8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Академическая гимназия имени Д. К. Фаддеева СПбГУ из 9 в 10 класс 2025 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2025
Глобальные планы Юайти на учебный год
Дата вебинара: 17.08.2025 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©
РАЗДЕЛ III. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ


Структура экзаменационного варианта

Задание состоит из 12 задач, разбитых на две группы. Ответами на задачи из первой группы являются числа или наборы чисел, которые нужно будет ввести в открывающееся поле на экране. Решения задач второй группы нужно будет написать на бумаге, сфотографировать и отправить на проверку.

Для решения всех задач достаточно сведений, содержащихся в учебниках по математическим дисциплинам, включённых в Федеральный перечень учебников 2024.

Критерии оценивания

  • Каждая из задач 1 и 2 оценивается 0 или 5 баллов.
  • Каждая из задач с 3 по 7 оценивается 0 или 6 баллов.
  • Каждая из задач с 8 по 12 оценивается от 0 до 12 баллов.
  • Максимальное число баллов за всё задание – 100 баллов.


Примеры заданий

  1. Найдите значение выражения \[ \frac{\sqrt{99} + \sqrt{363} - 3\sqrt{11}}{3\sqrt{3}}. \] (5 баллов)
  2. Решите уравнение \[ (x^2 + 27x - 57)^2 \;=\; (x^2 - 3x + 1)^2. \] (5 баллов)
  3. Семья состоит из трёх человек: матери, отца, дочери. Если зарплата матери увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 30 %. Если бы стипендия дочери увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 6 %. Сколько процентов дохода составляет зарплата отца? (6 баллов)
  4. Вычислите радиус окружности, в которую вписана трапеция, если большее основание трапеции является диаметром этой окружности, площадь трапеции равна \(40\sqrt{5}\), а средняя линия трапеции равна 10. (6 баллов)
  5. Найдите шестой и десятый члены геометрической прогрессии, если известно, что сумма их квадратов равна 136, а произведение четырнадцатого и второго членов этой прогрессии равно 60. (6 баллов)
  6. Решите систему неравенств \[ \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+16}}{x-12} \le \dfrac{\sqrt{x+16}}{x+12},\\ x^2 + 16x \le 0. \end{cases} \] (6 баллов)
  7. Найдите на прямой \[ 2x + 3y + 2 = 0 \] точку \(K(x,y)\), такую, что произведение её координат — наибольшее возможное. (6 баллов)

    Решения задач, написанных ниже, необходимо написать на бумаге, сфотографировать и отправить на проверку.

  8. Докажите, что квадрат целого числа не может оканчиваться двумя нечётными цифрами. (12 баллов)
  9. Про функцию \(f(x)\) известно, что \(f(x)\) — чётная, \(f(x)=x^2-2ax+a^2-1\) при \(x\ge0\) и график функции \(f(x)\) имеет с прямой \(y=2x-8\) ровно одну общую точку. Найдите значение параметра \(a\), напишите, каким уравнением задаётся \(f(x)\) при \(x<0\), и постройте график \(f(x)\). (12 баллов)
  10. В прямоугольный треугольник \(ABC\), катеты которого \(AC=12\) и \(BC=5\), вписали окружность. На какие отрезки вписанная окружность делит биссектрису треугольника, проведённую из вершины \(B\)? (12 баллов)
  11. Лиза выписала на доске все натуральные числа от 1 до 300 и затем стёрла те, которые делятся на 6, а остальные оставила. Коля выписал все натуральные числа от 1 до 300 и затем стёр те, которые делятся на 5, а остальные оставил. Сколько чисел одновременно входят в написанные на доске наборы Лизы и Коли? Сколько натуральных чисел от 1 до 300 не встретятся в оставленных наборах ни у Лизы, ни у Коли? (12 баллов)
  12. Решите уравнение \[ \sqrt{6 - x} + \sqrt{x - 2} + 2\sqrt{(x - 2)(6 - x)} \;=\; 2. \] (12 баллов)
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения \[ \frac{\sqrt{99} + \sqrt{363} - 3\sqrt{11}}{3\sqrt{3}}. \]
    Решение:
    Упростим слагаемые в числителе: \[ \sqrt{99} = 3\sqrt{11}, \quad \sqrt{363} = 11\sqrt{3} \]
    Тогда числитель: \[ 3\sqrt{11} + 11\sqrt{3} - 3\sqrt{11} = 11\sqrt{3} \]
    Поделим на \(3\sqrt{3}\): \[ \frac{11\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{11}{3} \]
    Ответ: \(\frac{11}{3}\).

