Аничков лицей из 9 в 10 класс 1998 год вариант 2
Печать
youit.school ©
Вступительная работа в Аничков лицей
по математике. 1998 год. 10 класс. 2 вариант- Доказать, что если \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), то
\[
\frac{b}{a+b} = \frac{d}{c+d}.
\]
- Упростить выражение:
\[
\frac{\sqrt{a^2 b} + \sqrt{-a b^2}}{\sqrt{b}} \;+\; a.
\]
- Решить систему неравенств:
\[
\begin{cases}
|x - 5| \le 2,\\
x^2 + 8x + 15 \ge 0.
\end{cases}
\]
- В треугольнике \(ABC\) \(AB = 4\), \(AC = 6\), \(\angle A = 60^\circ\).
Найти медиану \(AM\).
- На координатной плоскости отметить все числа, координаты которых \((x,y)\)
удовлетворяют данному соотношению:
\[
x y - 2 = 2x - y.
\]
- Смешали 10% и 25% растворы и получили 3 кг 20% раствора.
Какое количество каждого раствора было?
- Найдите все значения, которые может принимать выражение:
\[
\sin\alpha - \sqrt{3}\,\cos\alpha.
\]
- В треугольнике \(ABC\) \(AB = 4\sqrt{3}\), \(BC = 3\), площадь \(\triangle ABC = 3\sqrt{3}\).
Найти радиус описанной окружности, если \(\angle B > 90^\circ\).
- При каком \(m\) сумма квадратов корней уравнения
\[
x^2 + (2 - m)x - m - 3 = 0
\]
будет наименьшей?
- Доказать, что уравнение \[ 3x^2 - 4y^2 = 13 \] не имеет решения в целых числах.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Доказать, что если \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), то \(\frac{b}{a+b} = \frac{d}{c+d}\).
Решение: Из условия пропорции \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) следует \(ad = bc\). Преобразуем левую часть доказываемого равенства: \[ \frac{b}{a+b} = \frac{d}{c+d} \] Перекрестное умножение: \[ b(c+d) = d(a+b) \implies bc + bd = da + bd \implies bc = da. \] По условию \(ad = bc\), следовательно равенство верно.
Ответ: Доказано.
- Упростить выражение:
\[
\frac{\sqrt{a^2 b} + \sqrt{-a b^2}}{\sqrt{b}} \;+\; a.
\]
Решение:
1. Упростим отдельные слагаемые: \[ \sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}, \quad \sqrt{-ab^2} = \sqrt{-a} \cdot |b|. \] Учитывая область определения, подкоренное выражение \(-ab^2 \geq 0 \implies a \leq 0\).
2. Разделим на \(\sqrt{b}\): \[ \frac{|a|\sqrt{b} + \sqrt{-a}|b|}{\sqrt{b}} = |a| + \frac{\sqrt{-a}|b|}{\sqrt{b}} = |a| + |b|\sqrt{-a} \cdot \frac{1}{\sqrt{b}} = |a| + \sqrt{-a b}. \] 3. Добавим \(a\). При \(a < 0\): \(|a| = -a\): \[ -a + \sqrt{-ab} + a = \sqrt{-ab}. \] Ответ: \(\sqrt{-ab}\).
- Решить систему неравенств:
\[
\begin{cases}
|x - 5| \le 2,\\
x^2 + 8x + 15 \ge 0.
\end{cases}
\]
Решение:
1. Решим первое неравенство: \[ |x - 5| \leq 2 \quad \implies \quad -2 \leq x - 5 \leq 2 \quad \implies \quad 3 \leq x \leq 7. \] 2. Решим второе неравенство: \[ x^2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) \geq 0 \quad \implies \quad x \in (-\infty; -5] \cup [-3; +\infty). \] 3. Пересечение решений: \[ [3; 7] \cap ((-\infty; -5] \cup [-3; +\infty)) = [3; 7]. \] Ответ: \(x \in [3;7]\).
- В треугольнике \(ABC\) \(AB = 4\), \(AC = 6\), \(\angle A = 60^\circ\). Найти медиану \(AM\).
Решение:
Формула медианы из угла \(A\): \[ AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}. \] Найдем \(BC\) по теореме косинусов: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ} = \sqrt{16 + 36 - 24} = \sqrt{28}. \] Подставим в формулу медианы: \[ AM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 16 + 2 \cdot 36 - 28} = \frac{1}{2} \sqrt{64} = \frac{8}{2} = 4. \] Ответ: 4.
- На координатной плоскости отметить все числа, координаты которых \((x,y)\) удовлетворяют данному соотношению:
\[
x y - 2 = 2x - y.
\]
Решение:
Преобразуем уравнение: \[ xy - 2x + y - 2 = 0 \implies x(y - 2) + (y - 2) = 0 \implies (x + 1)(y - 2) = 0. \] Следовательно: \[ x = -1 \quad \text{или} \quad y = 2. \] Ответ: Прямые \(x = -1\) и \(y = 2\).
- Смешали 10% и 25% растворы и получили 3 кг 20% раствора. Какое количество каждого раствора было?
Решение: Пусть \(x\) кг — масса 10% раствора, тогда \(3 - x\) кг — 25% раствора. Уравнение: \[ 0.1x + 0.25(3 - x) = 0.2 \cdot 3 \implies 0.1x + 0.75 - 0.25x = 0.6 \implies -0.15x = -0.15 \implies x = 1. \] Ответ: 1 кг 10% раствора и 2 кг 25% раствора.
- Найдите все значения, которые может принимать выражение:
\[
\sin\alpha - \sqrt{3}\,\cos\alpha.
\]
Решение: Представим выражение в виде \(A \sin(\alpha + \phi)\), где: \[ A = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2, \quad \phi = \arctan(-\sqrt{3}) = -60^\circ. \] Тогда: \[ \sin\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha = 2\sin(\alpha - 60^\circ). \] Диапазон значений: \([-2; 2]\). Ответ: \([-2; 2]\).
- В треугольнике \(ABC\) \(AB = 4\sqrt{3}\), \(BC = 3\), площадь \(\triangle ABC = 3\sqrt{3}\), \(\angle B > 90^\circ\). Найти радиус описанной окружности.
Решение: Используем формулу площади через синус угла: \[ S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin B \implies 3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \sin B \implies \sin B = \frac{1}{2}. \] Учитывая \(\angle B > 90^\circ\), \(\angle B = 150^\circ\). По теореме косинусов: \[ AC = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \cos 150^\circ} = \sqrt{51}. \] Радиус описанной окружности: \[ R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{51}}{4 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{51}}{1} = \sqrt{51}. \] Ответ: \(\sqrt{51}\).
- При каком \(m\) сумма квадратов корней уравнения
\[
x^2 + (2 - m)x - m - 3 = 0
\]
будет наименьшей?
Решение: Сумма квадратов корней: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (m - 2)^2 - 2(-m -3) = m^2 - 2m + 10. \] Минимум достигается при \(m = \frac{-b}{2a} = \frac{2}{2} = 1\). Ответ: 1.
- Доказать, что уравнение
\[
3x^2 - 4y^2 = 13
\]
не имеет решения в целых числах.
Решение: Рассмотрим уравнение по модулю 4: \[ 3x^2 - 4y^2 \equiv 13 \mod 4 \implies 3x^2 \equiv 1 \mod 4 \implies 3x^2 \equiv 1 \mod 4. \] Квадраты целых чисел по модулю 4: \(0, 1\). Следовательно: \[ 3 \cdot 1 \equiv 3 \mod 4 \neq 1 \mod 4. \] Противоречие. Целых решений нет. Ответ: Доказано.
Материалы школы Юайти