8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2016 год вариант 1-1

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Печать
youit.school ©

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)


2016 год


Вариант 1



  1. Упростите выражение: \[ \Bigl( \frac{a}{2a-4} \;-\; \frac{a^2 + 4}{2a^2 - 8} \;-\; \frac{2}{a^2 + 2a} \Bigr) \;\cdot\; \Bigl( \frac{6a + 4}{a - 2} + a \Bigr). \]
  2. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 - \bigl(\sqrt2 + \sqrt5\bigr)\,x + \sqrt{10}} {\sqrt{x - 2}} \;=\;0. \]
  3. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} (x - 4)^2 - (x - 6)^2 \;>\; 8,\\ 8\,(3x - 8) \;\ge\; 7\,(2x - 1) - 51. \end{cases} \]
  4. Постройте график функции: \[ y = \bigl|\,3x - 2\bigr| \;-\; 3x. \]
  5. В трапеции \(ABCD\) отношение длин параллельных сторон \(BC\) и \(AD\) равно \(1:3\). Диагонали \(BD\) и \(AC\) пересекаются в точке \(O\). Найдите отношение площадей треугольника \(AOD\) и всей трапеции \(ABCD\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \Bigl( \frac{a}{2a-4} \;-\; \frac{a^2 + 4}{2a^2 - 8} \;-\; \frac{2}{a^2 + 2a} \Bigr) \;\cdot\; \Bigl( \frac{6a + 4}{a - 2} + a \Bigr). \] Решение:
    1. Разложим знаменатели на множители: \[ \frac{a}{2(a - 2)} - \frac{a^2 + 4}{2(a - 2)(a + 2)} - \frac{2}{a(a + 2)} \] Общий знаменатель: $2a(a - 2)(a + 2)$: \[ \frac{a^2(a + 2) - a(a^2 + 4) - 4(a - 2)}{2a(a - 2)(a + 2)} = \frac{a^3 + 2a^2 - a^3 - 4a - 4a + 8}{2a(a - 2)(a + 2)} = \frac{2a^2 - 8a + 8}{2a(a - 2)(a + 2)} = \frac{(a - 2)^2}{2a(a - 2)(a + 2)} = \frac{a - 2}{2a(a + 2)} \] 2. Упростим вторую скобку: \[ \frac{6a + 4}{a - 2} + a = \frac{6a + 4 + a(a - 2)}{a - 2} = \frac{a^2 + 4a + 4}{a - 2} = \frac{(a + 2)^2}{a - 2} \] 3. Перемножим результаты: \[ \frac{a - 2}{2a(a + 2)} \cdot \frac{(a + 2)^2}{a - 2} = \frac{a + 2}{2a} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a} \] Ответ: \(\boxed{\frac{1}{2} + \frac{1}{a}}\)
  2. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 - \bigl(\sqrt2 + \sqrt5\bigr)\,x + \sqrt{10}}{\sqrt{x - 2}} = 0 \] Решение:
    1. Область определения: \(x > 2\)
    2. Числитель равен нулю: \[ x^2 - (\sqrt{2} + \sqrt{5})x + \sqrt{10} = (x - \sqrt{2})(x - \sqrt{5}) = 0 \] Корни: \(x = \sqrt{2}\) и \(x = \sqrt{5}\). Только \(x = \sqrt{5} \approx 2.236 > 2\) удовлетворяет области определения.
    Ответ: \(\boxed{\sqrt{5}}\)
  3. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} (x - 4)^2 - (x - 6)^2 > 8, \\ 8(3x - 8) \ge 7(2x - 1) - 51 \end{cases} \] Решение:
    1. Первое неравенство: \[ (x^2 - 8x + 16) - (x^2 - 12x + 36) = 4x - 20 > 8 \quad \Rightarrow \quad 4x > 28 \quad \Rightarrow \quad x > 7 \] 2. Второе неравенство: \[ 24x - 64 \ge 14x - 58 \quad \Rightarrow \quad 10x \ge 6 \quad \Rightarrow \quad x \ge 0.6 \] 3. Решение системы: \(x \in (7; +\infty)\)
    Ответ: \(\boxed{(7; +\infty)}\)
  4. Постройте график функции: \[ y = \bigl|\,3x - 2\bigr| \;-\; 3x \] Решение:
    1. Рассмотрим два случая:
    • \(3x - 2 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x \ge \frac{2}{3}\): \[ y = (3x - 2) - 3x = -2 \]
    • \(3x - 2 < 0 \quad \Rightarrow \quad x < \frac{2}{3}\): \[ y = -(3x - 2) - 3x = -6x + 2 \]
    График состоит из горизонтальной линии \(y = -2\) при \(x \ge \frac{2}{3}\) и прямой \(y = -6x + 2\) при \(x < \frac{2}{3}\).
    Ответ: График построен.
  5. В трапеции \(ABCD\) отношение длин параллельных сторон \(BC\) и \(AD\) равно \(1:3\). Диагонали \(BD\) и \(AC\) пересекаются в точке \(O\). Найдите отношение площадей треугольника \(AOD\) и всей трапеции \(ABCD\).
    Решение:
    1. Точка пересечения диагоналей делит их в отношении оснований: \[ \frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD} = \frac{1}{3}, \quad \frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac{3}{1} \] 2. Треугольники \(AOD\) и \(BOC\) подобны с коэффициентом \(3\), их площади относятся как \(9:1\).
    3. Площадь трапеции делится на четыре части: \(S_{AOB} = 3S_{BOC}\), \(S_{COD} = 3S_{BOC}\), \(S_{AOD} = 9S_{BOC}\): \[ S_{ABCD} = 9S_{BOC} + 3S_{BOC} + 3S_{BOC} + S_{BOC} = 16S_{BOC} \] 4. Искомое отношение: \[ \frac{S_{AOD}}{S_{ABCD}} = \frac{9S_{BOC}}{16S_{BOC}} = \frac{9}{16} \] Ответ: \(\boxed{\frac{9}{16}}\)
Материалы школы Юайти