Аничков лицей из 9 в 10 класс 1999 год вариант 1
Печать
youit.school ©
Вступительная работа в Аничков лицей
по математике. 1999 год. 10 класс. 1 вариант- Известно, что
\[
x + \frac{1}{x} = 2{,}5.
\]
Найти
\[
x^2 + \frac{1}{x^2}.
\]
- Определить количество корней уравнения
\[
x^2 - 2x - \frac{1}{x} = 0.
\]
- Упростить выражение
\[
\frac{\sqrt{2 - a} \;-\;\frac{5}{\sqrt{a+2}}}
{\frac{5}{\sqrt{4 - a^2}} - 1}.
\]
- При каких значениях \(a\) уравнение
\[
a x^2 + x - 3 = 0
\]
будет иметь ровно два корня?
- Является ли число 6 решением неравенства
\[
\sqrt[3]{x^2 - 3}\;-\;\sqrt{x + 5} \;>\; 0?
\]
- Найти наименьшее значение функции
\[
y = x^4 + 3x^2 - 1.
\]
- В квадрат вписана окружность. Доказать, что сумма квадратов расстояний
от точки окружности до вершин квадрата не зависит от выбора точки окружности.
- При каких значениях \(x\) выражение
\[
\sqrt{\lvert x - 5\rvert}\;\cdot\;(4 - \lvert x\rvert)
\]
имеет смысл?
- Известно, что
\[
\frac{\sin\alpha + 2\cos\alpha}{3\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac14.
\]
Найти \(\cos2\alpha\).
- На стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) взята точка \(D\). Известно, что \(AB = a\); \(BC = b\); \(\angle ABC = \alpha\), \(\angle ABD = \beta\). Найдите \(BD\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Известно, что
\[
x + \frac{1}{x} = 2{,}5.
\]
Найти
\[
x^2 + \frac{1}{x^2}.
\]
Решение: Возведём обе части уравнения в квадрат: \[ \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 2{,}5^2 = 6{,}25. \] Выразим искомое выражение: \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = 6{,}25 - 2 = 4{,}25. \] Ответ: $4{,}25.$ - Определить количество корней уравнения
\[
x^2 - 2x - \frac{1}{x} = 0.
\]
Решение: При \( x \neq 0 \) умножим обе части уравнения на \( x \): \[ x^3 - 2x^2 - 1 = 0. \] Рассмотрим функцию \( f(x) = x^3 - 2x^2 - 1 \). Найдем её производную: \[ f'(x) = 3x^2 - 4x. \] Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = \frac{4}{3} \).
Проанализируем знаки функции:- При \( x \to -\infty \): \( f(x) \to -\infty \)
- При \( x \to +\infty \): \( f(x) \to +\infty \)
- В точке \( x = \frac{4}{3} \): локальный минимум \( f\left(\frac{4}{3}\right) \approx -1{,}37 \)
Ответ: 1. - Упростить выражение
\[
\frac{\sqrt{2 - a} - \frac{5}{\sqrt{a+2}}}{\frac{5}{\sqrt{4 - a^2}} - 1}.
\]
Решение: Заметим, что \( 4 - a^2 = (2 - a)(2 + a) \). Упростим знаменатель: \[ \frac{5}{\sqrt{(2 - a)(2 + a)}} - 1 = \frac{5}{\sqrt{2 - a} \cdot \sqrt{2 + a}} - 1 = \frac{5}{\sqrt{2 - a} \cdot \sqrt{2 + a}} - \frac{\sqrt{2 - a} \cdot \sqrt{2 + a}}{\sqrt{2 - a} \cdot \sqrt{2 + a}} = \frac{5 - (2 - a)}{\sqrt{2 - a} \cdot \sqrt{2 + a}}. \] Числитель преобразуем аналогично: \[ \sqrt{2 - a} - \frac{5}{\sqrt{2 + a}} = \frac{(2 - a) - 5}{\sqrt{2 - a}} = \frac{- (a + 3)}{\sqrt{2 - a}}. \] Разделив числитель на знаменатель, получаем: \[ \frac{- (a + 3)}{\sqrt{2 - a}} \cdot \frac{\sqrt{2 - a} \cdot \sqrt{2 + a}}{5 - (2 - a)} = -\sqrt{2 + a}. \] Ответ: \( -\sqrt{a+2} \). - При каких значениях \(a\) уравнение
\[
a x^2 + x - 3 = 0
\]
будет иметь ровно два корня?
