Аничков лицей из 9 в 10 класс 1997 год вариант 2

1. Упростить выражение: \[ \frac{(a^2 - b^2)\bigl(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\bigr)} {\sqrt[3]{a^4} + \sqrt[3]{a^3 b} - \sqrt[3]{b^4} - \sqrt[3]{a b^3}}. \]
   
   
2. Построить график функции \[ y = \frac{x^2 - \lvert x\rvert - 2}{\lvert x\rvert - 2}. \]
   
   
3. Решить уравнение: \[ \sqrt{x} - 3 = x - 5. \]
   
   
4. Найти сумму всех рациональных членов последовательности \[ b_n = 2^{\,n/3} + 5^{\,n/2} \] с номерами меньшими 37.
   
   
5. Построить график функции \[ y = \cot\!\frac{x}{2} \;-\; \frac{\sin x}{1 - \cos x}. \]
   
   
6. Средняя линия трапеции, диагонали которой перпендикулярны, равна 6,5. Найти площадь трапеции, если длина одной из диагоналей равна 5.

Решения задач

1. Упростить выражение: \[ \frac{(a^2 - b^2)\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)}{\sqrt[3]{a^4} + \sqrt[3]{a^3 b} - \sqrt[3]{b^4} - \sqrt[3]{a b^3}} \]
   Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: $(a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)$ Умножение на $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})$ даёт: $(a - b)(a + b)\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)$ Знаменатель сгруппируем попарно: $\sqrt[3]{a^4} - \sqrt[3]{b^4} + \sqrt[3]{a^3 b} - \sqrt[3]{a b^3} =$ $\sqrt[3]{a}(a - b) + \sqrt[3]{b}(a - b) = (a - b)\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)$ Таким образом, выражение сокращается до: $\frac{(a + b)(a - b)\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)}{(a - b)\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)} = a + b$ Ответ: $a + b$.
2. Построить график функции: \[ y = \frac{x^2 - |x| - 2}{|x| - 2} \]
   Решение: Рассмотрим два случая: $x \geq 0$ и $x < 0$. При $x \neq \pm 2$: Для $x \geq 0$: $|x| = x$, $y = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2} = x + 1$ при $x \neq 2$ Для $x < 0$: $|x| = -x$, $y = \frac{x^2 - (-x) - 2}{-x - 2} = \frac{x^2 + x - 2}{-(x + 2)} = \frac{(x + 2)(x - 1)}{-(x + 2)} = 1 - x$ при $x \neq -2$ Таким образом, график состоит из двух лучей:
   • $y = x + 1$ при $x > 2$ и $0 \leq x < 2$
   • $y = 1 - x$ при $-2 < x < 0$ и $x < -2$
   Точек при $x = –2$ и $x = 2$ $\underline{нет}$ из-за разрывов
   Ответ: график состоит из четырех линейных фрагментов с выколотыми точками при $x = \pm 2$.
3. Решить уравнение: \[ \sqrt{x} - 3 = x - 5 \]
   Решение: Перенесём корень в правую часть: $\sqrt{x} = x - 2$ Возведём обе части в квадрат: $x = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ Получим квадратное уравнение: $x^2 - 5x + 4 = 0$ Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$ Проверка подстановкой: При $x = 1$: $\sqrt{1} - 3 = -2$, $1 - 5 = -4$ — неверно. При $x = 4$: $\sqrt{4} - 3 = -1$, $4 - 5 = -1$ — верно. Ответ: 4.
4. Найти сумму всех рациональных членов последовательности: \[ b_n = 2^{n/3} + 5^{n/2} \] с номерами меньшими 37.
   Решение: Рациональные члены возможны, когда показатели целые: Для $2^{n/3}$ условие: $\frac{n}{3}$ целое $\Rightarrow n$ кратно 3
   Для $5^{n/2}$ условие: $\frac{n}{2}$ целое $\Rightarrow n$ кратно 2 Общие совпадения: кратные НОК(2,3)=6. Номера n=0,6,12,...,36
   Суммируем для n от 0 до 36 с шагом 6: Сумма геометрических прогрессий: Кол-во слагаемых: $\frac{36}{6} + 1 = 7$
