Аничков лицей из 9 в 10 класс 1998 год вариант 1
Печать
youit.school ©
Вступительная работа в Аничков лицей
по математике. 1998 год. 10 класс. 1 вариант- Доказать, что если \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), то
\[
\frac{a}{a+b} \;=\;\frac{c}{c+d}.
\]
- Упростить выражение:
\[
\frac{\sqrt{-b a^2} - \sqrt{a b^2}}{\sqrt{a}} \;-\; b.
\]
- Решить систему неравенств:
\[
\begin{cases}
|x+2| \le 3,\\
x^2 + 2x - 3 \ge 0.
\end{cases}
\]
- В треугольнике \(KNP\) \(KN = 8\sqrt2\), \(KP = 18\), \(\angle K = 45^\circ\).
Найти медиану \(KM\).
- На координатной плоскости отметить все числа, координаты которых \((x,y)\)
удовлетворяют соотношению
\[
3 - xy = 3y - x.
\]
- Смешали 15% и 30% растворы и получили $4{,}8$ кг 25% раствора.
Какое количество каждого раствора было?
- Найдите все значения, которые может принимать выражение
\(\sqrt{3}\,\sin\alpha - \cos\alpha\).
- В треугольнике \(ABC\) \(AB = 4\), \(BC = 5\), площадь \(\triangle ABC = 5\sqrt3\).
Найти высоту, опущенную из точки \(B\), если \(\angle B > 90^\circ\).
- При каком \(m\) сумма квадратов корней уравнения
\[
x^2 + (m-1)x + m^2 - 1{,}5 = 0
\]
будет наибольшей?
- Доказать, что уравнение \[ x^2 - 3y = 17 \] не имеет решений в целых числах.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Доказать, что если \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), то \(\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}\).
Решение: Пусть \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\), тогда \(a = kb\) и \(c = kd\). Подставим в левую часть равенства:
\(\frac{kb}{kb + b} = \frac{k}{k + 1}\). Подставим в правую часть равенства:
\(\frac{kd}{kd + d} = \frac{k}{k + 1}\). Получаем равенство обеих частей.
Ответ: Доказано.
- Упростить выражение:
\[
\frac{\sqrt{-b a^2} - \sqrt{a b^2}}{\sqrt{a}} \;-\; b.
\]
Решение: Учитывая область определения (\(-b a^2 \geq 0 \Rightarrow b \leq 0\)): $$\begin{aligned} &\frac{a\sqrt{-b} - |b|\sqrt{a}}{\sqrt{a}} - b = \frac{a\sqrt{-b} - (-b)\sqrt{a}}{\sqrt{a}} - b = \frac{a\sqrt{-b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{a}} - b \\ &= \frac{a\sqrt{-b}}{\sqrt{a}} + b - b = \sqrt{a}\sqrt{-b} = \sqrt{-ab} \quad (\text{при } a > 0, \ b \leq 0). \end{aligned}$$ $\newline$ Ответ: \(\sqrt{-ab}\). - Решить систему неравенств: \[ \begin{cases} |x+2| \le 3,\\ x^2 + 2x - 3 \ge 0. \end{cases} \] $\newline$ Решение: \[ |x + 2| \leq 3 \Rightarrow -5 \leq x \leq 1. \] Решим второе неравенство: \[ x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) \geq 0 \Rightarrow x \leq -3 \text{ или } x \geq 1. \] Пересечение решений: \(x \in [-5; -3] \cup \{1\}\). $\newline$ Ответ: \([-5; -3] \cup \{1\}\).
- В треугольнике \(KNP\) \(KN = 8\sqrt{2}\), \(KP = 18\), \(\angle K = 45^\circ\). Найти медиану \(KM\). $\newline$ Решение: По теореме косинусов найдем сторону \(NP\): \[ NP^2 = KN^2 + KP^2 - 2 \cdot KN \cdot KP \cdot \cos45^\circ = 128 + 324 - 2 \cdot 8\sqrt{2} \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 164. \] \[ NP = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}. \] Медиана \(KM = \frac{1}{2}\sqrt{2KN^2 + 2KP^2 - NP^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 128 + 2 \cdot 324 - 164} = \sqrt{185}\). $\newline$ Ответ: \(\sqrt{185}\).
- На координатной плоскости отметить все числа, координаты которых \((x,y)\) удовлетворяют соотношению \(3 - xy = 3y - x\). $\newline$ Решение: Преобразуем уравнение: \[ 3 + x - xy - 3y = 0 \Rightarrow (x + 3)(1 - y) = 0 \Rightarrow x = -3 \text{ или } y = 1. \] Ответ: две прямые \(x = -3\) и \(y = 1\).
- Смешали 15% и 30% растворы и получили $4{,}8$ кг 25% раствора. Какое количество каждого раствора было? $\newline$ Решение: Пусть \(x\) кг — масса 15% раствора, \(y\) кг — 30% раствора. Система: $$\begin{aligned} x + y &= 4{,}8, \\ 0{,}15x + 0{,}3y &= 1{,}2. \end{aligned}$$ Решение: \(y = 4{,}8 - x\), подставляем во второе уравнение: \[ 0{,}15x + 0{,}3(4{,}8 - x) = 1{,}2 \Rightarrow x = 1{,}6\,\text{кг},\ y = 3{,}2\,\text{кг}. \] Ответ: $1{,}6$ кг и $3{,}2$ кг.
- Найдите все значения, которые может принимать выражение \(\sqrt{3}\,\sin\alpha - \cos\alpha\). $\newline$ Решение: Преобразуем выражение: \[ \sqrt{3}\sin\alpha - \cos\alpha = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \frac{1}{2}\cos\alpha\right) = 2\sin\left(\alpha - 30^\circ\right). \] Ответ: \([-2, 2]\).
- В треугольнике \(ABC\) \(AB = 4\), \(BC = 5\), площадь \(\triangle ABC = 5\sqrt{3}\). Найти высоту, опущенную из точки \(B\), если \(\angle B > 90^\circ\). $\newline$ Решение: По формуле площади \(S = \frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin B\): \[ 5\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin B \Rightarrow \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \angle B = 120^\circ. \] Найдем сторону \(AC\) по теореме косинусов: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos120^\circ = 16 + 25 + 20 = 61 \Rightarrow AC = \sqrt{61}. \] Высота \(h = \frac{2S}{AC} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{61}} = \frac{10\sqrt{183}}{61}\). $\newline$ Ответ: \(\frac{10\sqrt{183}}{61}\).
- При каком \(m\) сумма квадратов корней уравнения \(x^2 + (m-1)x + m^2 - 1{,}5 = 0\) будет наибольшей? $\newline$ Решение: Сумма квадратов корней: \[ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (1 - m)^2 - 2(m^2 - 1{,}5) = -m^2 - 2m + 4. \] Максимум квадратичной функции достигается при \(m = -\frac{B}{2A} = -1\). $\newline$ Ответ: \(-1\).
- Доказать, что уравнение \(x^2 - 3y = 17\) не имеет решений в целых числах. $\newline$ Решение: Перепишем уравнение: \[ x^2 = 3y + 17 \Rightarrow x^2 \equiv 2 \pmod{3}. \] Проверим возможные остатки квадратов целых чисел по модулю 3: \[ 0^2 \equiv 0,\quad 1^2 \equiv 1,\quad 2^2 \equiv 1 \pmod{3}. \] Не существует целых чисел \(x\), для которых \(x^2 \equiv 2 \pmod{3}\). $\newline$ Ответ: Доказано.
Материалы школы Юайти