Аничков лицей из 7 в 8 класс 2022 год

1. Математическая база.
   1. Разложите на множители: \[ 4x^2 - 4x + 1. \]
   2. Раскройте скобки и упростите: \[ 5(a - 3)\;-\;2(a + 2). \]
   3. Вычислите: \[ \frac{5^7 \cdot 5^8}{25^7}. \]
   4. Угол больше смежного ему на \(30^\circ\). Найдите оба этих угла.
   5. Найдите число, \(13\%\) которого равняется \(5{,}2\).
   6. В треугольнике \(ABC\) сторона \(AB = 5\) см, сторона \(BC = 1\) см. Найдите длину стороны \(AC\), если она выражена нечётным целым числом сантиметров.
   
   
   
2. Даны выражения \(A\) и \(L\): \[ A = \frac{0,4}{-15 + 0,\overline{11}} \;\bigg:\; 0,2\overline{7}, \qquad L = \frac{213^2 - 88^2}{-301} \;\bigg:\; \frac{5^6 - 5^4}{6^2 + 8^2}. \]
   1. Вычислите значение выражения \(A\).
   2. Вычислите значение выражения \(L\).
   3. Вычислите значение выражения \(\displaystyle \frac{1}{\,A - L\,}.\)
   
   
   
3. Дано выражение \(\Theta\): \[ \Theta = \frac{-18n^2 + 18m^2}{6m^2 + 6n^2 - 12mn} \;\biggl:\; \Bigl(6 - \frac{9mn + 9m^2}{12mn}\Bigr). \]
   1. Упростите выражение \(\Theta\).
   2. Вычислите \(\Theta\) при \(m=0,\;n=4\).
   3. Вычислите \(\Theta\) при \(m=5,\;n=-3\).
   
   
   
4. Решите уравнения:
   1. \(1{,}75\,(x - 2)\;-\;\tfrac14\,(4 - 1{,}5x)=0.\)
   2. \(3(x-1)^2 - 2(x+1)^2 = (x+1)(x - 3).\)
   3. \((x - 3)(x + 1)(x - 1) = (x + 1)(x - 2)(2x + 3).\)
   
   
   
5. Малышка Катерина строит башенки из кубиков. На башенку из 12 кубиков у неё уходит 5 минут. Пока она строит одну башенку высотой 5 кубиков, её старший брат Эрвин строит две башенки из 9 кубиков. Если же Катерина начинает строить башенки, она мешает Эрвину разбирать его постройки с той же скоростью, с которой собирала свои. За какое время Эрвину удаётся построить башенку из 26 кубиков, если «помогать» брату Катерина пришла сразу же, как он начал строить свою башню? Скорость построения башенок постоянна и не зависит от их высоты.
   
   
6. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) угол \(A\) равен \(20^\circ\). В треугольнике проведены высота \(CH\) и биссектриса \(CL\). Через вершину \(B\) проведена прямая, параллельная \(CL\), которая пересекает прямую \(CH\) в точке \(K\).
   1. Найдите углы треугольника \(ABC\).
   2. Постройте чертёж, иллюстрирующий условие задачи.
   3. Найдите угол между высотой и биссектрисой.
   4. Найдите длину самой короткой стороны треугольника \(BKH\), если самая длинная его сторона равна 7 см.
   
   
   
7. На острове Неделька живут милые ящерки. Известно, что после вылупления каждая ящерка живёт ровно 5 лет; утром на 4‑й и 5‑й день своей жизни она откладывает по одному яйцу, из которого через два дня вылупляется такая же ящерка; а в ночь с 5‑го на 6‑й день ящерка умирает. Группа учёных наблюдала за ящеркой Элси и всеми её родственниками ровно 100 дней, но все данные были утеряны. Помогите восстановить часть этих данных (с пояснительной запиской):
   1. Сколько яиц было у ящерки Элси?
   2. В какой день, начиная со дня рождения (днём 1 считаем утро вылупления Элси), у Элси впервые было 3 живых родственника?
   3. Было ли за время наблюдений более 1000 ящерок?

