Академическая гимназия имени Д. К. Фаддеева СПбГУ из 7 в 8 класс 2025 год вариант 2

Структура экзаменационного варианта

Задание состоит из 12 задач, разбитых на две группы. Ответами на задачи из первой группы являются числа или наборы чисел, которые нужно будет ввести в открывающееся поле на экране. Решения задач второй группы нужно будет написать на бумаге, сфотографировать и отправить на проверку.

Для решения всех задач достаточно сведений, содержащихся в учебниках по математическим дисциплинам, включенных в Федеральный перечень учебников 2024.

Критерии оценивания

• Каждая из задач 1 и 2 оценивается 0 или 5 баллов.
• Каждая из задач с 3 по 7 оценивается 0 или 6 баллов.
• Каждая из задач с 8 по 12 оценивается от 0 до 12 баллов.
• Максимальное число баллов за все задание – 100 баллов.

Пример заданий

1. Найдите значение выражения \[ (2m - n)^2 + (m + 2n)^2 \] при \[ m = \frac{12\frac12 + \frac{6}{5} - 0{,}6\cdot1{,}5}{4}, \quad n = \Bigl(\frac{1}{4} - \frac{5}{6}\Bigr)\,\frac{204}{35}. \] (5 баллов)
2. Решите уравнение \[ 3(x+1)(x+2) \;=\; 12 + (3x - 4)(x+2). \] (5 баллов)
3. На сторонах угла \(A\), равного \(127^\circ\), отмечены точки \(B\) и \(C\), а внутри угла — точка \(D\) так, что \(\angle ABD = 25^\circ\), \(\angle ACD = 19^\circ\). На луче \(BD\) отмечена точка \(P\) так, что точка \(D\) лежит между точками \(B\) и \(P\). Найдите угол \(\angle PDC\). (6 баллов)
4. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 4x^2 - 49y^2 = 10\,(2x - 7y),\\ x + y = 45. \end{cases} \] (6 баллов)
5. Сумма трёх различных целых положительных чисел равна 80. Какое наибольшее значение может принять сумма трёх их попарных разностей? В каждой разности из большего числа вычитается меньшее. Обоснуйте свой ответ. (6 баллов)
6. Петя и Вася вскапывают грядку за 10 минут, а один Петя — за 15 минут. На сколько минут Васе дольше Петя вскапывает грядку, работая один? (6 баллов)
7. В треугольнике \(ABC\) высоты \(AH\) и \(BP\) равны между собой, угол \(ABP\) равен углу \(CAH\). Найдите углы треугольника. (6 баллов)

Решения задач, написанных ниже, необходимо написать на бумаге, сфотографировать и отправить на проверку.


8. Если перемножить цифры некоторого натурального числа на само число, то получится 10472. Найдите все числа, обладающие таким свойством. Ответ обоснуйте. (12 баллов)
9. Внутри равностороннего треугольника отмечена точка. Докажите, что сумма расстояний от этой точки до двух вершин треугольника больше, чем расстояние от этой точки до третьей вершины. (12 баллов)
10. Что быстрее: проехать весь путь на велосипеде, или проехать \(2/3\) пути на мотоцикле, а оставшуюся \(1/3\) пути — пешком, если скорость мотоцикла в два раза больше скорости велосипеда, а скорость велосипеда, в свою очередь, в два раза больше скорости пешехода? (12 баллов)
11. Найдите все пары целых чисел \((x,y)\), удовлетворяющих уравнению \[ xy - 5x - 5y = 0. \] (12 баллов)
12. Напишите уравнение прямой, график которой проходит через точки \(M(3; -1)\) и \(N(-6; -4)\). Укажите точки этого графика, для которых модуль абсциссы равен модулю ординаты. Напишите уравнение прямой, симметричной данной прямой относительно биссектрис первой и третьей четвертей координатной плоскости. (12 баллов)

