Академическая гимназия имени Д. К. Фаддеева СПбГУ из 7 в 8 класс 2025 год вариант 1

Структура экзаменационного варианта

Задание состоит из 12 задач, разбитых на две группы. Ответами на задачи из первой группы являются числа или наборы чисел, которые нужно будет ввести в открывающееся поле на экране. Решения задач второй группы нужно будет написать на бумаге, сфотографировать и отправить на проверку.

Для решения всех задач достаточно сведений, содержащихся в учебниках по математическим дисциплинам, включенных в Федеральный перечень учебников 2024.

Критерии оценивания

• Каждая из задач 1 и 2 оценивается 0 или 5 баллов.
• Каждая из задач с 3 по 7 оценивается 0 или 6 баллов.
• Каждая из задач с 8 по 12 оценивается от 0 до 12 баллов.
• Максимальное число баллов за все задание – 100 баллов.

Пример заданий

1. Найдите значение выражения \[ (2m - n)^2 + (m + 2n)^2 \] при \[ m = \frac{12\frac12 + \frac{6}{5} - 0{,}6\cdot1{,}5}{4}, \quad n = \Bigl(\frac{1}{4} - \frac{5}{6}\Bigr)\,\frac{204}{35}. \] (5 баллов)
2. Решите уравнение \[ 3(x+1)(x+2) \;=\; 12 + (3x - 4)(x+2). \] (5 баллов)
3. На сторонах угла \(A\), равного \(127^\circ\), отмечены точки \(B\) и \(C\), а внутри угла — точка \(D\) так, что \(\angle ABD = 25^\circ\), \(\angle ACD = 19^\circ\). На луче \(BD\) отмечена точка \(P\) так, что точка \(D\) лежит между точками \(B\) и \(P\). Найдите угол \(\angle PDC\). (6 баллов)
4. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 4x^2 - 49y^2 = 10\,(2x - 7y),\\ x + y = 45. \end{cases} \] (6 баллов)
5. Сумма трёх различных целых положительных чисел равна 80. Какое наибольшее значение может принять сумма трёх их попарных разностей? В каждой разности из большего числа вычитается меньшее. Обоснуйте свой ответ. (6 баллов)
6. Решите уравнение \[ x^4 - 5x^2 - 36 = 0. \] (6 баллов)
7. В треугольнике \(ABC\) высоты \(AH\) и \(BP\) равны между собой, угол \(ABP\) равен углу \(CAH\). Найдите углы треугольника. (6 баллов)
   
   Решения задач, написанных ниже, необходимо написать на бумаге, сфотографировать и отправить на проверку.
   
   
8. Найдите значение выражения \[ \bigl(-\sqrt{245} - \bigl(8\sqrt{5} - (3\sqrt{180} - \sqrt{45})\bigr)\bigr). \] (12 баллов)
9. В параллелограмме \(ABCD\), \(AB = \sqrt{45}\), \(AC = \sqrt{409}\), высота \(BH\), опущенная на сторону \(AD\), равна 3. Найдите \(BC\). (12 баллов)
10. Что быстрее: проехать весь путь на велосипеде, или проехать \(2/3\) пути на мотоцикле, а оставшуюся \(1/3\) пути — пешком, если скорость мотоцикла в два раза больше скорости велосипеда, а скорость велосипеда, в свою очередь, в два раза больше скорости пешехода? (12 баллов)
11. Найдите все пары целых чисел \((x,y)\), удовлетворяющих уравнению \[ xy - 5x - 5y = 0. \] (12 баллов)
12. Решите систему неравенств \[ \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+7}}{x-6} \ge 0,\\ x^2 \le 49. \end{cases} \] (12 баллов)