   Для $2^{k}$ где $k = \frac{n}{3} = 0, 2, 4,...,12$: сумма $\frac{2^{14}-1}{2^2 - 1} = 5461/3$
   Для $5^{m}$ где $m = \frac{n}{2} = 0,3,6,...,18$: сумма $\frac{5^{21}-1}{5^3 - 1} = (5^{21}-1)/124$
   Комбинируем ($2^{n/3} + 5^{n/2}$) для n кратных 6: Сумма: $\sum\limits_{k=0}^{6} (2^{2k} + 5^{3k}) = \frac{4^{7} - 1}{4 - 1} + \frac{125^{7} - 1}{125 - 1}$
   Вычисление конкретных чисел: В условии требуется суммировать рациональные члены до $n=36$ (7 элементов): $n=18 → b_{18} = 2^{6} + 5^{9}$ однако $5^9$ иррационально. Ошибка! На самом деле: для последовательности $b_n$ — каждое слагаемое должно быть рациональным: значит одновременно $2^{n/3}=2^{k}$ и $5^{n/2}=5^{m}$ где $k$, $m ∈ ℕ$. Поэтому условия: $n$ делится на 3 и 2 → сумма только при $n$ кратных 6: Тогда правильная сумма: $\sum\limits_{k=0}^{6} (2^{2k} + 5^{3k}) = \sum\limits_{k=0}^{6} 4^{k} + \sum\limits_{k=0}^{6} 125^{k}$
   Пересчитаем: Сумма для $4^{k}$ геометрическая с $q=4$ и 7 элементов: $S_1 = \frac{4^7 - 1}{4 - 1} = \frac{16384 - 1}{3} = 5461$ Сумма для $125^{k}$: $S_2 = \frac{125^7 - 1}{125 - 1} = \frac{125^7 - 1}{124}$ Ответ: $5461 + \frac{125^7 - 1}{124}$ (Возможна дальнейшая конкретизация). Уточнение задачи: рационально выражение целиком только при обоих рациональных слагаемых. Поэтому сумма: $\sum_{n=0,6,...,36} \left(2^{\frac{n}{3}} + 5^{\frac{n}{2}} \right) = \sum_{n=0}^{6} \left(4^k + 5^{1.5k}\right)$ ?, вероятнее ошибка в подходе. Видимо, сумма только тех членов, где оба слагаемых рациональны и сумма является рациональной. Таким образом: искомые n должны быть кратны 6. Тогда каждое слагаемое в сумме рационально. Всего n=0,6,12,…,36: Количество членов: 7. Сумма: 7 членов вида $(2^{2k} + 5^{3k})$ где $k = 0,…,6$: Сумма = $\frac{4^{7} - 1}{4 - 1} + \frac{5^{21} - 1}{5^3 - 1}$
   Ответ: $\frac{16383}{3} + \frac{5^{21} - 1}{124}$.
5. Построить график функции: \[ y = \cot\frac{x}{2} - \frac{\sin x}{1 - \cos x} \]
   Решение: Преобразуем второе слагаемое: $\frac{\sin x}{1 - \cos x} = \frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\sin^2\frac{x}{2}} = \cot\frac{x}{2}$ Тогда функция будет: $y = \cot\frac{x}{2} - \cot\frac{x}{2} = 0$ Область определения совпадает с областями определения обоих слагаемых ($x \neq 2\pi k$, $k ∈ ℤ$; $1 - \cos x \neq 0 → x \neq 2\pi n$).
   Ответ: График — ось абсцисс с выколотыми точками в $x = 2\pi k$, $k ∈ ℤ$.
6. Средняя линия трапеции, диагонали которой перпендикулярны, равна $6{,}5$. Найти площадь трапеции, если длина одной из диагоналей равна 5.
   Решение: Средняя линия $m = \frac{a + b}{2} = 6,5$ ⇒ $a + b = 13$ Свойство трапеции с перпендикулярными диагоналями: $S = \frac{d_1 d_2}{2}$
   По условию одна диагональ $d_1 = 5$, требуется найти длину $d_2$. Уравнение для диагоналей через основания: если диагонали перпендикулярны, то $a^2 + b^2 = d_1^2 + d_2^2$. Однако верна другая формула: Введём обозначения: если $h$ — высота трапеции, то площадь $S = m h = \frac{d_1 d_2}{2}$. Также из теоремы Пифагора и свойств: Для перпендикулярных диагоналей выполняется: $(a + b)^2 = d_1^2 + d_2^2$ Подставляем числовые значения: $13^2 = 5^2 + d_2^2 → 169 = 25 + d_2^2 ⇒ d_2 = \sqrt{144} = 12$ Тогда площадь: $S = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30$
   Ответ: 30.