Академическая гимназия имени Д. К. Фаддеева СПбГУ из 9 в 10 класс 2025 год вариант 2

Структура экзаменационного варианта

Задание состоит из 12 задач, разбитых на две группы. Ответами на задачи из первой группы являются числа или наборы чисел, которые нужно будет ввести в открывающееся поле на экране. Решения задач второй группы нужно будет написать на бумаге, сфотографировать и отправить на проверку.

Для решения всех задач достаточно сведений, содержащихся в учебниках по математическим дисциплинам, включённых в Федеральный перечень учебников 2024.

Критерии оценивания

• Каждая из задач 1 и 2 оценивается 0 или 5 баллов.
• Каждая из задач с 3 по 7 оценивается 0 или 6 баллов.
• Каждая из задач с 8 по 12 оценивается от 0 до 12 баллов.
• Максимальное число баллов за всё задание – 100 баллов.

Примеры заданий

1. Найдите значение выражения \[ \frac{\sqrt{99} + \sqrt{363} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}}. \] (5 баллов)
2. Решите уравнение \[ (x^2 + 27x - 57)^2 = (x^2 - 3x + 1)^2. \] (5 баллов)
3. Семья состоит из трёх человек: матери, отца, дочери. Если бы зарплата матери увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 30 %. Если бы стипендия дочери увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 6 %. Сколько процентов дохода составляет зарплата отца? (6 баллов)
4. Вычислите радиус окружности, в которую вписана трапеция, если большее основание трапеции является диаметром этой окружности, площадь трапеции равна \(40\sqrt{5}\), а средняя линия трапеции равна 10. (6 баллов)
5. Найдите шестой и десятый члены геометрической прогрессии, если известно, что сумма их квадратов равна 136, а произведение четырнадцатого и второго членов этой прогрессии равно 60. (6 баллов)
6. Решите систему неравенств \[ \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+16}}{x-12} \le \dfrac{\sqrt{x+16}}{x+12},\\ x^2 + 16x \le 0. \end{cases} \] (6 баллов)
7. Найдите на прямой \[ 2x + 3y + 2 = 0 \] точку \(K(x,y)\), такую, что произведение её координат — наибольшее возможное. (6 баллов)
   
   Решения задач, написанных ниже, необходимо написать на бумаге, сфотографировать и отправить на проверку.
   
   
8. Докажите, что квадрат целого числа не может оканчиваться двумя нечётными цифрами. (12 баллов)
9. Про функцию \(f(x)\) известно, что \(f(x)\) — чётная, \(f(x)=x^2-2ax+a^2-1\) при \(x\ge0\) и график функции \(f(x)\) имеет с прямой \(y=2x-8\) ровно одну общую точку. Найдите значение параметра \(a\), напишите, каким уравнением задаётся \(f(x)\) при \(x<0\), и постройте график \(f(x)\). (12 баллов)
10. В прямоугольный треугольник \(ABC\), катеты которого \(AC=12\) и \(BC=5\), вписали окружность. На какие отрезки вписанная окружность делит биссектрису треугольника, проведённую из вершины \(B\)? (12 баллов)
11. Лиза выписала на доске все натуральные числа от 1 до 300 и затем стерла те, которые делятся на 6, а остальные оставила. Коля выписал все натуральные числа от 1 до 300 и затем стер те, которые делятся на 5, а остальные оставил. Сколько чисел одновременно входят в написанные на доске наборы Лизы и Коли? Сколько натуральных чисел от 1 до 300 не встретятся в оставленных наборах ни у Лизы, ни у Коли? (12 баллов)
12. Решите уравнение \[ \sqrt{6 - x} + \sqrt{x - 2} + 2\sqrt{(x - 2)(6 - x)} = 2. \] (12 баллов)

Решения задач

1. Вычислите значение выражения: \[ \frac{\sqrt{99} + \sqrt{363} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}}. \]
   Решение: \[ \sqrt{99} = 3\sqrt{11}, \quad \sqrt{363} = 11\sqrt{3}, \quad 3\sqrt{11} = 3\sqrt{11}. \] Подставим преобразованные корни в выражение: \[ \frac{3\sqrt{11} + 11\sqrt{3} - 3\sqrt{11}}{33\sqrt{3}} = \frac{11\sqrt{3}}{33\sqrt{3}} = \frac{11}{33} = \frac{1}{3}. \]
   Ответ: \(\frac{1}{3}\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ (x^2 + 27x - 57)^2 = (x^2 - 3x + 1)^2. \]
   Решение: Уравнение равносильно двум случаям: \begin{align*} 1) \quad x^2 + 27x - 57 &= x^2 - 3x + 1, \\ 30x &= 58, \\ x &= \frac{29}{15}. \end{align*} \begin{align*} 2) \quad x^2 + 27x - 57 &= -x^2 + 3x - 1, \\ 2x^2 + 24x - 56 &= 0, \\ x^2 + 12x - 28 &= 0. \end{align*} Решим квадратное уравнение: \[ D = 144 + 112 = 256, \quad x = \frac{-12 \pm 16}{2}, \quad x_1 = 2, \quad x_2 = -14. \]
   Ответ: \(-14; \; 2; \; \frac{29}{15}\).
   
   
3. Рассчитайте долю зарплаты отца в общем доходе семьи.
   Решение: Пусть общий доход семьи — \(100\%\). Увеличение зарплаты матери на \(100\%\) прибавляет \(30\%\), значит её зарплата составляет \(30\%\). Увеличение стипендии дочери на \(200\%\) прибавляет \(6\%\), значит её стипендия — \(3\%\). Тогда доля отца: \[ 100\ 30\ 3% = 67\%. \]
   Ответ: \(67\%\).
   
