Аничков лицей из 7 в 8 класс 2021 год

1. Даны выражения \(A\) и \(B\): \[ A = \frac{1,3 - \tfrac{3}{4}}{0,4 - \tfrac{3}{35}}, \qquad B = \frac{9^6 - 3^{11}}{27^4}. \]
   1. Вычислите значение выражения \(A\);
   2. Вычислите значение выражения \(B\);
   3. Вычислите значение выражения \(\displaystyle \frac{1}{A} : \Bigl(3 - \frac{1}{B}\Bigr).\)
   
   
   
2. Дано выражение \(\Omega\): \[ \Omega = \Bigl(\frac{9m^2 - 4n^2}{9m^2 + 12mn + 4n^2} - 1\Bigr)\;\cdot\;\frac{3m + 2n}{4 + 2n}\;+\;2. \]
   1. Упростите выражение \(\Omega\);
   2. Вычислите значение выражения \(\Omega\) при \(m=3,\;n=5\);
   3. Вычислите значение выражения \(\Omega\) при \(m=2,\;n=-3\).
   
   
   
3. Решите уравнения:
   1. \(\displaystyle \bigl(\tfrac{x - 1,5}{3}\!+\!3,5\bigr)\;\cdot\;\tfrac{67}{3} = \tfrac{1}{6};\)
   2. \((2x - 1)^2 - (x - 2)(3x + 4) = (1 + x)^2;\)
   3. \(\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x + 3} + x^2 + 4 = 1 - 2x.\)
   
   
   
4. Умпа и Лумпа собирали грибы в лесу, и им посчастливилось наткнуться на поляну лисичек‑обманок (грибы очень похожи на лисички, однако они сильно больше по размеру и иногда могут исчезнуть уже после того, как прийти с ними домой). Умпа и Лумпа собрали все 130 грибов, что росли на полянке, и, довольные, пошли домой. Ночью у Умпы исчезло 25% собранных им грибов, а у Лумпы – 20%. Сколько грибов каждый из них первоначально принёс домой, если в ответе утром у Умпы оказалось грибов на 50% больше, чем у Лумпы?
   
   
5. Ребёнок Эрвин возвращался из школы домой со скоростью 4 км/ч. Когда он прошёл треть пути, ему позвонила мама и сказала, что она уже ждёт его, чтобы играть в Mortal Combat. После этого Эрвин побежал со скоростью 150 м/мин и прибыл домой на 15 мин раньше, чем предполагал изначально. Чему равен путь от школы до дома?
   
   
6. Четыре точки \(A, B, C\) и \(D\) расположены так, что \(AB \parallel CD\), \(AB = CD = 4\), \(BC = 8\), \(\angle BCD = 120^\circ\). Отрезки \(AD\) и \(BC\) пересекаются в точке \(F\).
   1. Найдите длину отрезка \(CF\);
   2. \(CH\) – высота треугольника \(ABC\). Найдите длину отрезка \(BH\);
   3. Биссектрисы углов \(FAB\) и \(BCD\) пересекаются в точке \(L\). Найдите \(\angle ALC\).
   
   
   
7. Маша, Витя и Илья вывели в лаборатории 7 одноклеточных кроликов. Если кролика похвалить, то он размножается делением. Если Маша хвалит кролика, то он делится на 7 кроликов, если Витя хвалит кролика, то он делится на 4 кроликов, а если Илья хвалит кролика, то он делится на 5 кроликов (с чем связано это различие, выяснить так и не удалось). Если кролика пугают, то он обидится и исчезнет. Каждый раз, когда Маша хвалит кролика, Илья хвалит какого‑то другого кролика, а Витя ругает какого‑то третьего (и это были единственные случаи, когда кто‑то ругал кроликов). При этом Витя и Илья также могут хвалить кроликов независимо от всех остальных. Известно, что Маша хвалила кроликов 6 раз, а в конце у ребят оказалось 75 кроликов. Сколько раз Илья и Витя хвалили кроликов?

Решения задач

1. 1. Вычислим выражение \( A = \frac{1,3 - \tfrac{3}{4}}{0,4 - \tfrac{3}{35}} \): Переведём числа в дроби: \[ 1,3 = \frac{13}{10}, \quad 0,4 = \frac{2}{5}. \] Числитель: \[ \frac{13}{10} - \frac{3}{4} = \frac{26}{20} - \frac{15}{20} = \frac{11}{20}. \] Знаменатель: \[ \frac{2}{5} - \frac{3}{35} = \frac{14}{35} - \frac{3}{35} = \frac{11}{35}. \] Результат: \[ A = \frac{\frac{11}{20}}{\frac{11}{35}} = \frac{35}{20} = \frac{7}{4} = 1,75. \] Ответ: \( 1,75 \).
      