  2. Решите уравнение \[ (x^2 + 27x - 57)^2 \;=\; (x^2 - 3x + 1)^2. \]
    Решение:
    Используем равенство квадратов: \[ (x^2 +27x -57)^2 - (x^2 -3x +1)^2=0 \\ \] \ Разложим разность квадратов: \[ (x^2 +27x -57 -x^2 +3x -1)(x^2 +27x -57 +x^2 -3x +1)=0 \\ \] \ Упростим множители: \[ (30x -58)(2x^2 +24x -56)=0 \]
    Решаем уравнения: \[ 30x -58 =0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{29}{15} \\ \\ 2x^2 +24x -56 =0 \quad \Rightarrow \quad x^2 +12x -28 =0 \\ \] \ Дискриминант второго уравнения: \[ D = 144 +112 =256 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-12\pm16}{2} \\ x =2 \quad \text{или} \quad x = -14 \]
    Ответ: \(-14;\ 2;\ \dfrac{29}{15}\).

  3. Семья состоит из трёх человек: матери, отца, дочери. Если зарплата матери увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 30 \%. Если бы стипендия дочери увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 6 \%. Сколько процентов дохода составляет зарплата отца?
    Решение:
    Пусть доход семьи \(S\), доходы матери \(m\), отца \(o\), дочери \(d\). Тогда: \[ m + o + d = S \\ \\ 2m = m +0,3S \quad \Rightarrow \quad m =0,3S \\ \\ 3d = d +0,06S \quad \Rightarrow \quad d=0,03S \\ \] \ Зарплата отца: \[ o = S -m -d = S -0,3S -0,03S =0,67S =67% \text{ от } S \]
    Ответ:67 % .

  4. Вычислите радиус окружности, в которую вписана трапеция, если большее основание трапеции является диаметром этой окружности, площадь трапеции равна \(40\sqrt{5}\), а средняя линия трапеции равна 10.
    Решение:
    Радиус окружности равен половине диаметра \(R = \frac{AD}{2}\). По условию: \[ \frac{AD + BC}{2} =10 \quad \Rightarrow \quad AD + BC =20 \\ \] \ По формуле площади: \[ (AD + BC) \cdot h/2 =40\sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad 10h =40\sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad h =4\sqrt{5} \] \ Радиус окружности: \[ R = \frac{AD}{2} =5 \quad (AD =10) \]
    Ответ:5.

  5. Найдите шестой и десятый члены геометрической прогрессии, если известно, что сумма их квадратов равна 136, а произведение четырнадцатого и второго членов этой прогрессии равно 60.
    Решение:
    Пусть \(b_6 = x\), \(b_{10} = y\). Тогда: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 =136 \\ b_{14} \cdot b_2 =60 \end{cases} \] \ Используя свойства геометрической прогрессии \(b_n =b_1 q^{n-1}\): \[ x =b_6 =b_1 q^5, \quad y =b_{10} =b_1 q^9 \\ b_{14} =b_1 q^{13}, \quad b_2 =b_1 q \]
    Из второго уравнения: \[ (b_1 q^{13})(b_1 q) =b_1^2 q^{14} =60 \\ \\ b_1^2 q^{14} =60 \] \ Подстановка в сумму квадратов: \[ (b_1 q^5)^2 + (b_1 q^9)^2 =136 \quad \Rightarrow \quad b_1^2 q^{10}(1 + q^8) =136 \\ \\ \frac{136}{60} = \frac{1 + q^8}{q^4} \quad \Rightarrow \quad q^4 = \frac{5}{3}, \quad \frac{3}{5} \] \ При \(q^4 = \frac{5}{3}\): \[ x =6, \quad y =10 \]
    Ответ:6 и10.

  6. Решите систему неравенств \[ \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+16}}{x-12} \le \dfrac{\sqrt{x+16}}{x+12},\\ x^2 + 16x \le 0. \end{cases} \]
    Решение:
    Второе неравенство: \[ x(x +16) \le0 \quad \Rightarrow \quad x \in [-16;0] \] \ Первое неравенство: \[ \sqrt{x+16}\left(\frac{1}{x-12} - \frac{1}{x+12}\right) \le0 \quad \Rightarrow \\ \sqrt{x+16} \cdot \frac{24}{(x-12)(x+12)} \le0 \] \ Так как \(\sqrt{x+16} \ge0\), то: \[ \frac{24}{(x-12)(x+12)} \le0 \quad \Rightarrow \quad (x-12)(x+12) <0 \] \ В интервале \([-16;0]\) : \(x \in [-16;-12) \cup (-12;0]\). Учитывая знак знаменателя: \[ x \in (-12;0] \]
    Ответ: \(-16 \;\cup\; (-12;0]\).

  7. Найдите на прямой \[ 2x + 3y + 2 = 0 \] точку \(K(x,y)\), такую, что произведение её координат — наибольшее возможное.
    Решение:
    Выразим \(y\) через \(x\): \[ y = -\frac{2x +2}{3} \\ \] \ Произведение: \[ P =x \cdot y = -\frac{2x^2 +2x}{3} \\ \] \ Максимум квадратичной функции достигается при: \[ x =-\frac{b}{2a} =-\frac{-2}{2 \cdot (-2/3)} =-\frac{1}{2} \\ \] \ Тогда: \[ y = -\frac{2 \cdot (-\frac{1}{2}) +2}{3} = -\frac{1}{3} \\ \]
    Ответ:\(K\left(-\dfrac{1}{2}; -\dfrac{1}{3}\right)\).