1. Задача. Найдите значение выражения $(2m-n)^2+(m+2n)^2$ при $m=\frac{12\frac12+\frac{6}{5}-0{,}6\cdot 1{,}5}{4}$ и $n=\left(\frac{1}{4}-\frac{5}{6}\right)\frac{204}{35}$.
   Решение. Вычислим $m$: $12\frac12=\frac{25}{2}$, $0{,}6\cdot 1{,}5=0{,}9=\frac{9}{10}$. Тогда $\frac{25}{2}+\frac{6}{5}-\frac{9}{10}=\frac{125}{10}+\frac{12}{10}-\frac{9}{10}=\frac{128}{10}=\frac{64}{5}$, поэтому $m=\frac{\frac{64}{5}}{4}=\frac{16}{5}$. Вычислим $n$: $\frac{1}{4}-\frac{5}{6}=\frac{3}{12}-\frac{10}{12}=-\frac{7}{12}$, значит $n=-\frac{7}{12}\cdot\frac{204}{35}=-\frac{7\cdot 17}{35}=-\frac{17}{5}$. Тогда $2m-n=\frac{32}{5}+\frac{17}{5}=\frac{49}{5}$, $m+2n=\frac{16}{5}-\frac{34}{5}=-\frac{18}{5}$. Получаем $\left(\frac{49}{5}\right)^2+\left(-\frac{18}{5}\right)^2=\frac{2401+324}{25}=\frac{2725}{25}=109$.
   Ответ. $109$.
2. Задача. Решите уравнение $3(x+1)(x+2)=12+(3x-4)(x+2)$.
   Решение. Раскроем скобки: $3(x+1)(x+2)=3(x^2+3x+2)=3x^2+9x+6$. Правая часть: $12+(3x-4)(x+2)=12+(3x^2+2x-8)=3x^2+2x+4$. Тогда $3x^2+9x+6=3x^2+2x+4$, откуда $7x=-2$ и $x=-\frac{2}{7}$.
   Ответ. $x=-\frac{2}{7}$.
3. Условие. На сторонах угла $A$, равного $127^\circ$, отмечены точки $B$ и $C$, а внутри угла точка $D$ так, что $\angle ABD=25^\circ$, $\angle ACD=19^\circ$. На луче $BD$ отмечена точка $P$ так, что точка $D$ лежит между точками $B$ и $P$. Найдите угол $\angle PDC$.
   Дано. $\angle BAC=127^\circ$, $\angle ABD=25^\circ$, $\angle ACD=19^\circ$, $P$ лежит на луче $BD$, $D$ между $B$ и $P$. Найти: $\angle PDC$.
   Решение. Обозначим $\angle BAD=\alpha$, $\angle DAC=\beta$, тогда $\alpha+\beta=127^\circ$. В треугольнике $ABD$ имеем $\angle ADB=180^\circ-25^\circ-\alpha=155^\circ-\alpha$. В треугольнике $ACD$ имеем $\angle CDA=180^\circ-19^\circ-\beta=161^\circ-\beta$. Эти углы прилежат к лучу $DA$ по разные стороны, поэтому их сумма равна внешнему углу между лучами $DB$ и $DC$ вокруг точки $D$: \[ \angle ADB+\angle CDA=(155^\circ-\alpha)+(161^\circ-\beta)=316^\circ-(\alpha+\beta)=189^\circ. \] Полный угол вокруг точки $D$ равен $360^\circ$, значит внутренний угол $\angle BDC=360^\circ-189^\circ=171^\circ$. Так как луч $DP$ является продолжением луча $DB$, углы $\angle BDC$ и $\angle PDC$ смежные, поэтому $\angle PDC=180^\circ-171^\circ=9^\circ$.
   Ответ. $\angle PDC=9^\circ$.
4. Задача. Решите систему уравнений $\begin{cases}4x^2-49y^2=10(2x-7y),\\ x+y=45.\end{cases}$
   Решение. Заметим, что $4x^2-49y^2=(2x-7y)(2x+7y)$. Тогда \[ (2x-7y)(2x+7y)=10(2x-7y), \] \[ (2x-7y)(2x+7y-10)=0. \] Отсюда либо $2x-7y=0$, либо $2x+7y-10=0$. Если $2x-7y=0$, то $x=\frac{7}{2}y$, и из $x+y=45$ получаем $\frac{9}{2}y=45$, значит $y=10$, $x=35$. Если $2x+7y=10$, то из $x=45-y$ имеем $2(45-y)+7y=10$, откуда $5y=-80$, значит $y=-16$, $x=61$.
   Ответ. $(x,y)=(35,10)$ или $(61,-16)$.
5. Задача. Сумма трёх различных целых положительных чисел равна $80$. Найдите наибольшее значение суммы трёх их попарных разностей, если в каждой разности из большего числа вычитается меньшее.
   Решение. Пусть числа равны $a<b<c$. Тогда сумма разностей равна $(b-a)+(c-b)+(c-a)=2c-2a=2(c-a)$. Значит, нужно максимально увеличить разность $c-a$. При фиксированном $a$ наименьшее возможное $b$ равно $a+1$, тогда $c=80-a-(a+1)=79-2a$, и $c-a=79-3a$. Это выражение уменьшается при увеличении $a$, поэтому максимума оно достигает при минимальном $a=1$. Тогда $b=2$, $c=77$, и сумма разностей равна $(2-1)+(77-2)+(77-1)=1+75+76=152$.
   Ответ. $152$.
6. Задача. Решите уравнение $x^4-5x^2-36=0$.
   Решение. Сделаем замену $t=x^2$. Тогда получаем квадратное уравнение $t^2-5t-36=0$. Разложим на множители: $(t-9)(t+4)=0$, значит $t=9$ или $t=-4$. Так как $t=x^2\ge 0$, подходит только $t=9$. Тогда $x^2=9$, откуда $x=3$ или $x=-3$.
   Ответ. $x=-3$ или $x=3$.
7. Условие. В треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $BP$ равны между собой, угол $\angle ABP$ равен углу $\angle CAH$. Найдите углы треугольника.