Решение: Для квадратного уравнения необходимо: \[ D = 1^2 + 12a > 0 \implies 1 + 12a > 0 \implies a > -\frac{1}{12}. \] Также \( a \neq 0 \), чтобы уравнение оставалось квадратным.
Ответ: \( a > -\frac{1}{12} \), \( a \neq 0 \). - Является ли число 6 решением неравенства
\[
\sqrt[3]{x^2 - 3} - \sqrt{x + 5} > 0?
\]
Решение: Подставим \( x = 6 \): \[ \sqrt[3]{36 - 3} - \sqrt{11} = \sqrt[3]{33} - \sqrt{11} \approx 3{,}2 - 3{,}3 = -0{,}1 < 0. \] Ответ: Нет. - Найти наименьшее значение функции
\[
y = x^4 + 3x^2 - 1.
\]
Решение: Найдём производную: \[ y' = 4x^3 + 6x. \] Критические точки: \[ 4x^3 + 6x = 0 \implies x(4x^2 + 6) = 0 \implies x = 0. \] Подставляя \( x = 0 \): \[ y(0) = 0 + 0 - 1 = -1. \] Ответ: \(-1\). - В квадрат вписана окружность. Доказать, что сумма квадратов расстояний от точки окружности до вершин квадрата не зависит от выбора точки окружности.
Решение: Поместим квадрат в систему координат с центром в начале координат и стороной \( 2a \). Координаты вершин: \( (\pm a, \pm a) \). Точка окружности: \( (a\cosθ, a\sinθ) \). Сумма квадратов расстояний: \[ \sum [(a\cosθ \pm a)^2 + (a\sinθ \pm a)^2] = 4(2a^2(\cos^2θ + \sin^2θ) + 2a^2) = 8a^2. \] Ответ: Сумма квадратов расстояний постоянно равна \(8a^2\). - При каких значениях \(x\) выражение
\[
\sqrt{|x - 5|} \cdot (4 - |x|)
\]
имеет смысл?
Решение: Выражение определено при всех действительных \(x\), кроме решения уравнения \(4 - |x| = 0 \implies x = \pm 4\). Однако проверка условий:- \( |x - 5| \geq 0 \) — выполняется всегда.
- Знаменатели отсутствуют.
- Известно, что
\[
\frac{\sinα + 2\cosα}{3\sinα - \cosα} = \frac14.
\]
Найти \( \cos2α \).
Решение: Перепишем уравнение: \[ 4(\sinα + 2\cosα) = 3\sinα - \cosα \implies \sinα + 9\cosα = 0 \implies \tanα = -9. \] Используем формулу: \[ \cos2α = \frac{1 - \tan^2α}{1 + \tan^2α} = \frac{1 - 81}{1 + 81} = -\frac{80}{82} = -\frac{40}{41}. \] Ответ: \(-\frac{40}{41}\). - На стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) взята точка \(D\). Известно, что \(AB = a\), \(BC = b\), \(∠ABC = α\), \(∠ABD = β\). Найдите \(BD\).
Решение: Применим теорему синусов к треугольникам \(ABD\) и \(CBD\): \[ \frac{BD}{\sin(\alpha - β)} = \frac{a}{\sinγ}, \quad \frac{BD}{\sinβ} = \frac{b}{\sinγ}. \] Разделив уравнения, найдём: \[ BD = \frac{a \cdot b \cdot \sinβ}{a \sinβ \cosβ + b \sin^2β}. \] Ответ: \( \frac{a \cdot b \cdot \sinβ}{a \sinβ \cosβ + b \sin^2β} \).
Материалы школы Юайти