Академическая гимназия имени Д. К. Фаддеева СПбГУ из 8 в 9 класс 2025 год вариант 1

Структура экзаменационного варианта

Задание состоит из 12 задач, разбитых на две группы. Ответами на задачи из первой группы являются числа или наборы чисел, которые нужно будет ввести в открывающееся поле на экране. Решения задач второй группы нужно будет написать на бумаге, сфотографировать и отправить на проверку.

Для решения всех задач достаточно сведений, содержащихся в учебниках по математическим дисциплинам, включенных в Федеральный перечень учебников 2024.

Критерии оценивания

• Каждая из задач 1 и 2 оценивается 0 или 5 баллов.
• Каждая из задач с 3 по 7 оценивается 0 или 6 баллов.
• Каждая из задач с 8 по 12 оценивается от 0 до 12 баллов.
• Максимальное число баллов за все задание – 100 баллов.

Пример заданий

1. Найдите значение выражения \[ (\sqrt{5} - 2)^2(9 + 4\sqrt{5}) \;-\; 2\sqrt{\frac{5^4}{9}}. \] (5 баллов)
2. Решите неравенство \[ \frac{x+4}{5} \;-\;\frac{3x-1}{2} \;\le\; 2(x-1). \] (5 баллов)
3. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9. Если из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то получится данное число. Найдите это число. (6 баллов)
4. Найдите площадь треугольника со сторонами 10, 13, 13 см. (6 баллов)
5. На день рождения Маша купила 15 шоколадных конфет и 9 пирожных. Какое наибольшее количество гостей может пригласить Маша, чтобы и конфеты, и пирожные разделить поровну между всеми, включая её саму? (6 баллов)
6. Решите уравнение \[ \Bigl(\frac{5x-2}{2x^2}\Bigr)^2 \;+\;\frac{2-5x}{2x^2} \;=\; 0. \] (6 баллов)
7. Найдите координаты точек пересечения графиков функций \[ y = x + 2 \quad\text{и}\quad y = 2x^2 + 4x - 3. \] (6 баллов)

Решения задач, написанных ниже, необходимо написать на бумаге, сфотографировать и отправить на проверку.


8. При каких значениях параметра \(m\) два квадратных трёхчлена \[ x^2 - m \quad\text{и}\quad x^2 + 5x \] имеют общий корень? Ответ обоснуйте. (12 баллов)
9. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) провели биссектрису \(AL\) угла \(A\), причём точка \(L\) лежит на боковой стороне \(BC\). Точку \(L\) соединили с основанием высоты \(BH\), при этом отрезок \(LH\) оказался параллельным стороне \(AB\). Найдите \(BL\), если длина \(AC\) равна 8. Ответ обоснуйте. (12 баллов)
10. Найдите остаток от деления на 3 числа \[ 2^2 + 32^2 + 332^2 + 3332^2 + \dots + \underbrace{33\ldots3}_{2024\text{ троек}}2^2. \] Ответ обоснуйте. (12 баллов)
11. Докажите, что число \[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} - \sqrt{2} + \sqrt{3} \] является корнем уравнения \[ x^2 = 1. \] Обоснуйте свой ответ. (12 баллов)
12. Парабола \[ y = ax^2 + bx + c \] проходит через точку \((1;1)\) и высекает на оси абсцисс отрезок длиной 6. Её вершина имеет абсциссу \(x_0 = -1\). Найдите коэффициенты \(a,b,c\). (12 баллов)

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ (\sqrt{5} - 2)^2(9 + 4\sqrt{5}) - 2\sqrt{\frac{5^4}{9}} \]
   Решение:
   Разложим первый множитель: \[ (\sqrt{5} - 2)^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}. \] Умножим на $9 + 4\sqrt{5}$: \[ (9 - 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5}) = 9^2 - (4\sqrt{5})^2 = 81 - 80 = 1. \] Вычислим второе слагаемое: \[ 2\sqrt{\frac{5^4}{9}} = 2 \cdot \frac{25}{3} = \frac{50}{3}. \] Итого: \[ 1 - \frac{50}{3} = -\frac{47}{3}. \]
   Ответ: $-\frac{47}{3}$.
   
   
2. Решите неравенство: \[ \frac{x+4}{5} - \frac{3x-1}{2} \leq 2(x-1). \]
   Решение:
   Умножим обе части на 10: \[ 2(x + 4) - 5(3x - 1) \leq 20(x - 1). \] Раскроем скобки: \[ 2x + 8 - 15x + 5 \leq 20x - 20. \] Сократим подобные: \[ -13x + 13 \leq 20x - 20. \] Перенесем все члены влево: \[ -33x \leq -33. \] Разделим на $-33$ (знак неравенства изменится): \[ x \geq 1. \]
   Ответ: $x \geq 1$.
   
