Аничков Лицей из 7 в 8 класс 2009 год вариант 1

АНИЧКОВ ЛИЦЕЙ (СПБ)

2009 год

Вариант 1

1. Упростите выражение \[ \Bigl(\frac{3a+7b}{5a}+\frac{8a-3b}{5b}\Bigr) :\frac{7b^2+8a^2}{10ab} \] и найдите его значения при
   1. \(a=0\), \(b=3\);
   2. \(a=2009\), \(b=2009\).
   
   
   
2. Найдите число, \(36\dfrac{2}{3}\%\) которого составляет \[ \frac{\bigl(85\dfrac{7}{30}-83\dfrac{5}{18}\bigr)\;\colon\;2\dfrac{2}{3}} {0{,}04}. \]
   
   
3. Вычислите:
   1. \(\displaystyle \frac{12^3\cdot5^6}{15^4\cdot10^4};\)
   2. \(\displaystyle \frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+(4^2)^2}.\)
   
   
   
4. Разложите на множители: \[ m^5 - 8m^3n + 16mn^2. \]
   
   
5. Точка \(x=2\) является решением уравнения \[ a x - \Bigl(\frac{x}{2}-3\Bigr) = a(x-3) + 5x. \] Найдите \(a\).
   
   
6. Периметр равнобедренного треугольника равен \(35\). Одна из его сторон в \(3\) раза больше другой. Найдите все стороны треугольника.
   
   
7. Маленький зелёный тиранозаврик Рекс загадал натуральное число \(\xi\) и сказал Саше, что: \[ \begin{aligned} &2\xi > 70,\\ &\xi \gt 25,\\ &\xi \ge 10,\\ &\xi > 5. \end{aligned} \] Маленький зелёный тиранозаврик Глип шепнул Саше, что из этих утверждений ровно три верны, а два — неверны. Помогите Саше определить, какое число загадал Рекс.

Решения задач

1. Упростите выражение \[ \Bigl(\frac{3a+7b}{5a}+\frac{8a-3b}{5b}\Bigr) :\frac{7b^2+8a^2}{10ab} \] и найдите его значения при
   1. \(a=0\), \(b=3\):
      Решение: \[ \Bigl(\frac{3a+7b}{5a}+\frac{8a-3b}{5b}\Bigl) : \frac{7b^2 + 8a^2}{10ab} = \frac{\frac{8a^2 + 7b^2}{5ab} \cdot 10ab}{7b^2 +8a^2} = 2 \] При \(a=0\) исходное выражение не определено.
      Ответ: Не определено при \(a=0\); Результат упрощения при допустимых значениях: всюду равен 2.
   2. \(a=2009\), \(b=2009\):
      Подставив \(a = 2009\) и \(b = 2009\), упрощенное выражение равно 2.
      Ответ: 2.
2. Найдите число, \(36\dfrac{2}{3}\%\) которого составляет \[ \frac{\bigl(85\dfrac{7}{30}-83\dfrac{5}{18}\bigr)\;\colon\;2\dfrac{2}{3}} {0{,}04}. \]
   Решение: \[ 85\frac{7}{30} - 83\frac{5}{18} = \frac{1500}{18} - \frac{83 \cdot 10 + 5}{18} = \frac{2562}{30} - \frac{1499}{18} = \frac{88}{45} \] \[ \frac{88}{45} : 2\frac{2}{3} = \frac{88}{45} \cdot \frac{3}{8} = \frac{11}{15} \] \[ \frac{11}{15} : 0{,}04 = \frac{11}{15} \cdot 25 = \frac{55}{3} \] \[ 36\frac{2}{3}% = \frac{11}{30} \Rightarrow x = \frac{55}{3} : \frac{11}{30} = 50 \] Ответ: 50.
3. Вычислите:
   1. \(\displaystyle \frac{12^3\cdot5^6}{15^4\cdot10^4}:\)
      Решение: \[ \frac{(2^2 \cdot 3)^3 \cdot 5^6}{(3 \cdot 5)^4 \cdot (2 \cdot 5)^4} = \frac{2^6 \cdot 3^3 \cdot 5^6}{3^4 \cdot 5^4 \cdot 2^4 \cdot 5^4} = \frac{2^2}{3 \cdot 5^2} = \frac{4}{75} \] Ответ: \(\dfrac{4}{75}\).
   2. \(\displaystyle \frac{2^{10}+2^9+2^8}{2^9+(4^2)^2}:\)
      Решение: \[ \frac{2^8(2^2 + 2 +1)}{2^9 +2^8} = \frac{2^8 \cdot7}{2^8(2 +1)} = \frac{7}{3} \] Ответ: \(\dfrac{7}{3}\).
4. Разложите на множители: \[ m^5 - 8m^3n + 16mn^2. \]
   Решение: \[ m(m^4 -8m^2n +16n^2) = m(m^2 -4n)^2 \] Ответ: \(m(m^2 -4n)^2\).
5. Точка \(x=2\) является решением уравнения \[ a x - \Bigl(\frac{x}{2}-3\Bigr) = a(x-3) + 5x. \\ \text{Решение:} \] Подставляем \(x=2\): \[ 2a - (1 -3) = a(-1) +10 \Rightarrow 2a +2 = -a +10 \Rightarrow 3a =8 \Rightarrow a = \frac{8}{3}. \] Ответ: \(\dfrac{8}{3}\).
6. Периметр равнобедренного треугольника равен \(35\). Одна из его сторон в \(3\) раза больше другой.
   Решение: Возможные случаи:
   • Боковые стороны равны \(3a\), основание \(a\): \[ 3a +3a +a =7a=35 \Rightarrow a=5 \Rightarrow \text{Стороны:} ~15,15,5. \]
   • Основание равно \(3a\), боковые стороны \(a\): \[ a +a +3a=5a=35 \Rightarrow a=7 \Rightarrow \text{Стороны:} ~21,7,7~ (\text{невозможно}). \]
   Ответ: 5 см, 15 см, 15 см.
7. Число \(\xi\) удовлетворяет условиям: \[ \begin{aligned} &2\xi >70 \\ &\xi 25 \\ &\xi \ge10 \\ &\xi >5. \end{aligned} \] Три утверждения верны, два — ложны.
   Решение: Проверка для \(\xi=9\): \[ 2\cdot9=18 <70\, (\text{л}), \quad 925\, (\text{и}), \quad 9\ge10\, (\text{л}), \quad 9>5\, (\text{и}). \] Верные утверждения: 2,3,5 (три).
   Ответ: 9.