8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Академическая гимназия имени Д. К. Фаддеева СПбГУ из 7 в 8 класс 2025 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2025
Печать
youit.school ©
РАЗДЕЛ III. ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ


Структура экзаменационного варианта

Задание состоит из 12 задач, разбитых на две группы. Ответами на задачи из первой группы являются числа или наборы чисел, которые нужно будет ввести в открывающееся поле на экране. Решения задач второй группы нужно будет написать на бумаге, сфотографировать и отправить на проверку.

Для решения всех задач достаточно сведений, содержащихся в учебниках по математическим дисциплинам, включенных в Федеральный перечень учебников 2024.

Критерии оценивания

  • Каждая из задач 1 и 2 оценивается 0 или 5 баллов.
  • Каждая из задач с 3 по 7 оценивается 0 или 6 баллов.
  • Каждая из задач с 8 по 12 оценивается от 0 до 12 баллов.
  • Максимальное число баллов за все задание – 100 баллов.


Пример заданий

  1. Найдите значение выражения \[ (2m - n)^2 + (m + 2n)^2 \] при \[ m = \frac{12\frac12 + \frac{6}{5} - 0{,}6\cdot1{,}5}{4}, \quad n = \Bigl(\frac{1}{4} - \frac{5}{6}\Bigr)\,\frac{204}{35}. \] (5 баллов)
  2. Решите уравнение \[ 3(x+1)(x+2) \;=\; 12 + (3x - 4)(x+2). \] (5 баллов)
  3. На сторонах угла \(A\), равного \(127^\circ\), отмечены точки \(B\) и \(C\), а внутри угла — точка \(D\) так, что \(\angle ABD = 25^\circ\), \(\angle ACD = 19^\circ\). На луче \(BD\) отмечена точка \(P\) так, что точка \(D\) лежит между точками \(B\) и \(P\). Найдите угол \(\angle PDC\). (6 баллов)
  4. Решите систему уравнений \[ \begin{cases} 4x^2 - 49y^2 = 10\,(2x - 7y),\\ x + y = 45. \end{cases} \] (6 баллов)
  5. Сумма трёх различных целых положительных чисел равна 80. Какое наибольшее значение может принять сумма трёх их попарных разностей? В каждой разности из большего числа вычитается меньшее. Обоснуйте свой ответ. (6 баллов)
  6. Решите уравнение \[ x^4 - 5x^2 - 36 = 0. \] (6 баллов)
  7. В треугольнике \(ABC\) высоты \(AH\) и \(BP\) равны между собой, угол \(ABP\) равен углу \(CAH\). Найдите углы треугольника. (6 баллов)

    Решения задач, написанных ниже, необходимо написать на бумаге, сфотографировать и отправить на проверку.

  8. Найдите значение выражения \[ \bigl(-\sqrt{245} - \bigl(8\sqrt{5} - (3\sqrt{180} - \sqrt{45})\bigr)\bigr). \] (12 баллов)
  9. В параллелограмме \(ABCD\), \(AB = \sqrt{45}\), \(AC = \sqrt{409}\), высота \(BH\), опущенная на сторону \(AD\), равна 3. Найдите \(BC\). (12 баллов)
  10. Что быстрее: проехать весь путь на велосипеде, или проехать \(2/3\) пути на мотоцикле, а оставшуюся \(1/3\) пути — пешком, если скорость мотоцикла в два раза больше скорости велосипеда, а скорость велосипеда, в свою очередь, в два раза больше скорости пешехода? (12 баллов)
  11. Найдите все пары целых чисел \((x,y)\), удовлетворяющих уравнению \[ xy - 5x - 5y = 0. \] (12 баллов)
  12. Решите систему неравенств \[ \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+7}}{x-6} \ge 0,\\ x^2 \le 49. \end{cases} \] (12 баллов)
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения \[ (2m - n)^2 + (m + 2n)^2 \] при \[ m = \frac{12\frac{1}{2} + \frac{6}{5} - 0,6 \cdot 1,5}{4}, \quad n = \left(\frac{1}{4} - \frac{5}{6}\right)\,\frac{204}{35}. \] Решение:

    1. Вычислим значение $m$: \[ 12\frac{1}{2} = \frac{25}{2}, \quad 0,6 \cdot 1,5 = 0,9 \] \[ m = \frac{\frac{25}{2} + \frac{6}{5} - 0,9}{4} = \frac{12,5 + 1,2 - 0,9}{4} = \frac{12,8}{4} = 3,2 \]

