Аничков лицей из 7 в 8 класс 2007 год

Во всех задачах помимо ответа нужно написать подробное решение!

1. Вычислить:
   1. \[ \frac{\underbrace{999\ldots9}_{2007\text{ девяток}}}{999}\;\cdot\;77; \]
   2. \[ \frac{81\cdot 21^{2007}}{9^{1005}\cdot 49^{1004}}; \]
   3. \[ \frac{2}{5}\cdot\bigl(0,7-\tfrac{2}{5}\bigr)\;-\;0,7\cdot\bigl(\tfrac{2}{5}-0,7\bigr). \]
   
   
   
2. Решите уравнение: \[ 9x^2 - 6x + 1 = (1 - 3x)(2x + 9). \]
   
   
3. Маленький зелёненький тираннозаврик Рекс велел головастику Саше умножить число на 4 и прибавить к результату 15. Но Саша всё перепутал и умножил число на 15, а потом прибавил 4. Однако результат получился верным. Какое это было число?
   
   
4. Квадрат \(ABCD\) со стороной 2 и квадрат \(DEFK\) со стороной 1 стоят рядом на верхней стороне \(AK\) квадрата \(AKLM\) со стороной 3. Между парами точек \(A\) и \(E\), \(B\) и \(F\), \(C\) и \(K\), \(D\) и \(L\) натянуты паутинки. Паук поднимается снизу вверх по маршруту \(AEFB\) и спускается по маршруту \(CKDL\). Какой маршрут короче?
   
   
5. В треугольнике \(ABC\) длины всех сторон выражаются целым числом. Сторона \(AB\) равна 2, сторона \(BC = 4\). Чему может быть равна длина стороны \(AC\)?
   
   
6. После того как головастик Саша съел половину персиков из банки, уровень компота понизился на $\tfrac{1}{3}$. На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?
   
   
7. Ваня, Даня и Таня после олимпиады, в которой предлагалось 6 задач, сравнивали свои результаты. Оказалось, что каждый из них решил по 3 задачи, причём любые двое из них имеют только одну общую решённую задачу. У Тани сумма номеров решённых задач равна 9, у Дани — 10, а у Вани — 14. Кто какие задачи решил, если Таня призналась, что не решила последнюю задачу?

Решения задач

1. Вычислить:
   1. $\dfrac{999\ldots9}{999}\cdot 77$; 2007 девяток
      Решение: Заметим, что число из 2007 девяток можно представить как $10^{2007} - 1$. Тогда: \[ \frac{10^{2007} - 1}{999} = \underbrace{1001\ldots001}_{\text{669 единиц}} \] Умножая на 77, получим число вида $\underbrace{770077\ldots0077}_{\text{2007 цифр}}$.
      Ответ: $\underbrace{770077\ldots0077}_{\text{2007 цифр}}$.
      
      
   2. $\dfrac{81\cdot 21^{2007}}{9^{1005}\cdot 49^{1004}}$
      Решение: Разложим на простые множители: \[ \frac{3^4 \cdot (3\cdot7)^{2007}}{(3^2)^{1005} \cdot (7^2)^{1004}} = \frac{3^{2011} \cdot 7^{2007}}{3^{2010} \cdot 7^{2008}} = \frac{3}{7}. \] Ответ: $\dfrac{3}{7}$.
      
      
   3. $\dfrac{2}{5}\cdot\left(0,7 -\dfrac{2}{5}\right) - 0,7\cdot\left(\dfrac{2}{5} -0,7\right)$
      Решение: Переведём десятичные дроби в обычные: \[ \frac{2}{5} \cdot \left(\frac{7}{10} - \frac{4}{10}\right) - \frac{7}{10} \cdot \left(\frac{4}{10} - \frac{7}{10}\right) = \frac{3}{25} - \left(-\frac{21}{100}\right) = \frac{3}{25} + \frac{21}{100} = \frac{33}{100} - \frac{30}{100} = -\frac{9}{100}. \] Ответ: $-0,09$.
   
   
   
2. Решить уравнение: \[ 9x^2 - 6x + 1 = (1 - 3x)(2x + 9) \] Решение: Разложим левую часть как квадрат: \[ (3x - 1)^2 = (1 - 3x)(2x + 9). \] Перенося все влево и факторизуя: \[ (1 - 3x)(5x + 8) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{3}, \quad x = -\frac{8}{5}. \] Ответ: $\frac{1}{3}$; $-\frac{8}{5}$.
   
   
3. Пусть искомое число — $x$. По условию: \[ 4x + 15 = 15x + 4 \quad \Rightarrow \quad 11x = 11 \quad \Rightarrow \quad x = 1. \] Проверка: $4\cdot1 + 15 = 19$ и $15\cdot1 + 4 = 19$.
   Ответ: 1.
   
   
4. Сравним длины маршрутов:
   • Подъём $A \to E \to F \to B$: \[ AE + EF + FB = 3 + 1 + \sqrt{10} \approx 4 + 3,16 = 7,16. \]
   • Спуск $C \to K \to D \to L$: \[ CK + KD + DL = 1 + 1 + \sqrt{10} \approx 2 + 3,16 = 5,16. \]
   Ответ: Спуск по маршруту $CKDL$ короче.
   
   
5. По неравенству треугольника: \[ 4 - 2 < AC < 4 + 2 \quad \Rightarrow \quad 2 < AC < 6. \] Целые возможные значения: 3, 4, 5.
   Ответ: 3 см, 4 см, 5 см.
   
   
6. После удаления половины персиков уровень упал на $\frac{1}{3}$. Пусть исходный объём персиков $V$. Оставшееся количество персиков после первого съедения: $\frac{V}{2}$. Снижение уровня на $\frac{1}{3}$ означает новую высоту $\frac{2}{3}$ исходной. При удалении ещё половины оставшихся ($\frac{V}{4}$), уровень опустится на $\frac{1}{4}$ нового уровня.
   Ответ: Уровень понизится на $\frac{1}{4}$.
   
   
7. Решение:
   • Таня: $2, 3, 4$ (сумма 9).
   • Даня: $1, 4, 5$ (сумма 10).
   • Ваня: $3, 5, 6$ (сумма 14).
   Проверка:
   • Пересечения пар: Таня-Даня: 4; Даня-Ваня: 5; Таня-Ваня: 3 (по одной задаче).
   • Таня не решила задачу 5 (последнюю по условию).
   Ответ:
   • Таня: 2, 3, 4
   • Даня: 1, 4, 5
   • Ваня: 3, 5, 6