow a < \frac{1}{8}\)
   При \(a = 0\) уравнение становится линейным, поэтому:
   Ответ: \(a \in (-\infty; 0) \cup (0; \frac{1}{8})\).
   
   
5. Является ли число 6 решением неравенства \(\sqrt[3]{x^2 + 3} - \sqrt{x + 7} > 0\)?
   Решение: Подставим \(x = 6\):
   \(\sqrt[3]{6^2 + 3} - \sqrt{6 + 7} = \sqrt[3]{39} - \sqrt{13} \approx 3,4 - 3,6 = -0,2 < 0\)
   Ответ: Нет.
   
   
6. Найти наибольшее значение функции \(y = -x^4 - 5x^2 + 1\).
   Решение: Производная функции: \(y' = -4x^3 - 10x\). Критические точки: \(x = 0\).
   \(y(0) = 1\). При \(x \to \pm\infty\) \(y \to -\infty\).
   Ответ: 1.
   
   
7. Около квадрата описана окружность. Доказать, что сумма квадратов расстояний от точки окружности до вершин квадрата не зависит от выбора точки.
   Решение: Пусть квадрат со стороной \(s\), радиус окружности \(R = \frac{\sqrt{2}}{2}s\). Разложим координаты произвольной точки окружности как \((R\cos\theta, R\sin\theta)\). Сумма квадратов расстояний до вершин:
   \(\sum\limits_{i=1}^4 \left(R\cos\theta - \frac{\pm s}{2}\right)^2 + \left(R\sin\theta - \frac{\pm s}{2}\right)^2 = 8R^2 = const\)
   Ответ: Сумма постоянна и равна \(8R^2\).
   
   
8. Найти область определения выражения \(\sqrt{|x| - 3} \cdot |2 - x|\).
   Решение: Подкоренное выражение неотрицательно:
   \(|x| \ge 3 \Rightarrow x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)\)
   Ответ: \(x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)\).
   
   
9. Дано \(\frac{\sin\alpha - 3\cos\alpha}{2\sin\alpha + 3\cos\alpha} = \frac{1}{3}\). Найти \(\cos2\alpha\).
   Решение: Перекрестное умножение:
   \(3(\sin\alpha - 3\cos\alpha) = 2\sin\alpha + 3\cos\alpha \Rightarrow \sin\alpha = 12\cos\alpha \Rightarrow \tan\alpha = 12\)
   \(\cos2\alpha = \frac{1 - \tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha} = \frac{1 - 144}{1 + 144} = -\frac{143}{145}\)
   Ответ: \(-\frac{143}{145}\).
   
   
10. В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) на стороне \(AC\), \(BD = a\), \(BC = b\), \(\angle ABD = \alpha\), \(\angle DBC = \beta\). Найти \(AB\).
    Решение: Применим теорему синусов к треугольникам \(ABD\) и \(CBD\):
    \(\frac{AB}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))} = \frac{BD}{\sin\alpha} \Rightarrow AB = \frac{a \sin\beta}{\sin\alpha}\)
    Ответ: \(\frac{a \sin\beta}{\sin\alpha}\).