   Дано. $AH\perp BC$, $BP\perp AC$, $AH=BP$, $\angle ABP=\angle CAH$. Найти: $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$.
   Решение. Рассмотрим треугольники $ABP$ и $CAH$. У них $\angle APB=90^\circ$ (так как $BP\perp AC$ и $P$ лежит на $AC$) и $\angle AHC=90^\circ$ (так как $AH\perp BC$ и $H$ лежит на $BC$). По условию $\angle ABP=\angle CAH$, а также $BP=AH$. Следовательно, треугольники $ABP$ и $CAH$ равны по признаку угол--сторона--угол. Тогда $AB=AC$, а также $\angle BAP=\angle ACH$. Так как $P$ лежит на $AC$, то $\angle BAP=\angle BAC=\angle A$, а так как $H$ лежит на $BC$, то $\angle ACH=\angle ACB=\angle C$. Значит, $\angle A=\angle C$. Из $AB=AC$ следует $\angle B=\angle C$. Тогда $\angle A=\angle B=\angle C$, а сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому каждый угол равен $60^\circ$.
   Ответ. $\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$.
8. Задача. Найдите значение выражения $-\sqrt{245}-\left(8\sqrt{5}-\left(3\sqrt{180}-\sqrt{45}\right)\right)$.
   Решение. Упростим корни: $\sqrt{245}=\sqrt{49\cdot 5}=7\sqrt{5}$, $\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}$, $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$. Тогда $3\sqrt{180}-\sqrt{45}=3\cdot 6\sqrt{5}-3\sqrt{5}=15\sqrt{5}$. Далее $8\sqrt{5}-15\sqrt{5}=-7\sqrt{5}$. Получаем $-\sqrt{245}-(-7\sqrt{5})=-7\sqrt{5}+7\sqrt{5}=0$.
   Ответ. $0$.
9. Условие. В параллелограмме $ABCD$ дано $AB=\sqrt{45}$, $AC=\sqrt{409}$, высота $BH$, опущенная на сторону $AD$, равна $3$. Найдите $BC$.
   Дано. $ABCD$ – параллелограмм, $AB=\sqrt{45}$, $AC=\sqrt{409}$, $BH\perp AD$, $BH=3$. Найти: $BC$.
   Решение. В прямоугольном треугольнике $ABH$ по теореме Пифагора $AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{45-9}=\sqrt{36}=6$. Опустим из точки $C$ перпендикуляр $CK$ на прямую $AD$. Так как $BC\parallel AD$, то расстояние от любых точек прямой $BC$ до прямой $AD$ одинаково, значит $CK=BH=3$. Четырёхугольник $BHKC$ является прямоугольником, поэтому $HK=BC$. В параллелограмме $BC=AD$, значит $HK=AD$, и тогда $AK=AH+HK=6+AD$. В прямоугольном треугольнике $AKC$ имеем \[ AC^2=AK^2+CK^2=(AD+6)^2+3^2. \] Подставим $AC^2=409$: $409=(AD+6)^2+9$, откуда $(AD+6)^2=400$, значит $AD+6=20$ и $AD=14$. Тогда $BC=AD=14$.
   Ответ. $BC=14$.
10. Задача. Сравните, что быстрее: проехать весь путь на велосипеде или проехать $\frac{2}{3}$ пути на мотоцикле, а оставшуюся $\frac{1}{3}$ пути пешком, если скорость мотоцикла в 2 раза больше скорости велосипеда, а скорость велосипеда в 2 раза больше скорости пешехода.
    Решение. Пусть скорость пешехода равна $v$, тогда скорость велосипеда $2v$, а скорость мотоцикла $4v$. Пусть весь путь равен $S$. Время на велосипеде: $t_1=\frac{S}{2v}$. Время по второму способу: \[ t_2=\frac{\frac{2}{3}S}{4v}+\frac{\frac{1}{3}S}{v}=\frac{S}{6v}+\frac{S}{3v}=\frac{S}{2v}. \] Получаем $t_1=t_2$, значит оба способа занимают одинаковое время.
    Ответ. Одинаково быстро.
11. Задача. Найдите все пары целых чисел $(x,y)$, удовлетворяющих уравнению $xy-5x-5y=0$.
    Решение. Перенесём и сгруппируем: $xy-5x-5y+25=25$. Тогда $(x-5)(y-5)=25$. Пусть $x-5=a$, $y-5=b$, тогда $ab=25$. Возможные целые пары $(a,b)$: $(1,25)$, $(25,1)$, $(5,5)$, $(-1,-25)$, $(-25,-1)$, $(-5,-5)$. Возвращаясь к $x$ и $y$, получаем соответствующие пары $(x,y)$.
    Ответ. $(6,30)$, $(30,6)$, $(10,10)$, $(4,-20)$, $(-20,4)$, $(0,0)$.
12. Задача. Решите систему неравенств $\begin{cases}\dfrac{\sqrt{x+7}}{x-6}\ge 0,\\ x^2\le 49.\end{cases}$
    Решение. Для дроби нужно $x+7\ge 0$, то есть $x\ge -7$, и $x\ne 6$. Числитель $\sqrt{x+7}\ge 0$. Дробь неотрицательна, если либо числитель равен нулю, либо знаменатель положителен. Числитель равен нулю при $x=-7$, это значение подходит. При $x>-7$ числитель положителен, тогда нужно $x-6>0$, то есть $x>6$. Второе неравенство даёт $-7\le x\le 7$. Пересечение условий: $x=-7$ или $6<x\le 7$.
    Ответ. $x=-7$ или $6<x\le 7$.