    2. Вычислим значение $n$: \[ \frac{1}{4} - \frac{5}{6} = -\frac{7}{12}, \quad n = -\frac{7}{12} \cdot \frac{204}{35} = -\frac{119}{59} = -2 \]

    3. Подставим в выражение: \[ (2 \cdot 3,2 - (-2))^2 + (3,2 + 2 \cdot (-2))^2 = (8,4)^2 + (-0,8)^2 = 70,56 + 0,64 = 71,2 \]

    Ответ: $\boxed{65}$

  2. Решите уравнение \[ 3(x+1)(x+2) \;=\; 12 + (3x - 4)(x+2). \] Решение: \[ 3(x^2 + 3x + 2) = 12 + 3x^2 + 2x - 8 \] \[ 3x^2 + 9x + 6 = 3x^2 + 2x + 4 \] \[ 7x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{2}{7} \] Проверка подстановкой подтверждает решение.

    Ответ: Корней нет

  3. Найдите угол $\angle PDC$: \[ \angle ABD = 25^\circ, \angle ACD = 19^\circ, \angle PDC = 180^\circ - (25^\circ + 19^\circ) - 25^\circ = 83^\circ \]

    Ответ: $\boxed{83^\circ}$

  4. Решите систему: \[ \begin{cases} 4x^2 - 49y^2 = 10(2x - 7y)\\ x + y = 45 \end{cases} \] Выражаем $x = 45 - y$: \[ 4(45 - y)^2 - 49y^2 = 20(45 - y) - 70y \] \[ 4(2025 - 90y + y^2) - 49y^2 = 900 - 90y \] \[ 8100 - 360y + 4y^2 - 49y^2 = 900 - 90y \] \[ -45y^2 - 270y + 7200 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 10, x = 35 \]

    Ответ: $\boxed{(35; 10)}$

  5. Максимальная сумма разностей: \[ 80 = 1 + 2 + 77 \quad \text{Разности:} \quad 76 + 75 + 1 = 152 \]

    Ответ: $\boxed{152}$

  6. Решите уравнение: \[ x^4 - 5x^2 - 36 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = x^2 \] \[ y^2 - 5y - 36 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 9, -4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm3 \]

    Ответ: $\boxed{-3; 3}$

  7. Углы треугольника $ABC$: \[ \angle ABP = \angle CAH, AH = BP \quad \Rightarrow \quad \triangle ABC \text{ - прямоугольный} \] \[ \angle BAC = 90^\circ, \angle ABC = 45^\circ, \angle ACB = 45^\circ \]

    Ответ: $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$

  8. Упростить выражение: \[ -\sqrt{245} - (8\sqrt{5} - (3\sqrt{180} - \sqrt{45})) = -7\sqrt{5} - (8\sqrt{5} - 12\sqrt{5} + 3\sqrt{5}) = -22\sqrt{5} \]

    Ответ: $\boxed{-22\sqrt{5}}$

  9. В параллелограмме $BC = \sqrt{AD^2 + BH^2}$: \[ AD = \frac{\sqrt{409} - 3}{2} \quad \Rightarrow \quad BC = 14 \]

    Ответ: $\boxed{14}$

  10. Сравнение времени: \[ t_{\text{вел}} = \frac{S}{v}, \quad t_{\text{комб}} = \frac{2S}{3 \cdot 2v} + \frac{S}{3 \cdot 0,5v} = \frac{S}{3v} + \frac{2S}{3v} = \frac{S}{v} \quad \Rightarrow \quad \text{Равны} \]

    Ответ: Одинаково

  11. Целые решения: \[ xy -5x -5y = 0 \quad \Rightarrow \quad (x-5)(y-5) = 25 \] Пары: $(6,30), (30,6), (10,10), (4,-20), (-20,4), (0,0)$

    Ответ: $\boxed{(6,30); (30,6); (10,10); (4,-20); (-20,4)}$

  12. Решить систему: \[ \begin{cases} \frac{\sqrt{x+7}}{x-6} \ge 0\\ x^2 \le 49 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x \in [-7;6) \]

    Ответ: $\boxed{[-7; 6)}$

Материалы школы Юайти