   
4. Радиус окружности, в которую вписана трапеция.
   Решение: Средняя линия трапеции \(10\), сумма оснований \(20\). Так как большее основание — диаметр, \(D = 2R\). Меньшее основание \(d = 20 - 2R\). Площадь трапеции: \[ S = \frac{D + d}{2} \cdot h = 10h = 40\sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad h = 4\sqrt{5}. \] Для равнобедренной трапеции: \[ h = \sqrt{c^2 - \left(\frac{D - d}{2}\right)^2}, \quad c = 10. \] \[ 4\sqrt{5} = \sqrt{10^2 - (2R - 10)^2} \Rightarrow (2R - 10)^2 = 20 \Rightarrow R = 5 \pm \sqrt{5}. \] Радиус \(R = 5 + \sqrt{5}\).
   Ответ: \(5 + \sqrt{5}\).
   
   
5. Найдите члены геометрической прогрессии.
   Решение: Пусть \(b_6 = a\), \(b_{10} = b\), тогда: \[ a^2 + b^2 = 136, \quad ab = 60. \] Решаем систему: \[ (a + b)^2 = 256 \Rightarrow a + b = \pm 16, \quad a - b = \pm 4. \] Возможные пары \((6, 10)\) и \((10, 6)\).
   Ответ: \(6\) и \(10\).
   
   
6. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+16}}{x-12} \le \dfrac{\sqrt{x+16}}{x+12}, \\ x^2 + 16x \le 0. \end{cases} \]
   Решение: Область определения \(x \ge -16\), \(x \neq \pm 12\). Первое неравенство приводит к \(x \in [-16; -12) \cup (-12; 12)\). Второе неравенство: \(x(x + 16) \le 0 \Rightarrow x \in [-16; 0]\). Пересечение решений:
   Ответ: \(x \in [-16; -12) \cup (-12; 0]\).
   
   
7. Найдите точку на прямой \(2x + 3y + 2 = 0\) с наибольшим произведением координат.
   Решение: Выразим \(y = -\frac{2x + 2}{3}\) и подставим в \(xy\): \[ f(x) = x \left(-\frac{2x + 2}{3}\right). \] Максимум достигается при \(x = -\frac{1}{2}\), \(y = -\frac{1}{3}\).
   Ответ: \(\left(-\dfrac{1}{2}; -\dfrac{1}{3}\right)\).
   
   
8. Доказательство: Квадрат целого числа не может оканчиваться двумя нечётными цифрами.
   Решение: Рассмотрим число по модулю \(4\). Квадрат любого целого числа: \[ 0^2 \equiv 0, \quad 1^2 \equiv 1, \quad 2^2 \equiv 0, \quad 3^2 \equiv 1 \mod 4. \] Если квадрат оканчивается двумя нечётными цифрами, число \(\equiv 11 \mod 4\), но: \[ 11 \equiv 3 \mod 4 \quad \Rightarrow \quad \text{Противоречие}. \] Следовательно, таких квадратов не существует.
   
   
9. Параметр \(a\) и функция \(f(x)\).
   Решение: Функция чётная: \(f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 1 \) для \(x \ge 0\). Уравнение \(f(x) = 2x - 8\): \[ x^2 - (2a + 2)x + a^2 + 7 = 0. \] Дискриминант: \[ D = -8a + 24 = 0 \Rightarrow a = 3. \] При \(x < 0\): \(f(x) = x^2 + 6x + 8\).
   Ответ: \(a = 3\), \(f(x) = x^2 + 6x + 8 \;\) при \(x < 0\).
   
   
10. Окружность в треугольнике \(ABC\).
    Решение: Гипотенуза \(AB = 13\). Радиус вписанной окружности \(r = 2\). Координаты центра \((2, 2)\). Биссектриса проходит через \(B(5, 0)\) и делит угол пополам. Уравнение биссектрисы: \(y = -\frac{26}{15}x + \frac{26}{3}\). Подставляя в уравнение окружности, находим точки пересечения и делит биссектрису на отрезки \(\boxed{BK = \frac{5}{2}}\) и \(\boxed{KD = \frac{13}{2}}\).
    
    
11. Количество чисел в наборах Лизы и Коли.
    Решение: Лиса стёрла числа, делящиеся на \(6\), Коля — на \(5\). Одновременно встречаются числа не делящиеся на \(6\) и \(5\). Всего чисел \(300\). Числа, делящиеся на НОК(5, 6) = 30: \(\left\lfloor \frac{300}{30} \right\rfloor = 10\). Оставшихся чисел: \(300 - \left(\frac{300}{6} + \frac{300}{5} - \frac{300}{30}\right) = 160\). Ответ для чисел, не попавших в оба набора: \(\boxed{160}\).
    
    
12. Решите уравнение: \[ \sqrt{6 - x} + \sqrt{x - 2} + 2\sqrt{(x - 2)(6 - x)} = 2. \]
    Решение: Обозначим \(a = \sqrt{6 - x}\), \(b = \sqrt{x - 2}\). Уравнение преобразуется: \[ a + b + 2ab = 2 \quad \Rightarrow \quad (a + b)^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad a + b = 2. \] Решаем систему: \[ a + b = 2, \quad a^2 + b^2 = 4. \] Решения возможны только при \(a = 1\), \(b = 1\), тогда \(x = 4\).
    Ответ: \(\boxed{4}\).