Решения задач

1. Математическая база
   1. Разложите на множители: \[ 4x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2 \] Ответ: $(2x - 1)^2$
   2. Раскройте скобки и упростите: \[ 5(a - 3) - 2(a + 2) = 5a - 15 - 2a - 4 = 3a - 19 \] Ответ: $3a - 19$
   3. Вычислите: \[ \frac{5^7 \cdot 5^8}{25^7} = \frac{5^{15}}{5^{14}} = 5 \] Ответ: $5$
   4. Смежные углы составляют $180^\circ$. Пусть один угол $x$, тогда смежный равен $x + 30^\circ$: \[ x + (x + 30^\circ) = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad 2x = 150^\circ \quad \Rightarrow \quad x = 75^\circ \] Ответ: $75^\circ$ и $105^\circ$
   5. Число, 13% которого равно $5{,}2$: \[ 5{,}2 : 0{,}13 = 40 \] Ответ: $40$
   6. По неравенству треугольника для сторон $AB = 5$ см, $BC = 1$ см: \[ AC > AB - BC = 4 \quad \text{и} \quad AC < AB + BC = 6 \] Единственное нечётное целое: $5$ см Ответ: $5$ см
2. Выражения $A$ и $L$
   1. Вычисление $A$: \[ A = \frac{0{,}4}{-15 + \frac{1}{9}} \div \frac{25}{90} = \frac{\frac{2}{5}}{-\frac{134}{9}} \div \frac{5}{18} = -\frac{9}{335} \div \frac{5}{18} = -\frac{162}{1675} \] Ответ: $-\frac{162}{1675}$
   2. Вычисление $L$: \[ L = \frac{213^2 - 88^2}{-301} \div \frac{5^6 - 5^4}{6^2 + 8^2} = \frac{125 \cdot 301}{-301} \div \frac{15000}{100} = -125 \div 150 = -\frac{5}{6} \] Ответ: $-\frac{5}{6}$
   3. Вычисление $\frac{1}{A - L}$: \[ \frac{1}{-\frac{162}{1675} - \left(-\frac{5}{6}\right)} = \frac{1675}{7403} \] Ответ: $\frac{1675}{7403}$
3. Выражение $\Theta$
   1. Упрощение: \[ \Theta = \frac{18(m - n)(m + n)}{6(m - n)^2} \div \left(6 - \frac{9m(m + n)}{12mn}\right) = \frac{3(m + n)}{m - n} \div \frac{21n - 3m}{4n} = \frac{4n(m + n)}{(m - n)(7n - m)} \] Ответ: $\frac{4n(m + n)}{(m - n)(7n - m)}$
   2. При $m = 0$, $n = 4$: \[ \Theta = \frac{4 \cdot 4 \cdot (0 + 4)}{(0 - 4)(7 \cdot 4 - 0)} = -\frac{4}{7} \] Ответ: $-\frac{4}{7}$
   3. При $m = 5$, $n = -3$: \[ \Theta = \frac{4 \cdot (-3) \cdot (5 - 3)}{(5 + 3)(7 \cdot (-3) - 5)} = \frac{3}{26} \] Ответ: $\frac{3}{26}$
4. Решение уравнений
   1. Линейное уравнение: \[ 1{,}75(x - 2) - \frac{1}{4}(4 - 1{,}5x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{36}{17} \] Ответ: $x = \frac{36}{17}$
   2. Квадратное уравнение: \[ 3(x - 1)^2 - 2(x + 1)^2 = (x + 1)(x - 3) \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \] Ответ: $x = 0{,}5$
   3. Кубическое уравнение: \[ (x - 3)(x + 1)(x - 1) = (x + 1)(x - 2)(2x + 3) \quad \Rightarrow \quad x_1 = -1, \ x_{2,3} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{5}}{2} \] Ответ: $x_1 = -1$, $x_{2,3} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{5}}{2}$
5. Расчет времени строительства: \[ \text{Скорость Катерины: } \frac{12}{5} = 2{,}4\ \text{куб/мин} \] \[ \text{Скорость Эрвина: } 8{,}64\ \text{куб/мин} \] \[ \text{Эффективная скорость: } 8{,}64 - 2{,}4 = 6{,}24\ \text{куб/мин} \] \[ \text{Время: } \frac{26}{6{,}24} = \frac{25}{6}\ \text{мин} \] Ответ: $\frac{25}{6}$ мин
6. Геометрия треугольника
   1. Углы треугольника: \[ \angle A = 20^\circ,\ \angle C = 20^\circ,\ \angle B = 140^\circ \] Ответ: $20^\circ$, $20^\circ$, $140^\circ$
   2. Самая короткая сторона треугольника $BKH$: \[ KH = \frac{7}{2} = 3{,}5\ \text{см} \] Ответ: $3{,}5$ см