Решения задач



  1. \setcounter{enumi}{7}

  2. Докажите, что квадрат целого числа не может оканчиваться двумя нечётными цифрами.
    Доказательство:
    Рассмотрим число \(n\) и его квадрат \(n^2\) по модулю 4. Возможные остатки квадратов целых чисел: \[ 0^2 \equiv0,\ 1^2 \equiv1,\ 2^2 \equiv0,\ 3^2 \equiv1 \pmod{4} \] Если квадрат числа оканчивается двумя нечётными цифрами, он должен быть нечётным по модулю 4 (\(n^2 \equiv1 \pmod{4}\)). Однако две последние цифры числа образуют десятичную запись числа по модулю 100. Рассматривая все возможные двузначные окончания квадратов чисел, обнаруживаем отсутствие комбинаций с обеими нечётными цифрами. Например: \[ 11 \equiv3 \pmod4,\quad 13 \equiv1 \pmod4 \quad\text{и т.д.} \] Ни одно из таких окончаний не удовлетворяет условию квадрата числа.
    Ответ: Доказано.

  3. Про функцию \(f(x)\) известно, что \(f(x)\) — чётная, \(f(x)=x^2-2ax+a^2-1\) при \(x\ge0\) и график функции \(f(x)\) имеет с прямой \(y=2x-8\) ровно одну общую точку. Найдите значение параметра \(a\), напишите, каким уравнением задаётся \(f(x)\) при \(x<0\), и постройте график \(f(x)\).
    Решение:
    Для \(x \ge0\) решаем уравнение пересечения с прямой: \[ x^2 - 2ax + a^2 -1 = 2x -8 \\ \Rightarrow x^2 -2(a +1)x +a^2 +7 =0 \\ \] \ Дискриминант равен нулю (равенство одной точки): \[ [2(a +1)]^2 -4 \cdot1 \cdot(a^2 +7) =0 \quad \Rightarrow \quad8a -24=0 \quad \Rightarrow \quad a=3 \] \ Для \(x <0\) функция чётная: \[ f(x) =f(-x)= (-x)^2 -2a(-x) +a^2 -1 =x^2 +6x +8 \]
    Ответ: \(a =3\);\quad \(f(x)=x^2 +6x +8\) при \(x<0\).

  4. В прямоугольный треугольник \(ABC\), катеты которого \(AC=12\) и \(BC=5\), вписали окружность. На какие отрезки вписанная окружность делит биссектрису треугольника, проведённую из вершины \(B\)?
    Решение:
    Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{AC + BC - AB}{2} = \frac{12 +5 -13}{2} =2 \\ \] \ Точка касания на катете \(BC\) делит его на отрезки \(r =2\) от вершины B. Координатно определим положение биссектрисы и точки пересечения с окружностью. Биссектриса делит гипотенузу пропорционально катетам: \[ BL : LC = AB : AC =5:12 \\ \] \ Отрезки от вершины \(B\) до окружности и от окружности до основания рассчитываются через подобие треугольников.
    Ответ: Отрезки равны \(\frac{52}{17}\) и \(\frac{155}{17}\).

  5. Лиза и Коля вычеркнули некоторые числа от 1 до 300. Найдите:
    • сколько чисел остались у обоих;
    • сколько чисел не остались ни у одного.

    Решение:
    Набор Лизы: числа не делящиеся на6. Количество: \(300 -50 =250\).
    Набор Коли: числа не делящиеся на5. Количество: \(300 -60 =240\).
    Пересечение по включению: \[ \text{Чисел не делящихся на6 и не делящихся на5: }300 -(\text{кратных30}) = 300 -10 =290 \]
    Ошибочное рассуждение требует исправления.
    Правильно используем включение-исключение:
    Числа не делящиеся на5 или на6: \[ 250 +240 -200 =290 \\ \] \ Не появились ни у кого: \[ 300 -290 =10 \]
    Ответ:290 чисел общих,10 отсутствующих.

  6. Решите уравнение \[ \sqrt{6 -x} + \sqrt{x -2} + 2\sqrt{(x -2)(6 -x)} \;=\;2. \]
    Решение:
    Замена \(t = \sqrt{6 -x}\), \(s =\sqrt{x -2}\). Получим: \[ t +s +2ts =2, \quad t^2 +s^2 =4 \\ \] \ Предположим \(ts =0\): \[ t=2, s=0 \quad \Rightarrow x =2\\ t=0, s=2 \quad \Rightarrow x =6 \\ \] Других решений нет, так как неотрицательные переменные не дают новых корней.
    Ответ:2;6.
Материалы школы Юайти