   
3. Найдите двузначное число, удовлетворяющее условиям: при делении на произведение его цифр получается частное 3 и остаток 9; квадрат суммы цифр минус произведение цифр равно этому числу.
   Решение:
   Пусть число имеет цифры $a$ (десятки) и $b$ (единицы). Условия дают уравнения: \[ 10a + b = 3ab + 9, \] \[ (a + b)^2 - ab = 10a + b. \] Первое уравнение преобразуем: \[ 10a + b - 3ab = 9 \quad \Rightarrow \quad 3ab = 10a + b - 9. \] Подбором находим число 63: $a = 6$, $b=3$: \[ 63 = 3 \cdot 6 \cdot 3 + 9 = 54 + 9, \] \[ (6 + 3)^2 - 6 \cdot 3 = 81 - 18 = 63. \]
   Ответ: 63.
   
   
4. Найдите площадь треугольника со сторонами 10, 13, 13 см.
   Решение:
   Треугольник равнобедренный с основанием 10 см и боковыми сторонами 13 см. Высота $h$ из вершины к основанию: \[ h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}. \] Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2. \]
   Ответ: 60 см².
   
   
5. Какое наибольшее количество гостей может пригласить Маша, если у неё 15 конфет и 9 пирожных?
   Решение:
   Число гостей $k$ должно делить числа $15$ и $9$, учитывая Машу: \[ k + 1 = \text{НОД}(15, 9) = 3. \] Значит, количество гостей: $3 - 1 = 2$.
   Ответ: 2.
   
   
6. Решите уравнение: \[ \left(\frac{5x-2}{2x^2}\right)^2 + \frac{2-5x}{2x^2} = 0. \]
   Решение:
   Обозначим $y = \frac{5x - 2}{2x^2}$. Тогда уравнение принимает вид: \[ y^2 - y = 0 \quad \Rightarrow \quad y(y - 1) = 0. \] Для $y=0$: \[ \frac{5x - 2}{2x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2}{5}. \] Для $y=1$: \[ \frac{5x - 2}{2x^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 - 5x + 2 = 0. \] Решения: \[ x = \frac{5 \pm 3}{4} \Rightarrow x = 2 \text{ или } x = 0.5. \]
   Ответ: $2$; $0.5$; $\frac{2}{5}$.
   
   
7. Найдите точки пересечения графиков $y = x + 2$ и $y = 2x^2 + 4x - 3$.
   Решение:
   Приравняем выражения: \[ x + 2 = 2x^2 + 4x - 3. \] Преобразуем: \[ 2x^2 + 3x - 5 = 0. \] Решения квадратного уравнения: \[ x = \frac{-3 \pm 7}{4} \Rightarrow x = 1 \text{ или } x = -2.5. \] Соответствующие $y$: \[ y = 1 + 2 = 3; \quad y = -2.5 + 2 = -0.5. \]
   Ответ: $(1; 3)$ и $(-2.5; -0.5)$.
   
   
8. При каких значениях параметра $m$ квадратные трёхчлены $x^2 - m$ и $x^2 + 5x$ имеют общий корень?
   Решение:
   Пусть общий корень $x$: \[ x^2 - m = 0 \quad \text{и} \quad x^2 + 5x = 0. \] Из второго уравнения: $x(x + 5) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = -5$. Подставляем в первое уравнение: \[ 0^2 - m = 0 \Rightarrow m = 0; \quad (-5)^2 - m = 0 \Rightarrow m = 25. \]
   Ответ: $m=0$ или $m=25$.
   
   
9. В равнобедренном треугольнике $ABC$ найти длину $BL$, если $AC = 8$ см.
   Решение:
   Треугольник равнобедренный с основанием $AC = 8$ см. Биссектриса $AL$ делит $BC$ пропорционально сторонам: $BL/LC = AB/AC$. По условию параллельность отрезка $LH$ приводит к $BL = LC$, так как треугольник оказывается равновекторным. В итоге $BL = \frac{1}{2}BC = 4$ см.
   Ответ: $4$ см.
   
   
10. Найдите остаток от деления суммы квадратов вида $2^2, 32^2, \dots$ на 3.
    Решение:
    Каждое число вида $33\ldots32$ даёт остаток 2 при делении на 3. Квадрат каждого числа: $2^2 \equiv 1 \mod 3$. Всего слагаемых $2025$, сумма остатков: $2025 \times 1 \equiv 0 \mod 3$.
    Ответ: $0$.
    
    
11. Доказательство равенства $x^2 = 1$ для данного выражения:
    Решение:
    После упрощения выражения было выявлено противоречие. Видимо, в условии ошибка. Следует предположить, что возможный трюк или переформулировка выражения показывают требуемое.
    Ответ: Требуется дополнительный анализ.
    
    
12. Парабола параметров $a, b, c$:
    Решение:
    Условия дают:
    1. $a + b + c = 1$ (прохождение через $(1,1)$)
    2. $x = -1$ вершины $\Rightarrow b = 2a$.
    3. Длина корневого отрезка $6$: \[ \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{a^2}} = 6 \Rightarrow b^2 - 4ac = 36a^2. \]
    Решаем систему: \[ b = 2a; \quad c = -8a; \quad a = -\frac{1}{5}, b = -\frac{2}{5}, c = \frac{8}{5}. \]
    Ответ: $a = -\frac{1}{5}$, $b = -\frac{2}{5}$, $c = \frac{8}{5}$.