Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2016 год вариант 1-2
Печать
youit.school ©
АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)
2016 год
Вариант 2
- Упростите выражение: \[ \bigl(\sqrt{18} - \sqrt{98}\bigr)^2 \;+\; \bigl(7\sqrt{3}\bigr)^2 \;+\; \sqrt{27 - \sqrt{2}}\;\cdot\;\sqrt{27 + \sqrt{2}}. \]
- Решите уравнение: \[ \Bigl(\frac{2x}{x + 2}\Bigr)^2 \;-\; 9 \;=\; 0. \]
- При каких значениях параметра \(a\) система неравенств \[ \begin{cases} (x + 4)^2 \;-\; x^2 \;\le\; 16a,\\ 5(x - 3) \;\ge\; 4x + 7 \end{cases} \] имеет ровно одно решение?
- Сумма двух различных натуральных чисел равна \(1001\). Найдите наибольший возможный при этих условиях их общий делитель.
- Велосипедист проехал из посёлка на станцию, расстояние между которыми равно \(30\) км, а затем вернулся в посёлок. На обратном пути он снизил скорость на \(3\) км/ч и потратил на обратный путь на \(20\) минут больше, чем в прямом. С какой скоростью ехал велосипедист из посёлка на станцию?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростите выражение:
\[
\bigl(\sqrt{18} - \sqrt{98}\bigr)^2
\;+\;
\bigl(7\sqrt{3}\bigr)^2
\;+\;
\sqrt{27 - \sqrt{2}}\;\cdot\;\sqrt{27 + \sqrt{2}}.
\]
Решение:
\[
(\sqrt{18} - \sqrt{98})^2 = (3\sqrt{2} - 7\sqrt{2})^2 = (-4\sqrt{2})^2 = 32
\]
\[
(7\sqrt{3})^2 = 49 \cdot 3 = 147
\]
\[
\sqrt{(27 - \sqrt{2})(27 + \sqrt{2})} = \sqrt{27^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{729 - 2} = \sqrt{727}
\]
Суммируя все части:
\[
32 + 147 + \sqrt{727} = 179 + \sqrt{727}
\]
Ответ: \(179 + \sqrt{727}\).
- Решите уравнение:
\[
\Bigl(\frac{2x}{x + 2}\Bigr)^2 \;-\; 9 \;=\; 0.
\]
Решение:
\[
\Bigl(\frac{2x}{x + 2}\Bigr)^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad \frac{2x}{x + 2} = \pm3
\]
\[
\frac{2x}{x + 2} = 3: \quad 2x = 3(x + 2) \quad \Rightarrow \quad x = -6
\]
\[
\frac{2x}{x + 2} = -3: \quad 2x = -3(x + 2) \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{6}{5}
\]
Проверка подтверждает, что \(x = -6\) и \(x = -\frac{6}{5}\) не обращают знаменатель в ноль.
Ответ: \(-6\); \(-\frac{6}{5}\).
- При каких значениях параметра \(a\) система неравенств
\[
\begin{cases}
(x + 4)^2 \;-\; x^2 \;\le\; 16a,\\
5(x - 3) \;\ge\; 4x + 7
\end{cases}
\]
имеет ровно одно решение?
Решение:
\[
(x + 4)^2 - x^2 = 8x + 16 \quad \Rightarrow \quad 8x + 16 \le 16a \quad \Rightarrow \quad x \le 2a - 2
\]
\[
5(x - 3) \ge 4x + 7 \quad \Rightarrow \quad x \ge 22
\]
Система имеет решение при \(22 \le 2a - 2\):
\[
2a \ge 24 \quad \Rightarrow \quad a \ge 12
\]
Единственное решение \(x = 22\) достигается при \(2a - 2 = 22 \Rightarrow a = 12\).
Ответ: 12.
- Сумма двух различных натуральных чисел равна \(1001\).
Найдите наибольший возможный при этих условиях их общий делитель.
Решение:
Пусть числа \(a\) и \(b\), их НОД равен \(d\). Тогда \(a = d \cdot m\), \(b = d \cdot n\), где \(\text{НОД}(m, n) = 1\) и \(m + n = \frac{1001}{d}\).
Максимальный делитель 1001: \(143\). Если \(d = 143\), то \(m + n = 7\). Подходящая пара взаимно простых чисел \(3\) и \(4\), тогда числа равны \(3 \cdot 143 = 429\) и \(4 \cdot 143 = 572\).
Ответ: 143.
- Велосипедист проехал из посёлка на станцию, расстояние между которыми равно \(30\) км, а затем вернулся в посёлок.
На обратном пути он снизил скорость на \(3\) км/ч и потратил на обратный путь на \(20\) минут больше, чем в прямом.
С какой скоростью ехал велосипедист из посёлка на станцию?
Решение:
Пусть скорость на пути в станцию \(x\) км/ч, тогда обратно \(x - 3\) км/ч:
\[
\frac{30}{x - 3} - \frac{30}{x} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}
\]
\[
30x - 30(x - 3) = \frac{x(x - 3)}{3} \quad \Rightarrow \quad 270 = x^2 - 3x
\]
\[
x^2 - 3x - 270 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3 + 33}{2} = 18
\]
Проверка подтверждает, что скорость \(18\) км/ч удовлетворяет условию.
Ответ: 18 км/ч.
Материалы школы Юайти