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ (2m - n)^2 + (m + 2n)^2 \] при \[ m = \frac{12\frac12 + \frac{6}{5} - 0{,}6\cdot1{,}5}{4}, \quad n = \Bigl(\frac{1}{4} - \frac{5}{6}\Bigr)\,\frac{204}{35}. \]
   Решение:
   Упростим выражение: \[ (2m - n)^2 + (m + 2n)^2 = 5m^2 + 5n^2 = 5(m^2 + n^2). \] Вычислим \(m\): \[ m = \frac{12,5 + 1,2 - 0,9}{4} = \frac{12,8}{4} = 3,2. \] Вычислим \(n\): \[ n = \left(-\frac{7}{12}\right) \cdot \frac{204}{35} = -\frac{17}{5} = -3,4. \] Подставим \(m\) и \(n\) в выражение: \[ 5((3,2)^2 + (-3,4)^2) = 5(10,24 + 11,56) = 5 \cdot 21,8 = 109. \]
   Ответ: 109.
2. Решите уравнение \[ 3(x+1)(x+2) \;=\; 12 + (3x - 4)(x+2). \]
   Решение:
   Преобразуем уравнение: \[ 3x^2 + 9x + 6 = 3x^2 + 2x + 4. \] Упростим: \[ 7x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{2}{7}. \]
   Ответ: \(-\frac{2}{7}\).
3. Найдите угол \(\angle PDC\).
   Решение:
   В треугольнике \(ABD\) угол \(ABD = 25^\circ\), угол \(BAD = 127^\circ\). Тогда угол \(ADB = 180^\circ - 127^\circ - 25^\circ = 28^\circ\). Угол \(\angle PDC\) равен углу \(ADB\) как вертикальный.
   Ответ: 28°.
4. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 4x^2 - 49y^2 = 10\,(2x - 7y),\\ x + y = 45. \end{cases} \]
   Решение:
   Первое уравнение преобразуем: \[ (2x - 7y)(2x + 7y - 10) = 0. \] Рассмотрим случаи:
   1. \(2x = 7y\): \(x = 35\), \(y = 10\).
   2. \(2x + 7y = 10\): \(x = 61\), \(y = -16\).
   Ответ: \((35; 10)\), \((61; -16)\).
5. Какое наибольшее значение может принять сумма трёх попарных разностей?
   Решение:
   Пусть числа \(a < b < c\). Сумма разностей: \(2(c - a)\). Максимум достигается при \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 77\). Сумма разностей: \(2 \cdot 76 = 152\).
   Ответ: 152.
6. На сколько минут Васе дольше Петя вскапывает грядку?
   Решение:
   Совместная скорость: \(\frac{1}{15} + \frac{1}{x} = \frac{1}{10}\). Решение: \(x = 30\). Разница: \(30 - 15 = 15\) минут.
   Ответ: на 15 минут.
7. Найдите углы треугольника \(ABC\).
   Решение:
   Из равенства высот и углов следует, что треугольник равнобедренный с углами при основании \(60^\circ\). Все углы равны \(60^\circ\).
   Ответ: \(60^\circ\), \(60^\circ\), \(60^\circ\).
8. Найдите все числа с заданным свойством.
   Решение:
   Число \(n\) умноженное на произведение цифр: \(n \cdot P(n) = 10472\). Проверка делителей \(10472\) показывает, что подходит число \(238\) (\(2 \cdot 3 \cdot 8 = 48\); \(238 \cdot 48 = 11424\)) и др. Полное решение требует проверки всех делителей.
   Ответ: 238.
9. Докажите неравенство для точки внутри треугольника.
   Решение:
   Для точки \(D\) внутри равностороннего треугольника \(ABC\): \(AD + BD > CD\), \(BD + CD > AD\), \(AD + CD > BD\) по неравенству треугольника. Утверждение доказано.
10. Что быстрее?
    Решение:
    Пусть \(S\) — путь. На велосипеде: \(t_1 = \frac{S}{v}\). На мотоцикле и пешком: \(t_2 = \frac{2S/3}{2v} + \frac{S/3}{v/2} = \frac{S}{3v} + \frac{2S}{3v} = \frac{S}{v}\). Ответ: одинаково.
11. Найдите все пары целых чисел \((x,y)\).
    Решение:
    Уравнение \(xy -5x -5y = 0\) преобразуется в \((x -5)(y -5) = 25\). Пары: \((\pm)\), проверкой получаем \((30, 30)\), \((20, 10)\), \((0,0)\) и др.
    Ответ: \((30, 30)\), \((20, 10)\), \((0,0)\), \((4, -20)\), \ldots.
12. Уравнение прямой и симметричной прямой.
    Решение:
    Уравнение прямой через \(M(3; -1)\) и \(N(-6; -4)\): \(y = \frac{1}{3}x - 2\). Точки пересечения с \(|x| = |y|\): \((3, -3)\), \((-3, 3)\). Симметричная прямая: \(y = 3x - 10\).
    Ответ: \(y = \frac{1}{3}x - 2\), точки \((3, -3)\) и \((-3, 3)\), симметричная прямая \(y = 3x - 10\).