      
   2. Вычислим выражение \( B = \frac{9^6 - 3^{11}}{27^4} \): Представим степени: \[ 9 = 3^2, \quad 27 = 3^3, \quad 9^6 = 3^{12}, \quad 27^4 = 3^{12}. \] Тогда: \[ B = \frac{3^{12} - 3^{11}}{3^{12}} = \frac{3^{11}(3 - 1)}{3^{12}} = \frac{2}{3}. \] Ответ: \( \frac{2}{3} \).
      
      
   3. Вычислим \( \frac{1}{A} : \Bigl(3 - \frac{1}{B}\Bigr) \): Из предыдущих пунктов: \[ \frac{1}{A} = \frac{4}{7}, \quad 3 - \frac{1}{B} = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}. \] Тогда: \[ \frac{4}{7} : \frac{3}{2} = \frac{4}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{21}. \] Ответ: \( \frac{8}{21} \).
   
   
   
2. 1. Упростим выражение \(\Omega\): \[ \Omega = \left(\frac{(3m - 2n)(3m + 2n)}{(3m + 2n)^2} - 1\right) \cdot \frac{3m + 2n}{2(n + 2)} + 2. \] Упростим дробь: \[ \frac{3m - 2n}{3m + 2n} - 1 = \frac{(3m - 2n) - (3m + 2n)}{3m + 2n} = \frac{-4n}{3m + 2n}. \] Подставим и умножим: \[ \Omega = \frac{-4n}{3m + 2n} \cdot \frac{3m + 2n}{2(n + 2)} + 2 = -\frac{2n}{n + 2} + 2 = \frac{4}{n + 2}. \] Ответ: \( \Omega = \frac{4}{n + 2} \).
      
      
   2. При \( m = 3, \, n = 5 \): \[ \Omega = \frac{4}{5 + 2} = \frac{4}{7}. \] Ответ: \( \frac{4}{7} \).
      
      
   3. При \( m = 2, \, n = -3 \): \[ \Omega = \frac{4}{-3 + 2} = -4. \] Ответ: \( -4 \).
   
   
   
3. 1. Решим уравнение: \[ \left(\frac{x - 1{,}5}{3} + 3{,}5\right) \cdot \frac{67}{3} = \frac{1}{6}. \] Перенесём множитель: \[ \frac{x - 1{,}5}{3} + 3{,}5 = \frac{1}{134}. \] Выразим \( x \): \[ \frac{x - 1{,}5}{3} = \frac{1}{134} - \frac{7}{2}, \quad x = \frac{-234}{67} + 1{,}5 = \frac{-1203}{134}. \] Ответ: \( -\frac{1203}{134} \).
      
      
   2. Решим уравнение: \[ (2x - 1)^2 - (x - 2)(3x + 4) = (1 + x)^2. \] Раскрыв скобки и упростив: \[ 4x^2 - 4x + 1 - 3x^2 + 2x + 8 = x^2 + 2x +1, \quad x = 2. \] Ответ: \( 2 \).
      
      
   3. Решим уравнение: \[ \frac{x^2 - 9}{x + 3} + x^2 + 4 = 1 - 2x. \] Сократим дробь: \[ x - 3 + x^2 + 4 = 1 - 2x, \quad x^2 + 3x = 0, \quad x(x + 3) = 0. \] Ответ: \( 0 \).
   
   
   
4. Пусть Умпа собрал \( x \) грибов, Лумпа \( 130 - x \). После исчезновения: \[ 0{,}75x = 1{,}5 \cdot 0{,}8(130 - x). \] Решим уравнение: \[ 0{,}75x = 156 - 1{,}2x, \quad 1{,}95x = 156, \quad x = 80. \] Ответ: Умпа — 80 грибов, Лумпа — 50 грибов.
   
   
5. Пусть весь путь \( S \) км. Разница времён: \[ \frac{S}{4} - \left(\frac{S}{12} + \frac{2S}{27}\right) = 0{,}25. \] Решив уравнение: \[ S = 2{,}7 \text{ км} = 2700 \text{ м}. \] Ответ: 2700 метров.
   
   
6. 1. Для трапеции с основаниями \( AB = CD = 4 \), \( BC = 8 \), угол \( BCD = 120^\circ \). Отрезок \( CF = 4 \).
   2. Высота \( CH = 4\sqrt{3} \). Проекция \( BH = 4 \).
   3. Угол \( ALC = 90^\circ \).
   
   
   
7. Пусть Витя хвалил \( v \) раз, Илья — \( i \) раз: \[ 7 + 6 \cdot 9 + 3v + 4i = 75 \quad \Rightarrow \quad 3v + 4i = 14. \] Решение: \( v = 2 \), \( i = 2 \). Ответ: Витя—2 раза, Илья—2 раза.